Nouvelle Calédonie – Novembre 2013

Nouvelle Calédonie – Novembre 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé du sujet ici.

Exercice 1

  1. a. $g'(x) = 2x\text{e}^x + x^2\text{e}^x = x\text{e}^x(2+x)$.
    Par conséquent sur $[0;+\infty[$, $g'(x) \ge 0$ (et ne s’annule qu’en $0$) et $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    b. $g$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $g(0) = -1$
    $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty$ , $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}g(x) = +\infty$.
    $0 \in ]-1;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection, il existe donc un unique réel $a$ appartenant à $[0;+\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
    $g(0,703) \approx -1,8 \times 10^{-3} <0$ et $g(0,704) \approx 2 \times 10^{-3} > 0$.
    Donc $a \in [0,703;0,704]$.
    c. Par conséquent $g(x) < 0$ sur $[0;a[$, $g(a) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $]a;+\infty[$.
  2. a. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \text{e}^x = 1$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x) = +\infty$.
    $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$.
    b. $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$; elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
    Et $f'(x) = \text{e}^x – \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 \text{e}^x-1}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    c. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
    TS - nouvelle calédonie - nov2013 - ex1
    d. $f$ admet donc un minimum en $a$. Or $g(a) = a^2\text{e}^a-1 = 0$.
    d’où $\text{e}â = \dfrac{1}{a^2}$.
    $m= f(a) = \text{e}â + \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$.
    e. $0,703 < a < 0,704$ donc $\dfrac{1}{0,704} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{0,703}$
    On a donc également  $\dfrac{1}{0,704^2} < \dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{0,703^2}$ Soit $\dfrac{1}{0,704} + \dfrac{1}{0,704^2} < m < \dfrac{1}{0,703} + \dfrac{1}{0,703^2}$
    D’où $3,43 < m < 3,45$.

Exercice 2

Partie A

K W U V
$0$ $2$ $10$
$1$ $2$ $\frac{14}{3}$ $8$
$2$ $\frac{14}{3}$ $\frac{52}{9}$ $\frac{43}{6}$

Partie B

  1. a. $v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{3} = \dfrac{3u_n+9v_n-8u_n-4v_n}{12}$
    $v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{-5u_n+5v_n}{12} = \dfrac{5}{12}(v_n-u_n)$
    b. On a donc $w_{n+1} = \dfrac{5}{12}w_n$ et $w_0 = 10 – 2 = 8$.
    $(w_n)$ est donc une suite géoémtrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $8$.
    D’où $w_n = 8 \times \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
  2. a. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{2u_n+v_n}{3} – u_n = \dfrac{v_n-u_n}{3} = \dfrac{w_n}{3} > 0$.
    La suite $(u_n)$ est donc croissante.
    $v_{n+1} – v_n = \dfrac{u_n+3v_n}{4} – v_n = \dfrac{u_n-v_n}{4} = \dfrac{-w_n}{4} < 0$.
    La suite $(v_n)$ est donc décroissante.
    b. On a donc $u_0 <u_1< … < u_n < … <v_n < … < v_1 < v_0$.
    On ne peut pas trouver $2$ indices $n$ et $m$ tels que $u_n > v_m$.
    En effet, si $n < m$ alors $u_m > u_n > v_m$ ce qui est impossible car $v_n – u_n > 0$ pour tout $n$.
    Si $n > m$ alors $u_n > v_m > v_n$ ce qui est encore impossible.
    Donc, pour tout $n$, on a $b_n \ge u_0 = 2$ et $u_n \le v_0 = 10$.Remarque : les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes
    c. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée; elle converge donc.
    De même, la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée. Elle converge aussi.
  3. On appelle $U$ et $V$ les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
    On a donc $U = \dfrac{2U+V}{3}$ et $V = \dfrac{U+3V}{4}$.
    D’où $3U=2U+V \Leftrightarrow U = V$.
    Les $2$ suites ont donc bien la même limite $U$.
  4. $t_{n+1} = 3u_{n+1} + 4v_{n+1} = 2u_n+v_n+u_n+3v_n = 3u_n+4v_n = t_n$.
    La suite $(t_n)$ est donc constante et, pour tout $n$, on a donc $t_n = t_0 = 3u_0+4v_0=46$.
    En passant ç la limite on obtient alors $46 = 3U + 4U$ soit $U = \dfrac{46}{7}$.

Exercice 3

Partie A

  1. On cherche donc :
    $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) = P(X < 9) + P(X > 11)$ car les événements sont disjoints.
    $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) = 0,00620967 + 1 – P(X < 11) = 0,00620967 + 1 – 0,99379034 = 0,01241933$
    $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) = 0,01241933 \approx 0,0124$.Remarque : attention à ne pas confondre les numéros des lignes de calcul avec la valeur de $d$ dans l’annexe!
  2. a.
    TS - nouvelle calédonie - nov2013 - ex3
    b. $p(A) = p(A \cap N) + p(A \cap \bar{N})$ (d’après la formule des probabilités totales).
    $p(A) = 0,9876 \times 0,99 + 0,0124 \times 0,02 = 0,9780$.
    c. On cherche $p_A(\bar{N}) = \dfrac{p(A \cap \bar{N})}{p(A} = \dfrac{0,0124 \times 0,02}{0,9780} \approx 3 \times 10^{-4}$.

Partie B

  1. Tous les tirages sont identiques, aléatoires et indépendants. Chaque tirage possède $2$ issues : $N$ et $\bar{N}$. De plus $p(\bar{N}) = 0,0124$.
    La variable aléatoire $Y$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,0124$.
  2. $E(Y) = np = 1,24$ et $\sigma(Y) = \sqrt{np(1-p)} \approx 1,1066$.
  3. $P(Y=2) = \binom{100}{2}\times 0,0124^2 \times (1 – 0,0124)^{98} \approx 0,2241$.
  4. $P(Y \le 1) = P(Y=0) + P(Y=1) $
    $P(Y \le 1) = (1-0,0124)^100 + \binom{100}{1}\times 0,0124 \times (1-0,0124)^{99} \approx 0,6477$

Exercice 4

(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

  1. Affirmation vraie
    $(1+\text{i})^{4n} = \left((1+\text{i})^4 \right)^n = \left( \left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi /4}\right)^4 \right)^n = (4\text{e}^{\text{i}\pi})^n = (-4)^n$
  2. Affirmation fausse
    Cherchons les solutions de $z^2-4z+8 = 0$.
    $\Delta = (-4)^2-4\times 8 = -16 < 0$.
    Cette équation possède donc $2$ solutions complexes :
    $\dfrac{4-4\text{i}}{2} = 2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    Les solutions de (E) sont donc les nombres $4$, $2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    On appelle $A$, $B$ et $C$ les points dont ces nombres sont les affixes.
    $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses et $A$ est sur c et axe.
    Par conséquent $ABC$ est isocèle en $A$.
    Le milieu de $[BC]$ a pour affixe $2$ et $BC = |z_C – z_B| = |4\text{i}| = 4$.
    L’aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{4\times(4-2)}{2} = 4$.
  3. Affirmation vraie
    $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} = 1 + \cos(2\alpha) + \text{i} \sin(2\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha) – 1 + 2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha)$$1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} =2\cos^2(\alpha)+2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\left( \cos(\alpha) + \text{i}\sin(\alpha) \right) = 2\text{e}^{\text{i}\alpha}\cos(\alpha)$.
  4. Affirmation vraie
    affixe de $\vec{OA} : a = \dfrac{1}{2}(1+i)$
    affixe de $\vec{OM_n} : m_n = \left(\dfrac{1}{2}(1+i) \right)^n$.
    $O$, $A$ et $M_n$ sont alignés $\Leftrightarrow \dfrac{m_n}{a}\in \R$.
    Or $\dfrac{m_n}{a} = \left( \dfrac{1}{2}(1+i)\right) ^{n-1} = \left( \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4} \right) \right)^{n-1} = \dfrac{\sqrt{2}^{n-1}}{2^{n-1}}\text{e}^{(n-1)\text{i}\pi/4}$
    $\dfrac{m_n}{a}\in \R \Leftrightarrow \dfrac{n-1}{4}\in \N \Leftrightarrow n-1$ divisible par $4$.
  5. Affirmation vraie
    $j=\text{e}^{2\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{2\pi}{3} = -0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
    Donc $j^2 = \text{e}^{4\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{4\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{4\pi}{3} = -0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
    Finalement $1+j+j^2 = 1 – 0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} – 0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} = 0$
    remarque : on pouvait également dire que $1+j+j^2 = \dfrac{1-j^3}{1-j}$. Et $1-j^3 = 1 – \text{e}^{2\text{i}\pi}=0$.

Exercice 4

(Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

  1. On cherche les valeurs de $x$ telles que $4x+3 \equiv x [27]$.
    $\Leftrightarrow 3x + 3 \equiv 0 [27]$
    $\Leftrightarrow 3(x + 1) \equiv 0 [27]$
    $\Leftrightarrow$ il existe $k\in \Z$ tel que $3(x+1) = 27k$
    $\Leftrightarrow$ il existe $k\in \Z$ tel que $x+1 = 9k$
    $\Leftrightarrow$ il existe $k\in \Z$ tel que $x = 9k – 1$
    $\Leftrightarrow x \in \{8;17;26\}$
    Les seuls caractères invariants sont donc $i$, $r$ et $\star$
  2. Si $u \equiv 4x + 3 [27]$ alors$ 7y+6 \equiv 28x + 21 + 6 [27] \equiv 28x [27] \equiv x[27]$
    Considérons $2$ caractères distincts codés par les nombres $x$ et $z$.
    On sait que $0 \le x \le 26$ et $0 \le z \le 26$.
    Si $g(x) = g(z) = y$ alors $x \equiv 7y +6 [27]$ et $z \equiv 7y+6$ et par conséquent $x \equiv z [27]$.
    Ce qui est impossible puisque les caractères étaient distincts.
    Donc $2$ caractères distincts sont codés par $2$ caractères distincts.
  3. Pour décoder un caractère $y$ il suffit de calculer $7y+6$ modulo $27$.
  4. $v$ est codé par $21$ et $f$ est codé par $5$.
    $7 \times 21 + 6 = 153 \equiv 18 [27]$ : caratère $s$
    $7 \times 5 + 6 = 41 \equiv 14 [27]$ : caractère $o$
    Par conséquent $vfv$ est décodé en $sos$.