Correction exercice 11

Correction

Fiche TS-rec1

Exercice 11 (Spécialité)

On considère les propositions suivantes :

$P(n)$ : “$4^n-1$ est divisible par $3$”

$Q(n)$ : “$4^n+1$ est divisible par $3$”

  1. Montrer que les propositions $P(n)$ et $Q(n)$ sont héréditaires.
  2. Montrer que $P(n)$ est vraie pour tout $n\in \N$.
  3. Que peut-on dire pour $Q(n)$?

 

Correction :

  1. Pour $P(n)$ :
    Supposons la propriété vraie au rang $n$ : “$4^n-1$ est divisible par $3$”.
    Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $4^n-1 = 3k$ soit $4^n = 1+3k$.
    Par conséquent :
    $\begin{align} 4^{n+1} -1&= 4^n\times 4 -1\\\\
    &= 4(1+3k) -1\\\\
    &=4 + 3\times 4k – 1\\\\
    &=3+3\times 4k
    \end{align}$
    Donc $4^{n+1}-1$ est bien divisible par $3$.
    $\quad$
    Pour $Q(n)$ :
    Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $4^n+1$ est divisible par $3$”.
    Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $4^n+1=3k$ soit $4^n=3k-1$.
    Par conséquent :
    $\begin{align} 4^{n+1}+1 &= 4^n\times 4 + 1 \\\\
    &= 4(3k-1)+1 \\\\
    &= 3 \times 4k – 4 + 1\\\\
    &= 3\times 4k – 3
    \end{align}$
    Donc $4^n+1$ est divisible par $3$”.
    $\quad$
    Les  propositions $P(n)$ et $Q(n)$ sont héréditaires.
    $\quad$
  2. Regardons si $P(0)$ est vraie : $4^0-1 = 1 – 1 = 0$ est bien divisible par $3$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$. Puisqu’elle est également héréditaire, la propriété est vraie pour tout $n \in \N$.
    $\quad$
  3. Regardons si $Q(0)$ est vraie : $4^0 + 1 = 1 + 1 = 2$. $Q(0)$ est fausse.
    D’une manière générale : $4 \equiv 1~[3]$ donc $4^n \equiv 1^n \equiv 1~[3]$
    Par conséquent $4^n+1 \equiv 2~[3]$.
    La propriété $Q(n)$ bien qu’héréditaire n’est jamais vraie.