Exercice 1

Partie A

1. a. On veut calculer $P(1,35\pp X\pp 1,65)$.
   D’après la calculatrice on trouve $P(1,35\pp X\pp 1,65)\approx 0,968$.
   $\quad$
   b. La variable $Z=\dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}$ suit la loi normale centrée réduite.
   On a
   $\begin{align*} P\left(1,35\pp X_1\pp 1,65\right)=0,98 &\ssi P\left(-0,15 \pp X_1-1,5\pp 0,15\right)=0,98 \\
   &\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \pp \dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
   &\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \pp Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
   &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)-1=0,98\quad\text{(propriété du cours)}\\
   &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=1,98 \\
   &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,99\end{align*}$
   À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_1} \approx 2,326$ et donc $\sigma_1 \approx 0,064$.
   $\quad$
2. a. On a $n=250$ et $p=0,02$.
   Donc $n\pg 30$, $np=5\pg 5$ et $n(1-p)=245\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$ de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur » est :
   $\begin{align*} I_{250}&=\left[0,02-1,96\sqrt{\dfrac{0,02\times 0,98}{250}};0,02+1,96\sqrt{\dfrac{0,02\times 0,98}{250}}\right] \\
   &\approx [0,002;0,038]\end{align*}$
   $\quad$
   Remarque : On arrondit la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès.
   $\quad$
   b. La fréquence observée est $f=\dfrac{10}{250}=0,04\notin I_{250}$.
   Au risque d’erreur de $5\%$, il faut réviser la machine.
   $\quad$

Partie B

1. On a $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,036$
   et $P\left(\conj{E}\cap L\right)=0,04P_{\conj{E}}(L)$.
   Par conséquent $P_{\conj{E}}(L)=\dfrac{0,036}{0,04}=0,9$.
   Donc $P_{\conj{E}}\left(\conj{L}\right)=1-0,9=0,1$.
   On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(L)&=P(E\cap L)+P\left(\conj{E}\cap L\right) \\
   &=0,96\times 0,95+0,036 \\
   &=0,948\end{align*}$
   $\quad$

Exercice 2

Affirmation 1 fausse

$\begin{align*} z-\ic=i(z+1)&\ssi z-\ic=\ic z+\ic \\
&\ssi z-\ic z=2\ic \\
&\ssi z(1-\ic)=2\ic \\
&\ssi z=\dfrac{2\ic}{1-\ic}\end{align*}$
Or $2\ic=2\e^{\ic \pi/2}$
et $|1-\ic|=\sqrt{2}$ donc $1-\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{-\ic \pi/4}$
Par conséquent :
$\begin{align*} z-\ic=i(z+1)&\ssi z=\dfrac{2\e^{\ic \pi/2}}{\sqrt{2}\e^{-\ic \pi/4}} \\
&\ssi =\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}\end{align*}$
Or $\sqrt{2}\e^{3\ic\pi/4}\neq \sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}$.

$\quad$

Affirmation 2 fausse

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a :
$\begin{align*} 2\cos x\e^{-\ic x}&=2\times \dfrac{\e^{\ic x}+\e^{-\ic x}}{2}\times \e^{-\ic x} \\
&=1+\e^{-2\ic x} \\
&=\conj{1+\e^{2\ic x}}  \end{align*}$

Or , sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a $1+\e^{2\ic x} \neq \conj{1+\e^{2\ic x}} $ sauf si $x=0$ (seule valeur pour laquelle l’exponentielle complexe est un réel).

Remarque : La formule d’Euler $\cos x=\times \dfrac{\e^{\ic x}+\e^{-\ic x}}{2}$ n’est pas, en théorie, au programme. Voici une autre façon de traiter la question :
En testant plusieurs valeurs à la calculatrice, on se rend compte qu’il n’y a pas égalité. Prenons pas exemple : $x=\dfrac{\pi}{4}$.
D’une part $1+\e^{2\ic \pi/4}=1+\e^{\ic \pi/2}=1+\ic$;
D’autre part :
$\begin{align*} 2\cos x\e^{-\ic x}&=2\cos \dfrac{\pi}{4}\e^{-\ic \pi/4} \\
&=2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=\sqrt{2}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\ic \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=1-\ic\end{align*}$
Or $1+\ic\neq 1-\ic$ et l’affirmation est fausse.

$\quad$

Affirmation 3 vraie

On appelle $A$ le point d’affixe $\ic$ et $B$ le point d’affixe $-1$.
Ainsi : $|z-\ic|=|z+1|\ssi AM=BM$
Le point $M$ appartient donc à la médiatrice du segment $[AB]$.
On appelle $D$ le point d’affixe $-1+\ic$.
Ainsi le quadrilatère $OBDA$ est un carré dont les diagonales sont $[OD]$ et $[AB]$.
Dans un carré, les diagonales sont perpendiculaires et une équation de la droite $(OD)$ est $y=-x$.
Par conséquent le point $M$ appartient à la droite d’équation $y=-x$.

$\quad$

Affirmation 4 fausse

Supposons que l’équation $z^5+z-\ic+1=0$ possède une solution réelle $z_0$.
On a alors ${z_0}^5+z_0+1=\ic$
Cela signifie que $\ic$ est un réel ce qui est absurde. La supposition faite est donc impossible.

$\quad$

 

 

Exercice 3

Partie A : établir une inégalité

1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a :
   $f'(x)=1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$
   Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $x\pg 0$ et $x+1>0$.
   Par conséquent $f(x)\pg 0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
   $\quad$
2. De plus $f(0)=0-\ln(1)=0$.
   Pour tout réel $x\in [0;+\infty[$ on a, d’après la question précédente :  $0\pp f(0)\pp f(x)$
   Donc $0\pp x-\ln(x+1) \ssi \ln(x+1)\pp x$.
   $\quad$

Partie B : application à l’étude d’une suite

1. On a $u_1=1-\ln(2)$
   et $u_2=1-\ln(2)-\ln\left(2-\ln(2)\right)\approx 0,039$.
   $\quad$
2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1\pg 0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, donc $u_n\pg 0$.
   Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_n-\ln\left(1+u_n\right) \pg 0$.
   On a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   D’après la question A.2. on sait que pour tout réel $x$ on a $f(x) \pg 0$.
   Puisque $u_n\pg 0$ on a donc $f\left(u_n\right) \pg 0$.
   La propriété est ainsi vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 0$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_{n+1}-u_n=-\ln\left(1+u_n\right)$
   D’après la question précédente on a $u_n\pg 0$ donc $1+u_n\pg 1$ et $\ln\left(1+u_n\right) \pg 0$.
   Ainsi $u_{n+1}-u_n\pp 0$
   et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
   La suite $\left(u_n\right)$ étant décroissante et $u_0=1$ on a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_0$ soit $u_n\pp 1$.
   $\quad$
   c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
   $\quad$
3. La limite $\ell$ est solution de l’équation :
   $\begin{align*} f(x)=x &\ssi x-\ln(1+x)=x \\
   &\ssi -\ln(1+x)=0 \\
   &\ssi 1+x=1 \\
   &\ssi x=0\end{align*}$
   Par conséquent $\ell =0$.
   $\quad$
4. a. On peut écrire l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 1 \\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }U\pg 10^{-p} \\
   \hspace{1cm} U\leftarrow U-\ln(1+U) \\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. On a $u_5\approx 3,96\times 10^{-14}$ et $u_6\approx 4,942\times 10^{-17}$.
   Puisque la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, cela signifie que qu’à partir du rang $6$ on a $u_n\pp 10^{-15}$.
   $\quad$
   Remarque : Sur certaines calculatrices(Casio graph75/90, TI83PCE, HP Prime (sans CAS) en particulier, je ne peux pas tester les autres) la calculatrice reste “bloquée” sur environ $4,325\times 10^{-14}$ ou une autre valeur étrange. Pas de soucis avec la Numworks en revanche.
   $\quad$

 

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Les plans $(ABC)$ et $(KLM)$ sont parallèles.
   Les droites $(IN)$ et $(AE)$ sont parallèles et la droite $(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
   La droite $(IN)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(KLM)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite $(ML)$.
   $\quad$
2. a. On a $N(0,5;0,5;1)$ et $C(1;1;0)$
   Le vecteur $\vect{NC}$ a donc pour coordonnées $(0,5;0,5;-1)$.
   On a $M(0,5;0;0,5)$ et $L(0;0,5;0,5)$
   Le vecteur $\vect{ML}$ a donc pour coordonnées $(-0,5;0,5;0)$.
   $\quad$
   b. On a $\vect{NC}.\vect{ML}=-0,25+0,25+0=0$.
   Par conséquent les vecteurs $\vect{NC}$ et $\vect{ML}$ sont orthogonaux et les droites $(NC)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
   $\quad$
   c. Le vecteur $\vect{ML}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vect{IN}$ et $\vect{NC}$ qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(NCI)$.
   Une équation cartésienne de ce plan est alors de la forme $-0,5x+0,5y+d=0$.
   Or $C(1;1;0)$ appartient à ce plan.
   Par conséquent $0+0+d=0\ssi d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(NCI)$ est donc $-0,5x+0,5y=0$ qui est équivalente à  $x-y=0$.
   $\quad$
3. a. On a :
   $N(0,5;0,5;1)$ donc $0,5-0,5+1=0+1=1\checkmark$
   $M(0,5;0;0,5)$ donc $0,5-0+0,5=1 \checkmark$
   $J(1;0,5;0,5)$ donc $1-0,5+0,5=1+0=1\checkmark$
   Les coordonnées de ces trois points vérifient l’équation $x-y+z=1$.
   Ainsi une équation cartésienne du plan $(NJM)$ est bien $x-y+z=1$.
   $\quad$
   b. Un vecteur normal au plan $(NJM)$ est donc $\vec{n}(1;-1;1)$.
   On a $D(0;1;0)$ et $F(1;0;1)$ donc $\vect{DF}(1;-1;1)$
   Ainsi $\vec{n}$ et $\vect{DF}$ sont colinéaires et la droite $(DF)$ est perpendiculaire au plan $(NIM)$.
   $\quad$
   c. On veut résoudre le système suivant :
   $\begin{cases} x-y+z=1\\-0,5x+0,5y=0 \end{cases} \ssi \begin{cases} x=y\\x-y+z=1\end{cases} \ssi \begin{cases} x=y\\z=1\end{cases}$
   L’intersection des deux plans $(NJM)$ et $(NCI)$ est donc la droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1\end{cases} \quad, t\in \R$.
   Cette droite passe donc par le point de coordonnées $(0;0;1)$ et a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u}(1;1;0)$.
   Le point $N$ appartient à ces deux plans et le point $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
   L’intersection des deux plans est donc la droite $(NE)$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. $T$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
   Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\24\end{pmatrix}$
   Or $10\equiv 0~[5]$ et $24\equiv 4~[5]$.
   Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $U$.
   $\quad$
   $E$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$
   Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix}$
   Or $4\equiv 4~[5]$ et $12\equiv 2~[5]$.
   Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $O$.
   $\quad$
   Le message $TE$ est donc codé par $UO$.
   $\quad$
   b. On a $PM=\begin{pmatrix} 6&10\\10&16\end{pmatrix}$
   Or $6\equiv 1~[5]$, $10\equiv 0~[5]$ et $16\equiv 1~[5]$.
   Donc $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   c. On note $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et $A’=\begin{pmatrix}a’&b’\\c’&d’\end{pmatrix}$
   Ainsi $AZ=\begin{pmatrix} ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$
   Mais :
   – si $a\equiv a’~[5]$  et $x\equiv x’~[5]$ alors $ax\equiv a’x’~[5]$
   – si $e \equiv e’~[5]$ et $f\equiv f’~[5]$ alors $e+f\equiv e’+f’~[5]$.
   Donc $ax+by\equiv a’x’+b’y’~[5]$ et $cx+dy\equiv c’x’+d’y’~[5]$.
   Par conséquent les matrices $AZ$ et $A’Z’$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   d. D’après la question précédentes, les matrices $PMX$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
   D’après la question 1.b. les matrices $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
   Par conséquent, les matrices $X$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   Ainsi si on a $MX=Y$ alors, pour décoder la lettre associée à la matrice $Y$  modulo 5 il suffit de trouver la lettre associée à la matrice $PY$ modulo $5$.
   $\quad$
   e. La lettre $D$ est associée à la matrice $Y=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$
   $PY=\begin{pmatrix} 9\\12\end{pmatrix}$
   qui est congrue modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix}$.
   Ainsi la lettre $D$ est décodée en $O$.
   $\quad$
2. a. On a $RS=\begin{pmatrix} 10&10\\20&20\end{pmatrix}$ qui est bien congru modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   b. Si $TR$ et $I$ sont congrues modulo $5$ alors, d’après la procédure fournie, les matrices $TRS$ et $IS$ sont congrues modulo $5$.
   Cela signifie donc que $TRS$ et $S$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   c. On note $Q=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
   $RS$ et $Q$ sont congrues modulo $5$
   Donc $TRS$ et $TQ$ sont congrues modulo $5$.
   Or $TQ=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}=Q$.
   D’après la question précédente cela signifie donc que $I$ et $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
   Or $1$ et $0$ ne sont pas congrus modulo $5$.
   Ainsi la matrice $T$ n’existe pas et un message codé par la matrice $R$ ne peut être décodé.
   $\quad$

 

Exercice 1     5 points

Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

Une usine fabrique des tubes.

Partie A

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

On s’intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

1. Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre $1,35$ millimètres et $1,65$ millimètres.
   $\quad$
   a. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d’une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $1,5$ et d’écart-type $0,07$.
   $\quad$
   On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle.
   $\quad$
   b. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire $X_1$
   suit une loi normale d’espérance $1,5$ et d’écart-type $\sigma_1$.
   $\quad$
   Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à $10^{−3}$ près de $\sigma_1$ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à $0,98$. (On pourra utiliser la variable aléatoire $Z$ définie par $Z = \dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}$ qui suit la loi normale centrée réduite.)
   $\quad$
2. Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle $[298 ; 302]$. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de $2 \%$ de tubes non «conformes pour la longueur » est acceptable.
   $\quad$
   On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de $250$ tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur ».
   $\quad$
   a. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à $95 \%$ de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur » dans un échantillon de $250$ tubes.
   $\quad$
   b. Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.
   $\quad$

Partie B

Des erreurs de réglage dans la chaîne de production peuvent affecter l’épaisseur ou la longueur des tubes de type 2.
Une étude menée sur la production a permis de constater que :

• $ 96 \%$ des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme ;
• parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, $95 \%$ ont une longueur conforme ;
• $3,6 \%$ des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.

On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements :

• $E$ : « l’épaisseur du tube est conforme » ;
• $L$ : « la longueur du tube est conforme ».
  On modélise l’expérience aléatoire par un arbre pondéré :
  

1. Recopier et compléter entièrement cet arbre.
   $\quad$
2. Montrer que la probabilité de l’événement $L$ est égale à $0,948$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     4 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$. Dans ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : L’équation $z-\ic = \ic (z+1)$ a pour solution $z=\sqrt{2}\e^{\ic \pi/4}$.
$\quad$

Affirmation 2 : Pour tout réel $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$, le nombre complexe $1+\e^{2\ic x}$ admet pour forme exponentielle $2\cos x \e^{-\ic x}$.
$\quad$

Affirmation 3 : Un point $M$ d’affixe $z$ tel que $|z-\ic|=|z+1|$ appartient à la droite d’équation $y=-x$.
$\quad$

Affirmation 4 :L’équation $z^5+z-\ic+1=0$ admet une solution réelle.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Partie A : établir une inégalité

Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x)=x-\ln(x+1)$.

1. . Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; +\infty$[.
   $\quad$
2. En déduire que pour tout $x\in [0; +\infty[$, $ln(x+1) \pp x$.
   $\quad$

Partie B : application à l’étude d’une suite

On pose $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\ln\left(1+u_n\right)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
   $\quad$
2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pg 0$.
   $\quad$
   b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp 1$ .
   $\quad$
   c. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   $\quad$
3. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A. En déduire la valeur de $\ell$.
   $\quad$
4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
   $\quad$
   b. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.
   Remarque : De nombreuses calculatrices ne permettent pas de répondre à cette question. Explications sur TI-Planet.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On relie les centres de chaque face d’un cube $ABCDEFGH$ pour former un solide $IJKLMN$ comme sur la figure ci-dessous.

Plus précisément, les points $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ et $N$ sont les centres respectifs des faces carrées $ABCD$, $BCGF$ , $CDHG$, $ADHE$, $ABFE$ et $EFGH$ (donc les milieux des diagonales de ces carrés).

1. Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites $(IN)$ et $(ML)$ sont orthogonales.

Dans la suite, on considère le repère orthonormé $\left(A,\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ dans lequel, par exemple, le point $N$ a pour
coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};1\right)$.

2. a. Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{NC}$ et $\vect{ML}$.
   $\quad$
   b. En déduire que les droites $(NC)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
   $\quad$
   c. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan $(NCI)$ .
   $\quad$
3. a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(NJM)$ est : $x-y+z=1$.
   $\quad$
   b. . La droite $(DF)$ est-elle perpendiculaire au plan $(NJM)$ ? Justifier.
   $\quad$
   c. Montrer que l’intersection des plans $(NJM)$ et $(NCI)$ est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Deux matrices colonnes $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x’\\y’\end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo $5$ si et seulement si $\begin{cases} x\equiv x’~[5]\\y\equiv y’~[5]\end{cases}$.
Deux matrices carrées d’ordre $2$ $\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}a’&c’\\b’&d’\end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo $5$ si et seulement si $\begin{cases} a\equiv a’~[5]\\b\equiv b’~[5]\\c\equiv c’~[5]\\d\equiv d’~[5] \end{cases}$.

Alice et Bob veulent s’échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.

• Ils choisissent une matrice $M$ carrée d’ordre $2$, à coefficients entiers.
• Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
• Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ déduite du tableau ci-dessous : $x$ est le chiffre situé en haut de la colonne et $y$ est le chiffre situé à la gauche de la ligne ; par exemple, la lettre $T$ d’un message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix} 4\\3\end{pmatrix}$.
  $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  &~0~&~1~&~2~&~3~&~4~\\
  \hline
  ~0~&A&B&C&D&E\\
  \hline
  ~1~&F&G&H&I&J\\
  \hline
  ~2~&K&L&M&N&O\\
  \hline
  ~3~&P&Q&R&S&T\\
  \hline
  ~4~&U&V&X&Y&Z\\
  \hline
  \end{array}$
  Remarque : la lettre $W$ est remplacée par les deux lettres accolées $V$.
• On calcule une nouvelle matrice$\begin{pmatrix} x’\\y’\end{pmatrix}$ en multipliant $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ à gauche par la matrice $M$ : $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
• On calcule $r’$ et $t’$ les restes respectifs des divisions euclidiennes de $x’$ et $y’$ par $5$.
• On utilise le tableau ci-dessus pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix}r’\\t’\end{pmatrix}$.

1. Bob et Alice choisissent la matrice $M=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$.
   a. Montrer que la lettre « $T$ » du message initial est codée par la lettre « $U$ » puis coder le message « $TE$ ».
   $\quad$
   b. On pose $P=\begin{pmatrix} 3&1\\4&2\end{pmatrix}$. Montrer que les matrices $PM$ et $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   c. On considère $A$, $A’$ deux matrices d’ordre $2$ à coefficients entiers congrues modulo $5$ et $Z = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, $Z’=\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo $5$. Montrer alors que les matrices $AZ$ et $A’Z’$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   Dans ce qui suit, on admet que si $A$, $A’$ sont deux matrices carrées d’ordre $2$ à coefficients entiers congrues modulo $5$ et si $B$, $B’$ sont deux matrices carrées d’ordre $2$ à coefficients entiers congrues modulo $5$ alors les matrices produits $AB$ et $A’B’$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   d. On note $X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des deux questions précédentes que si $MX$ et $Y$ sont congrues modulo $5$ alors les matrices $X$ et $PY$ sont congrues modulo $5$ ; ce qui permet de « décoder » une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice $M$ choisie.
   $\quad$
   e. Décoder alors la lettre « $D$ ».
   $\quad$
2. On souhaite déterminer si la matrice $R=\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}$ peut être utilisée pour coder un message.
   a. On pose $S=\begin{pmatrix}2&2\\4&4\end{pmatrix}$. Vérifier que la matrice $RS$ et la matrice $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   b. On admet qu’un message codé par la matrice $R$ peut être décodé s’il existe une matrice $T$ telle que les matrices $TR$ et $I$ soient congrues modulo $5$. Montrer que si c’est le cas alors les matrices $TRS$ et $S$ sont congrues modulo $5$ (par la procédure expliquée en question 1.d pour le codage avec la matrice $M$).
   $\quad$
   c. En déduire qu’un message codé par la matrice $R$ ne peut être décodé.
   $\quad$