Correction

Fiche TS-rec1

 

Correction

Initialisation : si $n=0$ alors $(1+a)^0 = 1$ et $1+ 0 \times a = 1$. $1 \ge 1$.

La propriété est donc vraie au rang $0$.

 

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $(1+a)^n \ge 1+na$.

$\begin{align} (1+a)^{n+1} &= (1+a) \times (1+a)^n \\\\
& \ge (1+a) \times (1+na) \\\\
& \ge 1 + na + a + na^2 \\\\
& \ge 1 + (n+1)a + na^2
\end{align}$

Or $na^2 \ge 0$ donc $(1+a)^{n+1} \ge 1 + (n+1)a$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

 

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $(1+a)^n \ge 1+na$.