TS/TES/TL – Exercices – lois normales

TS/TES/TL – Exercices – Lois normales

Recherche de $\boldsymbol{\sigma}$

Exercice 1

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale
de moyenne $6$ et d’écart type $\sigma$.

  1. Sachant qu’environ $95\%$ des durées de charges sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h justifier que l’on peut choisir $\sigma=1,7$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(T>7)$.
    $\quad$
    b. Sachant que l’une des batteries mise en charge n’est pas rechargée complètement au bout de $7$ heures, quelle est la probabilité qu’elle ne le soit toujours pas au bout de $9$ heures?
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
    Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
    $\quad$
    Autre méthode : La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-6}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(2,6<T<9,4)=0,95&\ssi P(-3,4<T-6<3,4)=0,95 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<\dfrac{T-6}{\sigma}<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi P\left(-\dfrac{3,4}{\sigma}<T<\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,95\\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)-1=0,95 \\
    &\ssi 2\Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=1,95\\
    &\ssi \Phi\left(\dfrac{3,4}{\sigma}\right)=0,975\end{align*}$
    Par conséquent, à l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve : $\dfrac{3,4}{\sigma}\approx 1,960$ et $\sigma \approx 1,7$.
    $\Phi$ est la fonction définie sur $\R$ par $\Phi(x)=P(T\pp x)$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
    &\approx 0,140
    \end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

 

Exercice 2

On prélève au hasard un cristal de sucre d’une exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=0,65$ mm et d’écart type $\sigma$ à déterminer.
Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation V, on constate que $40\%$ de ces cristaux ont un diamètre compris entre $0,5$ mm et $0,8$ mm. Quelle est la valeur de l’écart type $\sigma_V$ de la variable aléatoire $X$?
$\quad$

Correction Exercice 2

La variable aléatoire $X=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ suit la loi normale centrée réduite.
On sait que :
$\begin{align*} P\left(0,5 \pp X_V < 0,8\right)=0,4 &\ssi P\left(-0,15\pp X_V-0,65< 0,15\right)=0,4 \\
&\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_V} \pp X < \dfrac{0,15}{\sigma_V}\right) =0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)-1=0,4 \\
&\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=1,4 \\
&\ssi P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=0,7
\end{align*}$
À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx 0,524$
Donc $\sigma_V \approx 0,286$.
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

 

Exercice 3

Une étude commandée par le gérant d’un supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$. Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T<10)=0,067$.

  1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on prend $\sigma=20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché?
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(T<10)=0,067&\ssi P(T-40<-30)=0,067 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
    & \ssi P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,499$
    Donc $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
    Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Une partie du stock de DVD d’une ville est constituée de DVD de films d’animation destinés au jeune public. On choisit un film d’animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu= 80$ min et d’écart-type $\sigma$.
De plus, on estime que $P(X\pg 92) =0,10$

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
    $\quad$
  2. Un enfant regarde un film d’animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu’il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent?
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \pg 92)=0,1 &\ssi P(X-80\pg 12)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pg \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{X-80}{\sigma} \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\ssi P\left(Y \pp \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  2. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \pg 90}(X \pp 95)&=\dfrac{P(90\pp X\pp 95)}{P(X \pg 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \pp X \pp 95)}{0,5-P(80\pp X \pp 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Un vaccin pour lutter contre une maladie a été mis au point. Il est fabriqué par une entreprise sous forme de dose injectable par seringue. Le volume $V$ (exprimé en millilitre) d’une dose suit une loi normale d’espérance $\mu=2$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité que le volume d’une dose, exprimé en millilitre, soit compris entre $1,99$ et $2,01$ millilitres est égale à $0,997$.
Quelle est la valeur de $\sigma$?
$\quad$

Correction Exercice 5

La variable aléatoire $Z=\dfrac{V-2}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
$\begin{align*} p(1,99 \pp V \pp 2,01)=0,997 &\ssi p(-0,01 \pp V-2 \pp 0,1)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp \dfrac{V-2}{\sigma} \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi p\left(-\dfrac{0,01}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,1}{\sigma}\right)=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)-1=0,997 \\
&\ssi 2p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=1,997 \\
&\ssi p\left(Z\pp \dfrac{0,01}{\sigma}\right)=0,998~5
\end{align*}$
À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,967~73$ donc $\sigma \approx 0,00337$

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$\quad$