TS – Probabilités – ex3 correction

Exercice 3 (Asie juin 2013)

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète $80\%$ de ses boîtes chez le fournisseur A et $20\%$ chez le fournisseur B.

$10\%$ des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et $20\%$ de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.

On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

  • événement A : “la boîte provient du fournisseur A” ;
  • événement B : “la boîte provient du fournisseur B” ;
  • événement S : “la boîte présente des traces de pesticides”.
  1. \item Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Quelle est la probabilité de l’événement $B \cap \overline{S}$ ?
    $\quad$
    b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
    $\quad$
  3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
    Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?

$\quad$

Partie B

Le gérant d’un salon de thé achète $10$ boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$ boîtes avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$ boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $8$ boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.

 

Correction

Partie A

  1. $\quad$
    TS - asie -juin2013 - ex1
  2. a. $p \left( B \cap \bar{S} \right) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$
    $~$
    b. On utilise la propriété des probabilités totales.
    $p\left( \bar{S} \right) = p \left( A \cap \bar{S} \right) + p \left( B \cap \bar{S} \right)$ $=0,8\times 0,9 + 0,16 $ $=0,88$
    $~$
  3. On cherche $p_S(B) = \dfrac{p(B \cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,2 \times 0,2}{1 – 0,88}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\approx 0,33$
    $~$

Partie B

  1. Les $10$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage ne possède que $2$ issues : $S$ et $\bar{S}$.
    $p\left(\bar{S} \right) = 0,88$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.
    $~$
  2. $P(X=10) = \binom{10}{10}0,88^{10}\times(1-0,88)^0$ $=0,88^{10}$ $\approx 0,28$.
    $~$
  3. $P(X \ge 8) = \binom{10}{8} 0,88^8 \times (1-0,88)^2 + \binom{10}{9}0,88^9\times (1-0,88)^1$ +$\binom{10}{10}0,88^{10} \times(1-0,88)^0$ $\approx 0,89$