Correction exercice 6

Correction

Fiche TS-rec1

Exercice 6

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n – 1$ pour tout $n \in \N$.

Démontrer que, pour tout $n \in \N$, $u_n = 2^{n+1}+1$.

 

Correction

Initialisation : Si $n=0$, $u_0=3$ et $2^{0+1}+1 = 2 + 1 =3$.

La propriété est vraie au rang $0$.

 

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. $u_n = 2^{n+1}+1$.

$\begin{align} u_{n+1} &= 2u_n – 1 \\\\
&= 2 \times \left( 2^{n+1}+1 \right) – 1 \\\\
&= 2^{n+2} + 2 – 1 \\\\
& = 2^{n+2} + 1
\end{align}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

 

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n = 2^{n+1}+1$.