Correction Bac Mathématiques STMG – Pondichery – 8 avril 2014

Vous pouvez trouver l’énoncé ici

Exercice 1

Partie A

1. D’après la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine est :
   $$y=150,783x+2694,533$$
2. a.
   
   b. En 2014, on prend $x=10$. Par conséquent $y=151\times 10 + 2695 = 4205$.
   Le prix du m² d’un appartement neuf serait, en 2014, de $4205 €$.
   c. On cherche donc à résoudre $151x+2695 >5000$ soit $151x > 2305$.
   Par conséquent $x>\dfrac{2305}{151} \simeq 15,3$.
   Ce sera donc au bout de la $16^{ème}$ année, soit en 2020, que le prix du m² d’un appartement neuf dépassera les $5000€$.

Partie B

1. Le prix est augmenté chaque année de $5,2\%$ par rapport à l’année précédente. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $1+\dfrac{5,2}{100} = 1,052$.
2. En 2020, $n=6$ par conséquent $u_6=4200\times 1,052^6 = 5693,03$.
   Le prix du m² serait, selon ce modèle de $5693€$ en 2020.
3. On cherche la valeur de $n$ telle que $4200\times 1,052^n > 6000$ soit $1,052^n > \dfrac{30}{21}$.
   Par conséquent $n \text{ln }1,052 > \text{ln }\dfrac{30}{21}$. D’où $n > \dfrac{\text{ln }\dfrac{30}{21}}{\text{ln }1,052} \simeq 7,04$.
   C’est donc au bout de $8$ ans soit en 2022 que le prix du m² dépassera les $6000 €$.

Exercice 2

1. En C6, on calcule $\dfrac{3,13 – 2,78}{2,78} \simeq 0,1259$. On affichera donc $12,59 \%$.
2. Il faut absolument garder la valeur $2,78$ tout le long des calculs.
   On doit donc écrire “$=(B3-B\$2)/B\$2$”
3. Puisque le taux d’évolution en 2005 par rapport à 2003 est de $6,83\%$ l’indice sera $106,83$.
4. $2,78\times \left(1+\dfrac{2,24}{100} \right)^{10} \simeq 3,47$.
   Le taux d’évolution annuel moyen est donc de $2,24\%$.

Exercice 3

Partie A

1. 
2. a. Cet événement $S\cap N$ correspond à : Le vacancier fréquente une salle de sport et pratique la natation.
   b. $p(S\cap N) = 0,45 \times 0,6 = 0,27$.
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $$p(N) = p(S\cap N) + p(\bar{S} \cap N) = 0,27 + 0,55 \times 0,7 = 0,655$$.
4. $P_N(S) = \dfrac{p(S\cap N)}{p(N)} = \dfrac{0,27}{0,655}$ $\simeq 0,4122$.
5. b. Le nombre de répétition de cette loi binomiale est donc $n=4$.
   La probabilité d’un succès est $p=0,655$.
6. On cherche donc $P(X=2) \simeq 0,3064$.

Partie B

Un intervalle de fluctuation à au moins 95% est donc :
$$I_{400} = \left[ 0,22 – \dfrac{1}{\sqrt{400}};0,22 + \dfrac{1}{\sqrt{400}} \right] = [0,17;0,27]$$

Exercice 4

1. a.
   

   b.
   
   
   c. La fonction $f_3$ est croissante au voisinage de $-1$ par conséquent $f'(-1) > 0$.
   d. $f_4(2)=-5$.

2. a. $g(x) = (x^2-2x+1)(x+3) = x^3+3x^2-2x^2-6x+x+3 = x^3+x^2-5x+3$.
   b. $g'(x)=3x^2+2x-5$
   c. $\Delta = 4 + 4\times 5 \times 3 = 64 = 8^2> 0$
   L’équation possède donc 2 solutions : $x_1 = \dfrac{-2 – 8}{6} = \dfrac{-5}{3}$ et $x_2=\dfrac{-2+8}{6} = 1$.
   $g'(x)$ est donc négatif entre les racines $x_1$ et $x_2$ et positif en dehors.
   On en déduit le tableau de variations suivant :
   
   d. La fonction $f_1$ s’annule en $-3$ et $1$. Ses variations sont les mêmes que celles de $g$ .
   Par conséquent $g=f_1$.