Amérique du nord – Juin 2015

ES/TL – Mathématiques – Correction

Le sujet de ce bac est disponible ici .

Exercice 1

1. La fréquence observée est $f=\dfrac{484}{4~000} = 0,121$.
   $n=4000 \ge 30$, $nf = 484 \ge 5$ et $n(1-f) = 3516 \ge 5$.
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est donc donné par
   $$\begin{align*} I_{4~000} &= \left[0,121 – \dfrac{1}{\sqrt{4~000}};0,121 + \dfrac{1}{\sqrt{4~000}} \right] \\\\
   & \approx [0,105;0,137]
   \end{align*}$$
   Réponse C
   $\quad$
2. On veut que $f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} – \left(f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) = 0,01$ soit $\dfrac{2}{\sqrt{n}} = 0,01 \ssi \sqrt{n} = 200 \ssi n = 40~000$
   Réponse D
   $\quad$
3. $p(19 \le X \le 45) \approx 0,683$
   Réponse B
   $\quad$
   
4. Une méthode consisterait à tout tester à la calculatrice…
   L’autre méthode consiste à utiliser la fonction “inverse loi normale” de la calculatrice
   Réponse C
   $\quad$

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

Partie A

1. On a $p(S) = 0,203$ et $p_{\overline{F}}(S) = 0,225$
   $\quad$
2. $\quad$
   
   
3. On a ainsi, d’après l’arbre de probabilité :
   $$p\left(\overline{F} \cap S \right) = 0,822 \times 0,225 \approx 0,185$$
   Cela signifie donc qu’neviron $18,5\%$ des élèves du collège sont non fumeurs et sont inscrits à l’association sportive.
   $\quad$
4. $p_S\left(\overline{F}\right) = \dfrac{p\left(S \cap \overline{F}\right)}{p(S)} = \dfrac{0,185}{0,203} \approx 0,911$
   $\quad$
5. D’après la propriété des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(S) & =p(S \cap F) + p\left(S \cap \overline{F}\right) \\\\
   0,203 &= p(S \cap F) + 0,185
   \end{align*}$
   Donc $p(S\cap F) = 0,203 – 0,185 = 0,018$.
   Par conséquent $p_F(S) = \dfrac{p(S \cap F)}{p(F)} = \dfrac{0,018}{0,178} \approx 0,101$
   $\quad$

Partie B

On appelle $X$ la variable aléatoire calculant le nombre de gagnant inscrit à l’association sportive.

Les $4$ tirages sont aléatoires, identiques, indépendants et possède chacun $2$ issues : $S$ et $\overline{S}$.

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,203)$.

On cherche à calculer :

$\begin{align*} P(X \ge 1) &= 1 – P(X = 0) \\\\
&= 1 – \displaystyle \binom{4}{0} \times 0,203^0 \times 0,797^4 \\\\
& \approx 0,597
\end{align*}$

La probabilité que parmi les quatre élèves gagnants, au moins un soit inscrit à l’association sportive est de $59,7\%$.

$\quad$

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité 

Partie A

1. a. La parabole doit passer par les points $D(0;2)$, $E(2;3)$ et $C(4;5)$.
   On doit donc avoir :
   $$\begin{cases} c = 2 \\\\
   4a + 2b + c = 3 \\\\
   16a + 4b + c = 5
   \end{cases}$$
   b. Le problème peut donc s’écrire $$\begin{pmatrix} 0&0&1 \\\\4&2&1 \\\\16&4&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&3&5\end{pmatrix}$$
2. On a donc $X = M^{-1}R = \begin{pmatrix} 0,125 \times 2 – 0,25 \times 3 + 0,125 \times 5 \\\\-0,75 \times 2 + 1 \times 3 – ,25 \times 5 \\\\1 \times 2 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 0,125\\0,25\\2\end{pmatrix}$
   Ainsi $a=0,125$, $b=0,25$ et $c=2$.
   $\quad$
3. On a alors $f(x)= 0,125x^2 + 0,25x + 2$. Donc $f(6) = 8$.
   Il y aura donc $800$ agences en 2016 selon ce modèle.
   $\quad$

Partie B

1. a. Tous les sommets peuvent être reliés les uns aux autres. Le graphe est donc connexe.
   $\quad$
   b. Les sommets $A$ et $E$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
   $\quad$
2. Déterminons les degrés de chacun des sommets.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P \\
   \hline
   2&2&2&4&4&2&2&3& 3&4&2&2&4&2&2&2 \\
   \hline
   \end{array}$
   a. Tous les sommets ne sont pas pas degré pair. Le graphe ne possède pas de cycle eulérien. Il est donc impossible de construire un circuit passant une et une seule fois par chaque rue de telle sorte que le point de départ et le point d’arrivée soit le même.
   $\quad$
   b. Deux sommets sont de degré impair. Il existe donc une chaîne eulérienne. Il est donc possible de construire un circuit passant une et une seule fois par chaque rue de telle sorte que le point de départ et le point d’arrivée ne soit pas les mêmes.
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie A

1. a. $u_1 = 0,85u_0 = 21~250$.
   $\quad$
   b. $u_2 = 0,85u_1 \approx 18~063$
   $\quad$
2. Le nombre de singe baisse chaque année de $15\%$. Il reste donc $85\%$ des singes de l’année précédente.
   La suite $(u_n)$ est donc définie par $\begin{cases} u_0 = 25~000 \\u_{n+1} = 0,85u_n \end{cases}$.
   Il s’agit d’une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $u_n =25~000$.
   Donc pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 25~000 \times 0,85^n$.
   $\quad$
3. L4 : Tant que $u \ge 5~000$ faire
   L5 : $\quad$ $u$ prend la valeur $0,85u$
   L6 : $\quad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\quad$
4. On cherche la valeur de $n$ telle que :
   $$\begin{align*} 25~000 \times 0,85^n < 5~000 & \ssi 0,85^n < \dfrac{1}{5} \\\\
   & \ssi n \ln 0,85 < \ln \dfrac{1}{5} \\\\
   & \ssi n > \dfrac{\ln \dfrac{1}{5}}{\ln 0,85} \\\\
   & \ssi n \ge 10
   \end{align*}$$
   L’algorithme affichera donc $10$.
   $\quad$

Partie B

1. a. $v_1 = 0,75v_0 + 400 = 4~150$
   $v_2 = 0,75v_1 + 400 \approx 3~513$
   $\quad$
   b. Chaque année, $75\%$ des singes sont encore vivant. Cela représente donc $0,75v_n$ singes auxquels on ajoute $400$ naissances.
   Donc $v_{n+1} = 0,75v_n + 400$.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} w_{n+1} &= v_{n+1} – 1~600 \\\\
   & = 0,75v_n + 400 – 1~600 \\\\
   &= 0,75v_n – 1~200 \\\\
   &=0,75\left(v_n – 1~600\right) \\\\
   &=0,75w_n
   \end{align*}$
   La suite $(w_n)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $w_0 = v_0 – 1~600 = 3~400$.
   $\quad$
   b. On a ainsi $w_n = 3~400 \times 0,75^n$.
   $\quad$
   c. Or $v_n = w_n + 1~600 = 3~400 \times 0,75^n + 1~600$.
   $\quad$
   d. Puisque $0 < 0,75 <1$, cela signifie que $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,75^n = 0$. Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 1~600$.
   Au bout d’un grand nombre d’année la population de singe se stabilisera à $1~600$ individus.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ en $B$ est horizontale. Donc $f'(5)  = 0$.
   $\quad$
   On va supposer que l’ordonnée de $A$ est $0$.
   $f'(0)$ correspond au coefficient directeur de la droite $(AE)$.
   Par conséquent $f'(0) = \dfrac{10 – 0}{2 – 0} = 5$.
   $\quad$
2. Puisque $D$ est un point d’inflexion, cela signifie que la fonction $f$ change de convexité en $10$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc concave sur $[0;10]$ et convexe sur $[10;18]$.
   $\quad$

Partie B

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;18]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $$\begin{align*} f'(x) &= 5\e^{-0,2x} + 5x \times (-0,2)\e^{-0,2x} \\\\
   &= 5e^{-0,2x} – xe^{-0,2x} \\\\
   &= (5-x)e^{-0,2x}
   \end{align*}$$
2. La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $(5-x)$.
   Par conséquent $f'(x) > 0 \ssi x <5$
   
3. Le maximum est atteint au bout de $5$ jours.
   $25\e^{-1} \times 1~000 \approx 9~197$.
   L’entreprise vend au maximum $9~197$ jouets en une journée.
   $\quad$

Partie C

1. a.
   $$\begin{align*} \int_0^{10} f(x)\mathrm{d}x &= F(18) – F(0) \\\\
   &= -375\times \e^{-2} – (-125) \\\\
   & = 125 – 375\e^{-2}
   \end{align*}$$
   b. Le nombre moyen de jouets vendus durant la période des $10$ premiers jours est de :
   $$ 1~000 \times \dfrac{1}{10}\int_0^{10} f(x)\mathrm{d}x =1000 \times  \dfrac{125 – 375\e^{-2}}{10} \approx 7~425$$
2. D’après cette feuille de calcul formel on a $f \prime \prime (x) = \dfrac{x-10}{5}\e^{-0,2x}$.
   Le signe de cette fonction ne dépend que de celui de $x-10$, qui change de signe en $10$.
   Donc $f\prime \prime (x) \ge 0 \ssi x \ge 10$.
   La fonction $f$ est convexe sur $[10;18]$.