Exercice 1

Partie A

1. On a $P(17\pp X\pp 24)=P(24\pp X\pp 31)$ du fait de la symétrie de la courbe.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} P(X\pg 31)&=P(X\pg 24)-P(24\pg X\pg 31) \\
   &=0,5-0,46\\
   &=0,04\end{align*}$
   Réponse a
   $\quad$
2. D’après l’énoncé on a $\mu=24$.
   Si on prend $\sigma=0,1$ alors $P(17\pp X\pp 24)\approx 0,5$.
   Si on prend $\sigma=4$ alors $P(17\pp X\pp 24)\approx 0,46$.
   Réponse b
   $\quad$

Partie B

1. La droite d’équation $x=0,5$ coupe la courbe en $3$ points.
   L’équation $f(x)=0,5$ admet donc trois solutions.
   Réponse d
   $\quad$
2. La fonction $f$ semble décroissante sur l’intervalle $[2;3]$.
   Par conséquent $f'(x)\pp 0$ sur l’intervalle $[2;3]$.
   Réponse b
   $\quad$
3. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;4]$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2-15\times 2x+36\\
   &=6x^2-30x+36\end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. D’après l’arbre pondéré on a :
   $p(M\cap W)=0,7\times 0,75=0,525$.
   La probabilité que la fiche choisie corresponde à une vente du midi et une formule Wok est égale à $0,525$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(B)&=p(M\cap B)+p(S\cap B)\\
   &=0,7\times 0,25+0,3\times 0,6\\
   &=0,175+0,18\\
   &=0,355\end{align*}$
   la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule Burger est égale à $0,355$.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_B(S)&=\dfrac{p(B\cap S)}{p(B)} \\
   &=\dfrac{0,18}{0,355} \\
   &\approx 0,507\end{align*}$
   Quelle est la probabilité que la vente ait eu lieu le soir sachant qu’on a prélevé une fiche correspondant à la formule Burger est environ égale à $0,507$.
   $\quad$

Partie B

On a $n=120$ et $p=0,9$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,9-\dfrac{1}{\sqrt{120}};0,9+\dfrac{1}{\sqrt{120}}\right] \\
&\approx [0,808;0,992]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{94}{120}\notin I_{120}$.

Ce résultat permet donc, au risque de $5\%$ de mettre en doute l’argument publicitaire du gérant.
$\quad$

 

Exercice 3

Partie A

1. On saisit $=C3*\$B\$4/\$B\$3 $.
   $\quad$
2. $\dfrac{6~927-8~304}{8~304}\approx -0,166$ soit environ $-16,6\%$.
   Le taux d’évolution du nombre de naissances entre 2009 et 2016 est environ égal à $-16,6\%$.
   $\quad$
3. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen entre 2009 et 2016.
   On a donc :
   $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=1-0,166 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=0,834 \\
   &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=0,834^{1/7} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=0,834^{1/7}-1\\
   &\ssi x=100\left(0,834^{1/7}-1\right)\end{align*}$
   Ainsi $x\approx -2,6$.
   Le taux d’évolution annuel moyen sur cette période est de $-2, 6 \%$.
   $\quad$

Partie B

1. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=-191,82x+8~553,82$.
   $\quad$
2. a. Si $x=1$ alors $y=-192\times 1+8~554=8~362$ : le point de coordonnées $(1;8~362)$ appartient à la droite $\Delta$.
   Si $x=10$ alors $y=-192\times 10+8~554=6~634$ : le point de coordonnées $(10;6~634)$ appartient à la droite $\Delta$.
   On obtient le graphique suivant :
   
   $\quad$
   b. En 2020 on a $x=12$.
   Donc $y=-192\times 12+8~554=6~250$.
   Selon ce modèle, on peut estimer qu’il y aura $6~250$ naissances en 2020 dans ce département.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. On a $u_1=(1+0,054)\times u_0=1,054\times 300=316,2$.
   Et $u_2=1,054\times 316,2\approx 333,27$
   $\quad$
2. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,054$ et de premier terme $u_0=300$.
   Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=300\times 1,054^n$.
   $\quad$
3. a. On a l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   N\leftarrow 2017\\
   U\leftarrow 300\\
   \text{tant que }U<450\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,054\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Voici les différentes valeurs, arrondies au centième, prises par les variables.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   N&2017&2018&2019&2020&2021&2022&2023&2024&2025\\
   \hline
   U&300&316,2&333,27&351,27&370,24&390,23&411,3&433,51&456,92\\
   \hline
   \end{array}$$
   Ainsi, après exécution de cet algorithme on a $N=2025$ et $U\approx 456,92$.
   C’est donc en 2025 que la masse totale de ces déchets plastiques aura dépassé $450$ millions de tonnes.
   $\quad$

 

 

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n’enlève de point.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma$ telle que $P(17 \pp X\pp 24)\approx 0,46$ à $10^{-2}$ près. La courbe de densité de cette loi est représentée ci-dessous. Elle admet la droite d’équation $x = 24$ comme axe de symétrie.

1. Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $P(X \pg 31)$ est :
   a. $0,04$
   b. $0,54$
   c. $0,96$
   d. $0,46$
   $\quad$
2. Les valeurs des deux paramètres de cette loi sont :
   a. $\mu = 24$ et $\sigma = 0,1 $
   b. $\mu = 24$ et $\sigma = 4$
   c. $\mu = 20$ et $\sigma = 5,69$
   d. $\mu = 4$ et $\sigma = 2$
   $\quad$

Partie B

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[1; 4]$ dont la courbe $C_f$ est représentée dans le repère ci-dessous :

1. Choisir la proposition correcte :
   a. le maximum de $f$ sur l’intervalle $[1; 4]$ est égal
   à $1$.
   b. l’image de $1$ par $f$ est égale à $2$.
   c. la fonction $f$ est négative sur l’intervalle $[2; 3]$.
   d. l’équation $f(x) = 0,5$ admet trois solutions.
   $\quad$
2. Soit $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1; 4]$.
   On a $f'(x) = 0$ pour tout réel $x$ appartenant à :
   a. $[1; 1,5]$
   b. $[2; 3]$
   c. $[1 ; 2]∪[3 ; 4]$
   d. $[1,5; 3]$
   $\quad$
3. On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1; 4]$, $f(x) = 2x^3-15x^2+36x-27$.
   Choisir la proposition correcte :
   a. $f'(x)=5x^2-17x+37$
   b. $f'(x)=6x^2-30x+36$
   c. $f'(x)=6x^3-30x^2+36x-27$
   d. $f'(x)=6x^2-30x+9$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Un food truck, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules :
— la formule Burger ;
— la formule Wok.

Partie A

Le gérant a remarqué que $70 \%$ de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule Burger, alors que $40 \%$ des ventes du soir correspondent à la formule Wok.
Le gérant se constitue un fichier en notant, pour chaque vente, la formule choisie et le moment de cette vente (midi ou soir).
On prélève une fiche de façon équiprobable. On définit les quatre évènements suivants :
$\quad$ $M$ : « la fiche correspond à une vente du midi »;
$\quad$ $S$ : « la fiche correspond à une vente du soir »;
$\quad$ $W$ : « la fiche correspond à une formule Wok »;
$\quad$ $B$ : « la fiche correspond à une formule Burger ».

1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité de l’évènement $M\cap W$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
3. Montrer que la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule Burger est égale à $0,355$.
   $\quad$
4. On a prélevé une fiche correspondant à la formule Burger. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que la vente ait eu lieu le soir ?
   $\quad$

Partie B

Dans sa publicité, le gérant souhaite afficher que $9$ clients sur $10$ sont satisfaits des formules qu’il propose.
Sur les $120$ clients servis au cours d’une journée, $94$ se sont déclarés satisfaits.
Ce résultat de l’enquête permet-il de mettre en doute l’argument publicitaire du gérant ? Expliciter la démarche
à l’aide d’un intervalle de fluctuation au seuil de $95 \%$.
$\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 3     6 points

Voici un aperçu d’une feuille de calcul regroupant le nombre de naissances dans un département français de 2009 à 2016.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}&\text{I}\\
\hline
1&\text{Année}&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
2&\text{Rang de l’année }x_i&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
3&\text{Nombre de naissances }y_i&8~304&8~111&8~041&7~833&7~644&7~466&7~199&6~927\\
\hline
4&\text{Indice}&100&&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{3cm} \small{\textit{Source : INSEE – Etat civil – Données mises en ligne le 12/10/2017}}$$

Partie A

1. Parmi les quatre formules proposées, laquelle peut-on saisir dans la cellule $C4$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les indices jusqu’en 2016 ?
   ➀ $=C3*B4/\$B\$3$ $\qquad$ ➁$ =\$C\$3*\$B\$4/B3$ $\qquad$ ➂ $=C3*\$B\$4/\$B\$3$ $\qquad$ ➃ $=\$C\$3*B4/B3$
   $\quad$
2. Déterminer le taux d’évolution du nombre de naissances entre 2009 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
   $\quad$
3. Expliquer pourquoi le taux d’évolution annuel moyen sur cette période est de $-2, 6 \%$, au dixième près.
   $\quad$

Partie B

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i, y_i\right)$, pour $i$ variant de $1$ à $8$, est représenté sur le repère donné en annexe, à rendre avec la copie.

1. Donner une équation de la droite d’ajustement affine du nuage de points, de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.
   $\quad$
2. Pour la suite, on décide de prendre comme droite d’ajustement du nuage de points la droite $\Delta$ d’équation : $$y =-192x + 8~554$$.
   a. Donner les coordonnées de deux points de la droite $\Delta$, puis tracer cette droite dans le repère
   donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
   b. En utilisant l’ajustement donné et en considérant qu’il reste valide jusqu’en 2020, estimer le nombre de naissances dans le département concerné en 2020.
   $\quad$

$\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 4     4 points

Le « continent de plastique » est la plus grande des plaques de déchets plastiques évoluant sur les océans. Elle occupe actuellement dans l’océan Pacifique une surface dont l’aire est évaluée à plus de $1,6$ million de km$^2$, entre Hawaï et la Californie.
En 2017, des scientifiques ont estimé la masse totale de déchets plastiques dans les océans à $300$ millions de tonnes et ont prévu une augmentation de $5,4 \%$ par an au cours des prochaines années.
On modélise l’évolution de la masse totale de ces déchets plastiques, si rien n’est fait pour la réduire, par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,054$ et de premier terme $u_0 = 300$. L’arrondi au centième du terme $u_n$ représente la masse totale de ces déchets, exprimée en million de tonnes, pour l’année (2017$+n$).

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   $\quad$
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
3. On souhaite déterminer en quelle année la masse totale de ces déchets plastiques aura pour la première fois augmenté de $50 \%$ par rapport à sa valeur de 2017.
   a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour que la variable $N$ contienne la réponse au problème posé. $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   n\leftarrow 2017\\
   U\leftarrow 300\\
   \text{Tant que }U <450\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow \ldots \\
   \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots \\
   \text{Fin Tant que }\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Que contiennent les variables $U$ et $N$ après exécution de cet algorithme ?
   Interpréter les résultats dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$