Métropole – BAC STG

Mercatique – CFE – GSI – Mathématiques

Septembre 2013 – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé du sujet ici.

Exercice 1

1. a. $p(D) = 0,3$ et $p_D(V) = 0,8$
   b. $p(\bar{D}) = 1 – p(D) = 0,7$. $70\%$ des locataires ont choisi la location sans demi-pensio.
2. 
3. a. $D\cap V$ : “La fiche correspond à un locataire ayant choisi la location avec demi-pension et ayant participé à la visite de la région”.
   b. $p(D\cap V) = 0,3 \times 0,8 = 0,24$.
4. On cherche $p(V) = p(D \cap V) + p(\bar{D} \cap V) = 0,24 + 0,7 \times 0,45 = 0,555$.
5. On calcule $p_V(D) = \dfrac{p(D\cap V)}{p(V)} = \dfrac{0,24}{0,555} \approx 0,43$.
   Moins de la moitié des locataires qui s’inscriront à la visite choisiront une location avec demi-pension.

Exercice 2

Partie A : Etude du chiffre d’affaire de l’entreprise A

1. On a $a_{n+1} = a_n+3000$ et $a_1 = 30~000$. La suite $(a_n)$ est donc arithmétique de raison $3~000$.
2. a. $a_n = 30~000+3~000(n-1)$ pour tout $n\ge 1$.
   b. Au bout de $5$ ans, on a $a_5 = 30~000+4\times 3~000=42~000$.
   Le chiffre d’affaire réalisé par l’entreprise sera de $42~000€$ au terme de la cinquième année.
   c. On peut écrire :
   $=F2+3000$
   $=\$F\$2+(E3-1) * 3000$
   $=\$F\$2+E2*3000$
3. On cherche la valeur de $n$ telle que $30~000+3~000(n-1) \ge 50~000$.
   Soit $3~000(n-1) \ge 20~000$ d’où $n-1\ge \dfrac{20}{3}$ et $n \ge \dfrac{20}{3}+1 \approx 7,67$.
   C’est donc à partir de la $8^\text{ème}$ année que l’embauche d’un salarié sera possible.

Partie B : Etude du chiffre d’affaire de l’entreprise B

1. a. On peut écrire $=G2*1,05$ ou $=\$G\$2 * 1,05\text{^} E2$ ou $=\$G\$2\text{^} (E2-1)$.
   b. $b_{n+1}=b_n\times 1,05$.
   La suite $(b_n)$ est géométrique de raison $1,05$ et $b_1 = 30~000$.
   c. $b_n = 30~000 \times 1,05^{n-1}$.
2. On cherche $b_6 = 30~000 \times 1,05^5 \approx 38~288€$.
   Le chiffre d’affaire sera de $38~288€$ la $6^\text{ème}$ année.
3. a. $b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6 = 30~000\times \dfrac{1-1,05^6}{1-1,05} \approx 204~057$.
   Cela correspond au chiffre d’affaire cumulé sur les $6$ premières années.
   b. On peut écrire $=H2+G3$.

Exercice 3

Partie A : lecture graphique

1. $f(-4) = 0$ et $f(0) = 4$
2. a. LE coefficient directeur de cette tangente est $-1$ et l’ordonnée à l’origine est $4$.
   Une équation est donc $y=-x+4$.
   b. On en déduit donc que $f'(0) = -1$.

Partie B : Etude de fonction

1. a. $f(-2) = (-2 + 4)\text{e}^{-0.5\times (-2)} = 2\text{e}$.
   b. $f'(x) = \text{e}^{-0.5x} + (x+4)\times (-0,5)\text{e}^{-0.5x} $
   $f'(x)= (-0,5x-2+1)\text{e}^{-0.5x} = (-0,5x-1)\text{e}^{-0.5x}$.
   Donc $f'(-2) = 0$.
   Une équation de la tangente au point d’abscisse $-2$ est $y=2\text{e}$.
2. D’après la question précédente on a $f'(x) = (-0,5x-1)\text{e}^{-0.5x}$.
3. a. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-0,5x-1$.
   Or $-0,5x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \le -2$.
   Donc $f'(x) \ge 0$ sur $[-4;-2]$ et $f'(x) \le 0$ sur $[-2;8]$.
   b.
   

Exercice 4

1. $\dfrac{1612-1083}{1083} \approx 49\%$. Réponse C
2. On cherche la valeur de $T$ telle que $\left(1+\dfrac{T}{100} \right)^{12} = 1,49$.
   Donc $T \approx 3,38$ Réponse C
3. $x_G = \dfrac{0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12}{13} = 6$
   $y_G = \dfrac{1083+1125+1159+…+1617}{13} \approx 1343,9$ Réponse A
4. En utilisant la calculatrice, on obtient Réponse A