Correction

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ pour tout $n\in \N$.

Démontrer que, pour tout $n \in N$, $0 < u_n <2$.

Initialisation : $u_0 = 1$ donc $0<u_0\le 2$.

La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0<u_n < 2$.

Donc $2<2+u_n < 4$ et $\sqrt{2} < \sqrt{2+u_n}<\sqrt{4}$

Finalement $0 < \sqrt{2} < u_{n+1} < 2$

La propriété est vraie au rang $n+1$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \N$, $0 < u_n <2$.