Correction

Fiche TS-rec1

 

Correction

Initialisation : Si $n=0$ alors $10^0-1=1-1 = 0$ est bien un multiple de $9$.

La propriété est donc vraie au rang $0$.

 

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$.

Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $10^n -1=9k$ soit $10^n=9k+1$.

$\begin{align} 10^{n+1} -1 &= 10^n\times 10-1 \\\\
&= (9k+1) \times 10 – 1 \\\\
&= 9 \times 10k + 10 – 1 \\\\
&=9 \times 10k + 9
\end{align}$

Par conséquent $10^{n+1}-1$ est bien un multiple de $9$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

 

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $10^n -1$ est un multiple de $9$.