TS – Synthèse 1 – Ex 1

Exercice 1

Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprès de trois fournisseurs $\mathscr{F}_{1},~\mathscr{F}_{2},$ $\mathscr{F}_{3}$.

Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.

La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{1}$, le tiers par le fournisseur $\mathscr{F}_{2}$ et le reste par le fournisseur $\mathscr{F}_{3}$.

 

Une étude statistique a montré que:

  • $5\,\%$ des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathscr{F}_{1}$ ont un défaut ;
  • $1,5\,\%$ des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathscr{F}_{2}$ ont un défaut ;
  • sur l’ensemble du stock, $3,5\,\% $des paires de chaussette ont un défaut.
  1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise.
    On considère les évènements F$_{1}$, F$_{2}$, F$_{3}$ et D suivants :
    • $F_{1}$ : “La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{1}$”;
    • $F_{2}$ : “La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{2}$”;
    • $F_{3}$ : “La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{3}$” ;
    • $D$ : “La paire de chaussettes prélevée présente un défaut” .
    a. Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les évènements précédents.
    $\quad$
    b. Représenter cette expérience à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{1}$ et présente un défaut.
    $\quad$
    d. Calculer la probabilité de l’évènement $F_{2} \cap D$.
    $\quad$
    e. En déduire la probabilité de l’évènement $F_{3} \cap D$.
    $\quad$
    f. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{3}$, quelle est la probabilité qu’elle présente un défaut ?
    $\quad$
  2. L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.
    On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise.
    a. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
    $\quad$
    b. Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes d’un lot présente un défaut est égale à $0,983.$

Correction

  1. a. $p(F_1) = \dfrac{1}{2}$ \quad $p(F_2) = \dfrac{1}{3}$ \quad $p(F_3) = 1 – \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$
    $p_{F_1}(D) = 0,05$ \quad $p_{F_2}(D) = 0,015$ \quad $p(D) = 0,035$
    $\quad$
    b.
    arbre-ex1
    c. 
    On souhaite calculer $p(F_1 \cap D) = \dfrac{1}{2} \times 0,05 = 0,025$.
    La probabilité que la paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathcal{F}_{1}$ et présente un défaut est donc de $0,025$.
    $\quad$
    d. $p(F_2 \cap D) = \dfrac{1}{3} \times 0,015 = 0,005$.
    $\quad$
    e. On sait que $p(D) = 0,035$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$p(D) = p(F_1 \cap D) + p(F_2 \cap D)+ p(F_3 \cap D)$$
    Par conséquent $0,035 = 0,025 + 0,005 + p(F_3 \cap D)$ soit $p(F_3 \cap D) = 0,005$.
    $\quad$
    f. On veut donc calculer $p_{F_3}(D) = \dfrac{p(F_3 \cap D)}{p(F_3)} = \dfrac{0,005}{\dfrac{1}{6}} = 0,03$.
    $\quad$
  2.  a. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de paires de chaussettes présentant un défaut.
    On choisit $6$ paires de chaussettes au hasard. les $6$ tirages sont indépendant, successifs avec remise. Chaque tirage ne présente que deux issues : $D$ et $\overline{D}$. De plus $p(D) = 0,035$.
    Par conséquent, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(6;0,035)$.
    $\quad$
    $P(X = 2) = \binom{6}{2} \times 0,035^2 \times (1-0,035)^4 \approx 0,016$
    $\quad$
    b. On veut calculer
    $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = (1 – 0,035)^6 + \binom{6}{1} \times 0,035^1 \times (1 – 0,035)^5 \approx 0,983$.