Bac ES/L – Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Pondichéry / Centres étrangers – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(B\cap A)+p\left(\conj{B}\cap A\right)\\
    &=0,7\times 0,35+0,3\times 0,55\\
    &=0,41\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_A(B)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,7\times 0,35}{0,41} \\
    &\approx 0,598\\
    &>0,5\end{align*}$
    Le directeur va donc décider de proposer à l’avenir la location de l’audioguide sur le site internet du musée.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(T\pp 6)&=P(T\pp 10)-P(6\pp T\pp 10) \\
    &=0,5-P(6\pp T\pp 10) \\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    La probabilité qu’un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique est environ égale à $0,023$.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a $P(6\pp T\pp 14)\approx 0,954$.
    On pouvait également remarquer que $P(6\pp T\pp 14)=P(\mu-2\sigma\pp T\pp \mu+2\sigma)\approx 0,954$.
    $\quad$
  3. On a $P(T\pg a)=0,25 \ssi P(T\pp a)=0,75$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale on obtient $a\approx 11,3$.
    Cela signifie donc qu’un quart des visiteurs reste  plus de $11,3$ minutes, environ, dans la boutique.
    $\quad$
  4. On a $n=720$ et $p=0,25$.
    Donc $n\pg 30$, $np=180\pg 5$ et $n(1-p)=540\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ du nombre de visiteurs ayant passé plus de $15$ minutes dans la boutique est :
    $\begin{align*} I_{720}&=\left[0,25-1,96\sqrt{\dfrac{0,25\times 0,75}{720}};0,25+1,96\sqrt{\dfrac{0,25\times 0,75}{720}}\right] \\
    &\approx [0,218;0,282]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{161}{720}\approx 0,224\in I_{720}$.
    L’étude confirme donc les résultats de l’étude.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     

  1. On a $n=3~000$ et $f=\dfrac{817}{3~000}$
    Par conséquent $n\pg 30$, $nf=817\pg 5$ et $n(1-f)=2~183\pg 5$
    Un intervalle de confiance au seuil de $0,95$ de la proportion de la région trouvant que la publicité est attractive est :
    $\begin{align*} I_{3~000}&=\left[\dfrac{817}{3~000}-\dfrac{1}{\sqrt{3~000}};\dfrac{817}{3~000}+\dfrac{1}{\sqrt{3~000}}\right] \\
    &\approx [0,254;0,291]\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$
  2. $\dfrac{36}{100}\times 4~200=1~512$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On rejette les algorithmes A et C car la variable $N$ n’est pas modifiée dans la boucle Tant que.
    On rejette l’algorithme D car la condition $A>30~000$ de la boucle ne convient pas (on ne rentre pas dans la boucle puisque $150<30~000$).
    Réponse B
    $\quad$
  4. On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1;10]$.
    On veut déterminer :
    $\begin{align*} P(X\pg 5)&=P(5\pp X\pp 10)\\
    &=\dfrac{10-5}{10-1}\\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3   

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

  1. a. On veut calculer $u_1=(1-0,2)\times u_0+35=0,8\times 150+35=155$.
    Au $1\ier$ juillet 2019 il y aura donc $155$ vélos dans le stock.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n$.
    Le loueur se sépare de $20\%$ du stock chaque hiver. Il reste donc $0,8u_n$ vélos.
    Il achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
    Par conséquent $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. a. On a pu saisir en $B3$ la formule $=0,8*B2+35$.
    $\quad$
    b. D’après les résultats obtenus, il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $175$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-175$ soit $u_n=v_n+175$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-175 \\
    &=0,8u_n+35-175\\
    &=0,8u_n-140 \\
    &=0,8\left(v_n+175\right)-140\\
    &=0,8v_n+140-140\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-175=-25$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-25\times 0,8^n$.
    De plus $u_n=v_n+175=175-25\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. On a $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=175$.
    $\quad$
  4. On veut résoudre, dans l’ensemble des entiers naturels :
    $\begin{align*} u_n\pg 170 &\ssi -25\times 0,8^n+175\pg 170 \\
    &\ssi -25\times 0,8^n\pg -5 \\
    &\ssi 0,8^n \pp 0,2 \\
    &\ssi n\ln 0,8\pp \ln 0,2 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\approx 7,21$.
    L’ensemble des solutions cherché est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $8$.
    C’est donc à partir du $1\ier$ juillet 2026 que le loueur possédera au moins $170$ vélos.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. a. Les sommets $E$ et $V$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. Le cycle $M-E-R-P-V-F-M$ permet de passer au moins une fois par tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. On détermine le degré de chacun des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&E&F&M&P&R&V\\
    \hline
    \text{Degré}&4&4&2&4&3&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets de ce graphe connexe sont de degré impair. Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Le restaurateur pourra ainsi organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant en empruntant une fois et une seule chaque route. Il terminera sa visite chez le vigneron.
    Voici un parcours qui convient $R-E-M-F-E-P-R-V-P-F-V$.
    $\quad$
  3. a. La matrice d’adjacence associée à ce graphe est : $$N=\begin{pmatrix}
    0&1&1&1&1&0\\
    1&0&1&1&0&1\\
    1&1&0&0&0&0\\
    1&1&0&0&1&1\\
    1&0&0&1&0&1\\
    0&1&0&1&1&0\end{pmatrix}$$
    $\quad$
    b. Le coefficient de la matrice $N^3$ situé à la première ligne et sixième colonne est $5$.
    Il existe donc $5$ chemins de longueur $3$ reliant l’éleveur au vigneron.
    $\quad$
  4. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E & F & M & P & R & V & \text{Sommet} \\
    \hline
    &  &  &  & 0 &  & R \\
    \hline
    5(R) &  & &   4(R)& & 10(R) & P \\
    \hline
    5(R) & 11(P) &  &  &\phantom{10(R)}  & 9(P) & E \\
    \hline
    & 11(P) & 13(E) &  &  & 9(P) & V \\
    \hline
    & 10(V) & 13(E) &  &  &  & F \\
    \hline
    \phantom{10(R)}&  & 12(F) &  \phantom{10(R)}&  &  & M \\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus cours est donc $R-P-V-F-M$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement $f(0)=2$ et $f(2)=0$.
    $\quad$
  2. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est horizontale. Donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  3. Graphiquement, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est $1$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. Graphiquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ ne coupe $2$ fois la droite d’équation $y=1$.
    L’équation $f(x)=1$ ne possède donc $2$ solutions.
    $\quad$
  5. La fonction semble :
    – croissante sur l’intervalle $[-10;1]$;
    – décroissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    $\quad$
  6. La courbe $\mathcal{C}_f$ semble être au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[-10;0]$ et en-dessous sur l’intervalle $[0;2]$.
    La fonction $f$ semble donc convexe sur l’intervalle $[-10;0]$ et concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
  7. a. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
    b. Graphiquement, en comptant le nombre de carreaux (dont l’aire est $0,25$ u.a.) contenus dans ce domaine, il semblerait que $4\pp I\pp 5$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(0)=(2-0)\e^0=2$ et $f(2)=(2-2)\e^2=0$
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(2-x)\times \e^x \\
    &=(-1+2-x)\e^x\\
    &=(1-x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Ainsi $f'(1)=(1-1)\e^1=0$.
    $\quad$
  3. Une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f'(0)=\e^0=1$ et $f(0)=2\e^0=2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=x+2$.
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau des variations suivant :

    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[-10;1]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    $f(-10)=12\e^{-10}\approx 0,000~5<1$ et $f(1)=\e>1$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-10;1]$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $[1;2]$ la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
    $f(1)=\e>1$ et $f(2)=0<1$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $[1;2]$.
    $\quad$
    D’après la calculatrice on a $\alpha\approx -1,15$ et $\beta\approx 1,84$.
    $\quad$
  5. D’après le logiciel de calcul formel on a $f^{dsec}(x)=-x\e^x$.
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f^{\dsec}$ ne dépend que de celui de $-x$.
    Ainsi :
    – $f^{\dsec}(x)>0$ sur $[-10;0[$;
    – $f^{\dsec}(0)=0$;
    – $f^{\dsec}(0)<0$ sur $]0;2]$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-10;0]$ et concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
  6. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-10;2]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=-1\times \e^x+(3-x)\times \e^x \\
    &=(-1+3-x)\e^x\\
    &=(2-x)\e^x\\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;2]$.
    $\quad$
    b. On a donc :
    $$\begin{align*} I&=\ds \int_0^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(0)\\
    &=\e^2-3\\
    &\approx 4,39\end{align*}$$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A

On s’intéresse à la clientèle d’un musée.
Chaque visiteur peut acheter son billet sur internet avant sa visite ou l’acheter aux caisses du musée à son arrivée.
Pour l’instant, la location d’un audioguide pour la visite n’est possible qu’aux caisses du musée. Le directeur s’interroge sur la pertinence de proposer la réservation des audioguides sur internet. Une étude est réalisée. Elle révèle que :

  • $70 \%$ des clients achètent leur billet sur internet ;
  • parmi les clients achetant leur billet sur internet, $35 \%$ choisissent à leur arrivée au musée une visite avec un audioguide ;
  • parmi les clients achetant leur billet aux caisses du musée, $55 \%$ choisissent une visite avec un audioguide.

On choisit au hasard un client du musée. On considère les événements suivants :

  • $A$ : « Le client choisit une visite avec un audioguide » ;
  • $B$ : « Le client achète son billet sur internet avant sa visite ».
  1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à $0,41$.
    $\quad$
  3. On s’intéresse aux clients qui visitent le musée avec un audioguide.
    Si plus de la moitié d’entre eux ont acheté leur billet sur internet alors le directeur proposera à l’avenir la location de l’audioguide sur le site internet du musée.
    D’après les résultats de cette étude, que va décider le directeur ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B

On s’intéresse désormais à la fréquentation de la boutique du musée.
On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque visiteur, associe la durée en minutes passée dans la boutique.
Une étude statistique a montré que la variable aléatoire $T$ suit la loi normale de moyenne $\mu=10$ et d’écart-type $\sigma = 2$.

  1. Quelle est la probabilité qu’un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique ?
    $\quad$
  2. Calculer $P(6 \pp T \pp 14)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une valeur approchée au dixième du nombre réel $a$ tel que $P(T\pg a) = 0,25$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Les recettes obtenues par la boutique ne sont pas jugées satisfaisantes ; celle-ci est donc réaménagée. Une étude menée suite à ce réaménagement montre que $25 \%$ des visiteurs passent désormais au moins $15$ minutes dans la boutique.
    Pour s’en assurer le gérant de la boutique constitue un échantillon aléatoire de $720$ visiteurs. Il constate que $161$ d’entre eux sont restés $15$ minutes ou plus.
    Cet échantillon confirme-t-il les résultats de l’étude ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Aucune justification n’est demandée.

Un constructeur automobile commercialise un nouveau véhicule. Afin de le faire connaître, une campagne publicitaire est organisée. On étudie l’impact de cette campagne publicitaire dans une certaine région.

  1. On montre la publicité à $3~000$ habitants de cette région. Parmi eux, $817$ la trouvent attractive. Un intervalle de confiance au seuil de $0,95$ de la proportion d’habitants de la région trouvant que la publicité est attractive est (les bornes ont été arrondies à $10^{-3}$) :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{A. } [0,271;0,273]\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{B. } [0,211;0,333]\hspace{1cm} \\
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{C. } [0,254;0,333] \hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{D. } [0,254;0,291]\hspace{1cm} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Dans une ville de la région, sur une population de $4~200$ habitants, $36\%$ ont pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne.
    Le nombre d’habitants de cette ville ayant pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne est :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{A. } 2~688\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{B. } 1~512\hspace{1cm} \\
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{C. } 1~167\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{D. } 4~164 \hspace{1cm} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Le premier jour de la campagne publicitaire, $150$ habitants de la région ont pris connaissance de la publicité. Chaque jour, le nombre d’habitants de la région ayant pris connaissance de la publicité est multiplié par $2$.
    On souhaite écrire un algorithme qui détermine le nombre de jours au bout desquels au moins $30~000$ habitants de la région auront pris connaissance de la publicité.
    $\quad$
    Parmi ces algorithmes, quel est celui dont le contenu de la variable $N$, après exécution de l’algorithme, répond au problème ?
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{3cm}\textbf{A.}\hspace{3cm}&\hspace{3cm}\textbf{B.}\hspace{3cm} \\
    A\leftarrow 150&A\leftarrow 150\\
    N\leftarrow 1&N\leftarrow 1\\
    \text{Tant que }A<30~000&\text{Tant que }A<30~000\\
    \hspace{1cm}A\leftarrow 2A&\hspace{1cm}A\leftarrow 2A\\
    \text{Fin Tant que}&\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    N\leftarrow N+1&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \hspace{3cm}\textbf{C.}\hspace{3cm}&\hspace{3cm}\textbf{D.}\hspace{3cm} \\
    A\leftarrow 150&A\leftarrow 150\\
    N\leftarrow 1&N\leftarrow 1\\
    \text{Tant que }A<30~000&\text{Tant que }A>30~000\\
    \hspace{1cm}A\leftarrow 2A&\hspace{1cm}A\leftarrow 2A\\
    \text{Fin Tant que}&\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    &\text{Fin Tant que}\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  4. Dans une concession automobile de la région, le temps d’attente, exprimé en minutes, avant d’être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1; 10]$.
    Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu’il attende au moins $5$ minutes avant d’être reçu par un conseiller commercial ?
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{A. } 0,4\hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{B. }0,5\hspace{1cm} \\
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{C. } \dfrac{4}{9} \hspace{1cm} &\hspace{1cm} \textbf{D. } \dfrac{5}{9}\hspace{1cm} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de $20 \%$ de son stock et achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au $1\ier$ juillet de l’année (2018 $+n$).
Au $1\ier$ juillet 2018, le loueur possède $150$ vélos, ainsi $u_0 = 150$.

  1. a. Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au $1\ier$ juillet 2019.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,8u_n+35$.
    $\quad$
  2. On a calculé les premiers termes de cette suite à l’aide d’un tableur.
    Une copie d’écran est donnée ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    &\text{A}&\text{B}\\
    \hline
    \hspace{1cm}1\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{rang }n\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\text{terme }u_n\hspace{1cm}\\
    \hline
    2&0&150\\
    \hline
    3&1&155\\
    \hline
    4&2&159\\
    \hline
    5&3&162,2\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $B3$ pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b) Pour les termes de rang $36$, $37$, $38$, $39$ et $40$, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \hspace{1cm}38\hspace{1cm}&\hspace{1cm}36\hspace{1cm}&\hspace{1cm}174,992\hspace{1cm}\\
    \hline
    39&37&174,994\\
    \hline
    40&38&174,995\\
    \hline
    41&39&174,996\\
    \hline
    42&40&174,997\\
    \hline
    \end{array}$$
    Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on cherche à démontrer la conjecture émise à la question précédente.
    Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n=u_n-175$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=-25\times 0,8^n+175$.
    $\quad$
    c. Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  4. On admet que la suite $\left(u_n\right)$est croissante. Déterminer l’ensemble des entiers naturels $n$ tels que : $u_n\pg 170$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

Un restaurateur se fournit auprès de $5$ producteurs locaux. Le graphe ci-dessous représente la situation géographique du restaurateur et de ses fournisseurs, les arêtes correspondant au réseau routier et les sommets aux producteurs :

  1. a. Le graphe est-il complet ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    b. Le graphe est-il connexe ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  2. Est-il possible pour le restaurateur d’organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant et en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse. Si oui, préciser le point d’arrivée et proposer un tel parcours.
    $\quad$
  3. On appelle $N$ la matrice d’adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique.
    a. Déterminer la matrice $N$.
    $\quad$
    b. On donne la matrice $N^3=\begin{pmatrix}6&10&6&10&9&5\\
    10&6&6&10&5&9\\
    6&6&2&4&4&4\\
    10&10&4&8&8&8\\
    9&5&4&8&4&8\\
    5&9&4&8&8&4\end{pmatrix}$
    Déterminer, en justifiant la réponse, le nombre de chemins de longueur $3$ reliant l’éleveur au vigneron.
    $\quad$
  4. Les arêtes du graphe sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètre, entre les différents lieux :

    Le restaurateur doit se rendre chez le maraîcher en partant de chez lui. Quel est le plus court chemin pour effectuer ce trajet ? Justifier la réponse à l’aide d’un algorithme.
    $\quad$

$\quad

Exercice 4     6 points

Partie A
Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$. On a placé les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C(-2 ; 0)$.
On dispose des renseignements suivants :

  • Le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$.
  • La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite horizontale.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

  1. Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
    $\quad$
  2. Indiquer la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
    $\quad$
  4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 1$ dans l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
  5. Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
  6. Déterminer l’intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe, et celui sur lequel elle est concave.
    $\quad$
  7. On s’intéresse au nombre $\ds I=\int_0^2 f(x)\dx$.
    a. Sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie, hachurer le domaine du plan dont l’aire, exprimée en unités d’aire, est égale à $I$.
    $\quad$
    b. Donner un encadrement du nombre $I$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A.

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$ par : $$f(x)=(2-x)\e^x$$

  1. Calculer $f(0)$ et $f(2)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[−10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. a. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 1$ dans l’intervalle $[-10 ; 2]$, puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions.
    $\quad$
  5. Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    1\hspace{0.3cm}&f(x):=(2-x)*exp(x)\\
    \hline
    &\hspace{2cm} f(x):=(-x+2)\e^x\\
    \hline
    2&\text{Simplifier(Dérivée(Dérivée($f(x)$)))}\hspace{1.5cm}\\
    \hline
    &\hspace{3cm}-x\e^x\\
    \hline
    \end{array}$$
    Utiliser le résultat du logiciel pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
  6. On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$ par : $$F(x) = (3-x)\e^x$$
    a. Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur exacte et une valeur approchée au centième du nombre $I=\ds\int_0^2f(x)\dx$.
    $\quad$