Correction

Fiche TS-rec1

 

Correction

Initialisation : Si $n=1$ alors $u_1 = \dfrac{1+2u_0}{2+u_0} = \dfrac{1}{2}$ . Donc $0<u_1\le 1$.

La propriété est vraie au rang $1$.

 

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. Donc $ 0 < u_n \le 1$.

On a donc :

• $u_n > 0$ donc $1+2u_n > 0$ et $2+u_n > 0$. Par conséquent $u_{n+1} > 0$
• $u_{n+1} – 1 = \dfrac{1+2u_n}{2+u_n} – 1 = \dfrac{u_n-1}{2+u_n}$
  Or $u_n  \le 1$ cela signifie donc que $u_n-1 \le 0$ et par conséquent $u_{n+1} – 1 \le 0$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

 

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \N^*$ on a $ 0 < u_n \le 1$.