Correction

Fiche TS-rec1

Exercice 1

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :

$$S_n = \sum_{k=0}^{n} k = 0 + 1 + 2 +\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$

Correction

Initialisation : Pour $n=0$ $S_n =0$ et $\dfrac{0 \times (0+1)}{2} = 0$.

la propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

$\begin{align} S_{n+1} &= 0+1+2+\ldots+n+(n+1) \\\\
&= S_n + (n+1) \\\\
&= \dfrac{n(n+1)}{2} + n+1\\\\
&= \dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\\\
&= \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}
\end{align}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.