Correction exercice 9

Correction

Fiche TS-rec1

Exercice 9

Soit $f $ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ pour tout $x \ne 1$.

Démontrer que, pour tout entier $n \ge 1$,  $f^{(n)}(x) = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ où $f^{(n)}$ désigne la dérivée $n^{\text{ième}}$ de $f$ et $n! = 1\times 2\times 3\times \ldots \times n$.

 

Corrrection

Initialisation :  $f$ est dérivable sur $I=]-\infty;1[ \cup ]1;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur $I$.

Si $n= 1$ alors $f'(x) = \dfrac{-(-1)}{(1-x)^2}$ et $\dfrac{1!}{(1-x)^{1+1}} = \dfrac{1}{(1-x)^{2}}$.

La propriété est donc vraie au rang $1$.

 

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. $f^{(n)} = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$.

La fonction $f^{(n)}$ est dérivable sur $I$.

$\begin{align} f^{(n+1)}(x) &= \left( f^{(n)}\right)’ (x)  \\\\
&= \dfrac{-n! \times (n+1) \times (-1) \times (1-x)^n}{(1-x)^{2(n+1)}} \\\\
&= \dfrac{(n+1)! \times (1-x)^n}{(1-x)^{2n+2}} \\\\
&=\dfrac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}} \\\\
&=\dfrac{(n+1)!}{(1-x)^{(n+1)+1}}
\end{align}$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

 

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout entier $n \ge 1$, on a $f^{(n)} = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$.