Correction exercice 5

Correction

Fiche TS-rec1

Exercice 5

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}$.

Démontrer que pour tout $n \in \N$, $u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.

 

Correction

Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 2$ et $\dfrac{2}{2\times 0 + 1} = 2$.

La propriété est donc vraie au rang $0$.

 

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n =  \dfrac{2}{2n+1}$.

Alors :

$\begin{align} u_{n+1} & = \dfrac{u_n}{1+u_n} \\\\
&= \dfrac{\dfrac{2}{2n+1}}{1+\dfrac{2}{2n+1}} \\\\
&= \dfrac{2}{2n+1 + 2}\\\\
&= \dfrac{2}{2n+3}\\\\
&=\dfrac{2}{2(n+1)+1}
\end{align}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

 

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $ u_n = \dfrac{2}{2n+1}$.