Exercice 1

1. On veut résoudre l’équation :
   $f(x)=2\ssi -0,9x^3+1,5x^2+1,5=2$
   En traçant la courbe sur la calculatrice, on constate qu’il y a au moins $3$ points d’intersection dont les abscisses sont environ égales à $-0,5$ ; $0,8$ et $1,4$.
   Réponse d
   $\quad$
2. On veut résoudre dans $\N$ l’inéquation :
   $\begin{align*} 1-0,85^n>0,99 &\ssi -0,85^n>-0,01 \\
   &\ssi 0,85^n < 0,01 \\
   &\ssi n\ln 0,85 < \ln 0,01 \\
   &\ssi n> \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,85} \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,85} \approx 28,3$
   L’ensemble solution est donc l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $29$.
   Réponse b
   $\quad$
3. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le fois où Esteban a oublié sa trousse.
   On effectue $162$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues :
   $S$ : “Esteban a oublié sa trousse” et $\conj{S}$.
   De plus $p(S)=0,2$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=162$ et $p=0,2$.
   On veut calculer $P(X=30)=\ds \displaystyle \binom{162}{30}\times 0,2^{30}\times 0,8^{132} \approx 0,07$
   Réponse b
   $\quad$
4. Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
   L’amplitude est alors :
   $a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$
   On veut donc résoudre dans $\N$ l’inéquation :
   $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}} \pp 0,001 &\ssi \dfrac{\sqrt{n}}{2} \pg 1~000 \\
   &\ssi \sqrt{n} \pg 2~000 \\
   &\ssi n\pg 4~000~000\end{align*}$
   Réponse a
   $\quad$

 

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Partie A

1. On a $u_1=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\times u_0-28=1,2\times 150-28=152$
   $u_2=1,2\times 152-28=154,4$
   $\quad$
2. On considère un entier naturel $n$.
   La responsable d’un aquarium public constate qu’en l’absence d’action particulière la population d’une espèce de poisson augmente de $20%$ par an. La population est donc de $\left(1+\dfrac{20}{100}\right)u_n=1,2u_n$.
   Pour démarrer un nouveau bassin, elle décide de prélever $28$ poissons à la fin de chaque année.
   Donc $u_{n+1}=1,2u_n-28$.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $w_n=u_n-140 \ssi u_n=w_n+140$.
   $\begin{align*} w_{n+1}&=u_{n+1}-140 \\
   &=1,2u_n-28-140 \\
   &=1,2u_n-168 \\
   &=1,2\left(w_n+140\right)-168 \\
   &=1,2w_n+168-168 \\
   &=1,2w_n\end{align*}$
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $w_0=u_0-140=10$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=10\times 1,2^n$.
   Ainsi $u_n=w_n+140=10\times 1,2^n+140$.
   $\quad$
4. On veut résoudre dans $\N$ l’inéquation :
   $\begin{align*} u_n>200 &\ssi 10\times 1,2^n+140>200 \\
   &\ssi 10\times 1,2^n>60 \\
   &\ssi 1,2^n>6 \\
   &\ssi n\ln 1,2>\ln 6 \\
   &\ssi n>\dfrac{\ln 6}{\ln 1,2}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln 6}{\ln 1,2}\approx 9,8$.
   La responsable devra par conséquent prévoir l’achat d’un nouvel aquarium en 2027.
   $\quad$

Partie B

1. On obtient l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   S\leftarrow 0 \\
   V\leftarrow 1~350 \\
   \text{Pour $N$ allant de $1$ à $6$}\\
   \hspace{1cm} S\leftarrow S+V\\
   \hspace{1cm} V\leftarrow 1,12V\\
   \text{Fin Pour} \\
   S\leftarrow 8S\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. Le nombre total de visiteur est :
   $\begin{align*} N&=1~350+1~350\times 1,12+1~350\times 1,12^2+\ldots+1~350\times 1,12^5 \\
   &=1~350\left(1+1,12+1,12^2+\ldots +1,12^5\right) \\
   &=1~350 \times \dfrac{1-1,12^6}{1-1,12} \\
   &=11~250\left(1,12^6-1\right)\end{align*}$
   La recette totales est alors :
   $S=8N=8\times 11~250\left(1,12^6-1\right) \approx 87~644$ €.
   Remarque : En fonction de l’endroit on effectue le(s) arrondi(s) le résultat final peut sensiblement être différent.
   $\quad$

 

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Nous allons déterminer le degré des différents sommets.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\
   \hline
   \text{Degré}&4&2&4&6&2&4&4&4&2\\
   \hline
   \end{array}$
   Tous les sommets du graphe sont donc de degré pair.
   De plus le cycle $A-B-C-D-I-H-F-G-E-D-A$ permet de parcourir tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
   Ainsi, le graphe possède un cycle eulérien.
   Elle pourra explorer tous les sentiers en ne passant qu’une fois sur chacun d’entre eux.
   $\quad$
2. Nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A&B&C&D&E&F&G&H&I&\text{Sommet}\\
   \hline
   0&&&&&&&&&A\\
   \hline
   &5(A)&8(A)&12(A)&&&8(A)&&&B\\
   \hline
   &&7(B)&12(A)&&&8(A)&&&C\\
   \hline
   &&&12(A)&&9(C)&8(A)&&&G\\
   \hline
   &&&12(A)&10(G)&9(C)&&14(G)&&F\\
   \hline
   &&&11(F)&10(G)&&&14(G)&&E\\
   \hline
   &&&11(F)&&&&14(G)&&D\\
   \hline
   &&&&&&&12(D)&18(D)&H\\
   \hline
   &&&&&&&&18(D)&I\\
   \hline
   \end{array}$$
   Le chemin le plus court est donc $A-B-C-F-D-I$. Il mesure $18$ km.
   $\quad$

Partie B

1. 1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
   $\quad$
2. On a $P_0=\begin{pmatrix}0,9&0,1\end{pmatrix}$
   La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,15&0,85\end{pmatrix}$
   $\quad$
3. On a $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix}0,645&0,355\end{pmatrix}$
   $\quad$
4. L’état stable $P=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ est tel que :
   $\begin{align*} \begin{cases} P=PM\\x+y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 0,7x+0,15y=x\\0,3x+0,85y=y\\x=1-y\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} -0,3x+0,15y=0 \\0,3x-0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}0,3(1-y)-0,15y=0\\x=1-y\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}0,3-0,45y=0\\x=1-y\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}0,45y=0,3\\x=1-y\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{2}{3}\\x=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
   L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
   Cela signifie donc que sur le long terme, $\dfrac{1}{3}$ des clients choisira un vélo classique et $\dfrac{2}{3}$ un vélo électrique.
   $\quad$

 

 

Exercice 3

Partie A

1. D’après l’énoncé on a $p\left(\conj{A}\cap B\right)=0,015$.
   $\quad$
2. On obtient l’arbre suivant (il a été complété en entier en tenant compte des réponses suivantes) :
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
   &=0,85\times 0,5+0,015 \\
   &=0,44\end{align*}$
   $\quad$
4. a. On a :
   $\begin{align*} p_{\conj{A}}(B)&=\dfrac{p\left(\conj{A}\cap B\right)}{p\left(\conj{A}\right)} \\
   &=\dfrac{0,015}{0,15} \\
   &=0,1\end{align*}$
   $\quad$
   b. Cela signifie que la probabilité  que le touriste voit des bébés éléphants dans la journée sachant qu’il n’a pas vu d’éléphant adulte est égale à $0,1$.
   $\quad$

Partie B

1. On appelle $T$ la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle $[0;90]$.
   On a donc $P(T\pg 60)=\dfrac{90-60}{90-0}=\dfrac{1}{3}$
   La probabilité que le groupe attende plus d’une heure avant d’apercevoir les éléphants est égale à $\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$
2. On a $E(X)=\dfrac{90+0}{2}=45$.
   Il faut donc, en moyenne, attendre $45$ minutes pour observer des éléphants.
   L’heure moyenne d’arrivée des éléphants est donc $20$h$45$.
   $\quad$

Partie C

1. a. Les éléphants d’Afrique sont généralement plus grands que ceux d’Asie.
   Par conséquent $\mu>\mu’$.
   Ainsi la courbe $\mathscr{C}_1$ est associée à la variable aléatoire $X$ et la courbe $\mathscr{C}_2$ est associée à la variable aléatoire $Y$.
   $\quad$
   b. Graphiquement on a $\mu\approx 330$ et $\mu’\approx 270$.
   $\quad$
2. On obtient :
   
   Graphiquement, on conclut donc que $P(X>330)>P(Y>330)$.
   $\quad$
3. a. À l’aide de la calculatrice on trouve
   $\begin{align*} P(Y>330)&=P(Y>268)-P(268<Y<330) \\
   &=0,5-P(268<Y<330) \\
   &\approx 0,11\end{align*}$
   $\quad$
   b. La probabilité qu’un éléphant d’Asie ait une taille supérieure à $330$ cm est environ égale à $0,11$.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. a $f(0)=5\e^0=5$.
   Les coordonnées du point $A$ sont donc $(0;5)$
   $\quad$
   b. On veut résoudre l’équation $f(x)=0 \ssi \left(-5x^2+5\right)\e^x=0$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Cela revient donc à $-5x^2+5=0$
   $\ssi 5x^2=5$
   $\ssi x^2=1$
   $\ssi x=1$ ou $x=-1$
   La courbe $\mathscr{C}$ coupe donc l’axe des abscisses en deux points $B(-1;0)$ et $C(1;0)$.
   $\quad$
   c. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=-10x\e^x+\left(-5x^2+5\right)\e^x \\
   &=\left(-5x^2-10x+5\right)\e^x\end{align*}$
   $\quad$
   d. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-5x^2-10x+5$.
   Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
   $\Delta=(-10)^-2-4\times (-5)\times 5=200>0$
   Il possède deux racines réelles :
   $x_1=\dfrac{10-\sqrt{200}}{-10}=-1+\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{10+\sqrt{200}}{-10}=-1-\sqrt{2}$
   Le coefficient principal est $a=-5<0$.
   Par conséquent $f'(x)>0$ sur l’intervalle $\left]-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right[$.
   La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $\left]-\infty,-1-\sqrt{2}\right[$ et $\left]-1+\sqrt{2};+\infty\right[$ et croissante sur l’intervalle $\left]-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right[$.
   $\quad$
2. a. Une équation de la tangente est de la forme : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
   $f'(0)=5\e^0=5$ et $f(0)=5$.
   Une équation de $\Delta$ est donc $y=5x+5$.
   $\quad$
   b. Cf graphique
   $\quad$
3. a. D’après le logiciel on a :
   $\begin{align*} f\dsec(x)&=-20x\e^x-5x^2\e^x-5\e^x \\
   &=\left(-20x-5x^2-5\right)\e^x \\
   &=-\left(5x^2+20x+5\right)\e^x\end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\left(5x^2+20x+5\right)$.
   D’après le logiciel, les racines sont $-\sqrt{3}-2$ et $\sqrt{3}-2$.
   Le coefficient principal est $a=-5$.
   La fonction est donc concave sur $\left]-5;-\sqrt{3}-2\right[$ et $\left]\sqrt{3}-2;2\right[$ et convexe sur l’intervalle $\left]-\sqrt{3}-2;-\sqrt{3}-2\right[$.
   $\quad$
4. a. Cf Graphique
   $\quad$
   b. L’aire $\mathscr{A}$ est donc inférieure à celle du triangle $AOB$.
   Par conséquent $\mathscr{A}\pp \dfrac{1\times 5}{2}$ soit $\mathscr{A}\pp 2,5$ u.a.
   $\quad$
   c. On a :
   $\begin{align*} \ds \int_{-1}^0 f(x)\dx&=F(0)-F(-1) \\
   &=-5\e^0-(-5-10-5)\e^{-1} \\
   &=-5+20\e^{-1} \text{ u.a.} \\
   &\approx 2,37 \text{ u.a.} \end{align*}$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-0,9x^3 + 1,5 x^2 + 1,5$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère. Le nombre de points d’intersection entre la courbe $\mathscr{C}$ et la droite d’équation $y=2$ est :
   a. $0$
   b. $1$
   c. $2$
   d. $3$
   $\quad$
2. Une des solutions de l’inéquation $1-0,85^n > 0,99$ d’inconnue $n$ entier naturel est :
   a. $28$
   b. $29$
   c. $\dfrac{\ln 0,85}{\ln 0,01}$
   d. $28,336$
   $\quad$
3. Esteban va à l’école chaque matin avec une trousse. À la fin de la journée, il oublie sa trousse avec une probabilité de $0,2$. Dans l’année le nombre de jours d’école est de $162$. On considère que les oublis journaliers sont indépendants les uns des autres. La probabilité qu’il oublie sa trousse $30$ fois exactement dans l’année est environ :
   a. $0,19$
   b. $0,07$
   c. $0,60$
   d. $0,36$
   $\quad$
4. Une enquête a pour objectif d’estimer la proportion de personnes partant en vacances à l’étranger durant la semaine de Noël. Pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude $0,001$ au niveau de confiance $0,95$ de cette proportion, la taille de l’échantillon doit être égale à :
   a. $4~000~000$
   b. $1~000$
   c. $2~000$
   d. $1~000~000$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.

Partie A

La responsable d’un aquarium public constate qu’en l’absence d’action particulière la population d’une espèce de poisson augmente de $20\%$ par an.
Pour démarrer un nouveau bassin, elle décide de prélever $28$ poissons à la fin de chaque année.
La situation est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0=150$, le terme $u_n$ donnant une estimation du nombre de poissons au 1$\ier$ janvier de l’année 2018$+n$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   $\quad$
2. Justifier que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} = 1,2u_n-28$.
   $\quad$
3. On définit la suite $\left(w_n\right)$ par : $w_n = u_n-140$ pour tout $n\in\N$.
   a. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.
   Préciser son terme initial.
   $\quad$
   b. Exprimer pour tout $n\in\N$, $w_n$ en fonction de $n$.
   En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
4. Sachant que l’aquarium ne peut contenir plus de $200$ poissons, la responsable doit-elle prévoir l’achat d’un autre aquarium dans les années à venir? Si oui, en quelle année?
   $\quad$

Partie B

On sait qu’il y a eu $1~350$ visiteurs le premier mois et que le prix d’entrée est fixé à $8$ euros.
La responsable fait l’hypothèse d’une augmentation mensuelle de la fréquentation des visiteurs de $12\%$.
Elle veut alors savoir, sous cette hypothèse, la recette totale accumulée durant les six premiers mois.

1. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il détermine la recette cherchée.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   S \gets 0\\
   V \gets 1~350\\
   \text{Pour $N$ allant de $1$ à $\dots$}\\
   \hspace{1cm} S \gets \dots\\
   \hspace{1cm} V \leftarrow 1,12 V\\
   \text{Fin Pour}\\
   S \gets 8S\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. Quel est le montant de la recette cherchée?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Sur son lieu de vacances d’été, Inaé décide de pratiquer son activité favorite: le vélo tout terrain (VTT). Le plan des sentiers VTT de la région est représenté par le graphe ci-dessous.
Les arêtes représentent les sentiers, les sommets représentent les intersections de ces sentiers et le poids des arêtes désigne la distance en km entre chaque intersection.

 

1. Pourra-t-elle explorer tous les sentiers en ne passant qu’une fois sur chacun d’entre eux? Justifier.
   $\quad$
2. Inaé se trouve en $A$ et a rendez-vous au point $I$. Elle veut s’y rendre en empruntant l’itinéraire le plus court. Déterminer à l’aide d’un algorithme cet itinéraire en en préciser la longueur.
   $\quad$

Partie B

En 2018, des vélos électriques ont été mis en location. Les clients ont donc eu le choix entre des vélos classiques et des vélos électriques. En 2018, seulement $10\%$ des clients ont loué des vélos électriques.

On admet que tous les clients louent un vélo et que:

• $85\%$ des clients ayant loué un vélo électrique une année en relouent un l’année suivante;
• $70\%$ des clients ayant loué un vélo classique une année en relouent un l’année suivante.

On suppose que le nombre de clients chaque été reste constant. On s’intéresse à la répartition des clients dans les années à venir.

On note pour tout entier naturel $n$:

• $c_n$ la probabilité qu’un client pris au hasard choisisse un vélo classique l’année 2018$+n$;
• $e_n$ la probabilité qu’un client pris au hasard choisisse un vélo électrique l’année 2018$+n$;
• $P_n=\begin{pmatrix} c_n & e_n \end{pmatrix}$ la matrice correspondant à l’état probabiliste l’année 2018$+n$.

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste.
   On notera $C$ l’évènement « le client loue un vélo classique » et $E$ l’évènement « le client loue un vélo électrique ».
   $\quad$
2. Donner la matrice $P_0$ traduisant l’état probabiliste initial ainsi que la matrice de transition $M$ en respectant l’ordre $C$ puis $E$ des sommets.
   $\quad$
3. Calculer $P_1$.
   $\quad$
4. Déterminer l’état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

Les résultats seront arrondis au centième.

Partie A

Lors d’un safari photo en Afrique, un groupe de touristes souhaite observer des familles d’éléphants. Le guide leur explique que :

• la probabilité de voir des éléphants adultes dans la journée est de $0,85$;
• la probabilité de voir des bébés éléphants sachant que l’on voit des éléphants adultes est de $0,5$;
• la probabilité d’observer des bébés éléphants mais pas d’adultes éléphants dans la journée est de $0,015$.

On choisit au hasard un touriste de ce groupe et on considère les évènements suivants :

• $A$: « Le touriste voit des éléphants adultes dans la journée »;
• $B$: « Le touriste voit des bébés éléphants dans la journée ».

Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\conj{E}$ l’évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.

1. Donner $p\left (\conj{A}\cap B \right )$.
   $\quad$
2. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l’exercice.
   $\quad$
3. Montrer que $p(B)=0,44$.
   $\quad$
4. a. Calculer $p_{\conj{A}}(B)$.
   $\quad$
   b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Partie B

À 20 h, le groupe de touristes fait une pause autour d’un point d’eau pour observer le bain des éléphants. On considère que le temps d’attente en minute nécessaire pour observer des éléphants suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;90]$.

1. Quelle est la probabilité que le groupe attende plus d’une heure avant d’apercevoir les éléphants?
   $\quad$
2. Calculer l’heure moyenne d’arrivée des éléphants.
   $\quad$

Partie C

Lors de leur séjour, les touristes ont appris que les éléphants d’Afrique sont généralement plus grands que les éléphants d’Asie.
On modélise la taille en centimètre d’un éléphant d’Afrique par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type $\sigma$. De même, on modélise la taille en centimètre d’un éléphant d’Asie par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne $\mu’$ et d’écart type $\sigma’$.
Les courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ des densités de probabilité associées à $X$ et $Y$ sont données en annexe.

1. a. Associer chaque courbe $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$ à sa variable aléatoire.
   $\quad$
   b. Donner une valeur approchée à la dizaine de l’espérance pour chacune d’entre elles.
   $\quad$
2. Représenter graphiquement $p(X>330)$ et $p(Y>330)$ puis comparer ces deux probabilités.
   $\quad$
3. a. Calculer à l’aide de la calculatrice $p(Y>330)$ sachant que $\mu’=268$ et $\sigma’=50$.
   $\quad$
   b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     6 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $$f(x) = (-5x^2+5)\e^{x}$$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$, et $f”$ la fonction dérivée seconde.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan, donnée en annexe.

1. a. Calculer les coordonnées du point A, intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec l’axe des ordonnées. Placer le point $A$ dans le repère fourni en annexe.
   $\quad$
   b. Démontrer que $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points. Déterminer leurs coordonnées et les placer dans le repère fourni en annexe.
   $\quad$
   c. Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=(-5x^2-10x+5)\e^{x}$.
   $\quad$
   d. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-5; 2]$.
   $\quad$
2. Soit $\Delta$ la tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
   a. Montrer qu’une équation de $\Delta$ est $y=5x+5$.
   $\quad$
   b. Tracer la droite $\Delta$ dans le repère fourni en annexe.
   $\quad$
3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants que l’on pourra utiliser sans justification :
   a. Montrer que, pour tout $x\in [-5;2]$, $f”(x)=-(5x^2+20x+5)\e^{x}$.
   $\quad$
   b. Étudier la convexité de le fonction $f$ sur l’intervalle $[-5;2]$.
   $\quad$
4. On s’intéresse à l’aire $\mathscr{A}$, en unité d’aire, du domaine délimité par $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x =- 1$ et $x = 0$.
   a. Hachurer sur l’annexe ce domaine.
   $\quad$
   b. On admet que sur l’intervalle $[-1; 0]$, la droite $\Delta$ est au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$.
   Justifier que l’aire $\mathscr{A}$ est inférieure à $2,5$ unités d’aire.
   $\quad$
   c. On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $$F(x) = (-5x^2+10x-5)\e^{x}$$ est une primitive de $f$.
   Calculer $\ds\int_{-1}^{0} f(x) \dx$.
   On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
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Annexe

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