Correction

Fiche TS-rec1

Exercice 3

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, on a :

$$S_n= \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 – \dfrac{1}{n+1}$$

Correction

Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1 = \dfrac{1}{1\times (1+1)} = \dfrac{1}{2}$.

Or $1-\dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$.

La propriété est donc vraie au rang $1$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ :

$S_n = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 – \dfrac{1}{n+1}$

Au rang $n+1$ on a donc :

$\begin{align} S_{n+1}&= \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\
& = 1-\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{n+2-1}{(n+1)(n+2)}\\\\
&=1-\dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)} \\\\
&=1-\dfrac{1}{n+2}
\end{align}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n \ge 1$ on a $S_n = 1 – \dfrac{1}{n+1}$