Nouvelle Calédonie – Bac STG 

Mercatique – CFE – GSI

Mathématiques – Novembre 2013

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet de bac ici.

Exercice 1

1. Le prix diminue de $0,1€$.
   Il s’agit donc d’une suite arithmétique de raison $-0,1$.
   Réponse C
2. $u_{10} = 4 – 0,1 \times 9 = 3,1$.
   Réponse C
3. $u_n = 4 – 0,1\times (n-1) < 2 \Leftrightarrow 0,1(n-1) > 2 \Leftrightarrow n-1 > 20 \Leftrightarrow n > 21$.
   Réponse C
4. La quantité de moules vendues est donc multipliée par $1 + \dfrac{5}{100} = 1,05$.
   Réponse A
5. $v_n = 100 \times 1,05^{n-1}$ (attention on commence au rang $1$ !).
   Réponse B
6. Réponse C sinon la recopie ne fonctionne pas.
7. A : pas de recopie
   B : Mauvais coefficient
   Réponse C
8. Réponse A

Exercice 2

1. a. $P(R_1) = 0,45$
   b. $P(R2) = 1-0,45 = 0,55$
   c.$P(R_1 \cap A) = 0,38$
   d. $P(A) = 0,75$
2. On cherche donc :
   $$P_{R_1}(A) = \dfrac{P(R_1 \cap A)}{P(R_1)} = \dfrac{0,38}{0,45} = \dfrac{38}{45} \approx 0,84$$
3. a. $P(R_2 \cap A) + P(R_1 \cap A) = P(A)$ d’après la formule des probabilités totales
   Par conséquent $P(R_2 \cap A) = 0,75 – 0,38 = 0,37$.
   b. $P_{R_2}(A) = \dfrac{P(R_2 \cap A)}{P(R_2)} = \dfrac{0,37}{0,55} = \dfrac{37}{55} \approx 0,67$.
4. D’après les questions $2$ et $3b$ on sait que $P_{R_1}(A) > P_{R_2}(A)$.
   Par conséquent l’entreprise devrait commercialiser la recette $1$.

Exercice 3

1. a. $\dfrac{218 – 36}{36} \approx 5,06$
   Le taux d’évolution est donc d’environ $506 \%$
   b. On cherche la valeur de $T$ telle que $\left(1 + \dfrac{T}{100} \right)^7 = 6,06$.
   D’où $ 1 + \dfrac{T}{100} = \sqrt[7]{6,06}$
   Par conséquent $T \approx 29$.
2. a. La calculatrice nous fournit l’équation $y=25x+21$
   b.
   
   c. Avec cet ajustement affine :
   Au $1^\text{er}$ mai $2012$ : $y = 25 \times 8 + 21 = 221$. Il y a $221$ inscrits au $1^\text{er}$ mai $2012$.
   Au $1^\text{er}$ juin $2012$ : $y=25 \times 9 + 21 = 246$. Il y a $246$ inscrits au $1^\text{er}$ juin $2012$
3. a. $275$ et $378$ sont très éloignés des valeurs $221$ et $246$ trouvées à la question précédente.
   L’ajustement utilisé n’est donc pas pertinent.
   b.

   $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
   $f(x)$	$39$	$5$	$70$	$93$	$124$	$166$	$222$	$297$	$397$	$530$

   c. On cherche donc la valeur de $x$ telle que $39\text{e}^{0,29x} \ge 1500$
   Soit $\text{e}^{0,29x} \ge \dfrac{500}{13}$
   D’où $0,29x \ge \text{ln } \dfrac{500}{13}$ et $x \ge \dfrac{\text{ln }\dfrac{500}{13}}{0,29} \approx 12,6$.
   Il peut donc espérer $1500$ inscrits à partir du $13^\text{ème}$ mois soit au $1^\text{er}$ octobre.

Exercice 4

Partie A : construction et lectures graphiques

1. Le coût de $100$ pièces est de $650€$.
   Par conséquent la recette, exprimée en euros, est de $650x$.
   Donc $R(x) = 0,65x$
2. 
3. Graphiquement, on constate que les coûts de production pour $1150$ pièces sont de $7000€$
   Pour cette quantité, la droite représentant les recettes est au-dessus de la courbe représentant les coûts. L’entreprise est donc bénéficiaire.
   Le bénéfice est alors de $7500 – 7000 = 500€$.
4. On cherche les abscisses des points d’intersection des $2$ courbes.
   L’entreprise est donc bénéficiaire si elle fabrique entre $80$ et $1500$ pièces.