Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2016

Antilles Guyane – septembre 2016

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable deux fois sur $\R$ en tant que produit de fonctions deux fois dérivables sur $\R$.
    $f'(x)=\e^x+xe^x$
    $f\prime\prime(x)=\e^x+\e^x+x\e^x = \e^x\left(2+x\right)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent $f\prime\prime(x)\pg 0 \ssi x\pg -2$.
    La fonction $f$ est convexe sur $[0;+\infty[$. Réponse d
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle ne s’annule jamais.
    Par conséquent $(3x+1)\e^x=0 \ssi 3x+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{3}$.
    L’équation possède $1$ solution sur $\R$. Réponse b
    $\quad$
  3. Chaque année le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{8}{100}=1,08$.
    Sur $10$ ans, le coefficient multiplicateur est $1,08^{10}\approx 2,16$
    Or $2,16=1+\dfrac{116}{100}$.
    Le prix de cette denrée a augmenté, à l’unité près, de $116\%$. Réponse b
    $\quad$
  4. La fonction $g$ semble être décroissante sur l’intervalle $[1;3]$. Par conséquent $g'(2)<0$.
    Le coefficient directeur à la courbe $\mathscr{C}_g$ au point d’abscisse $2$ semble être $-1$.
    Donc $g'(2)=-1$ Réponse a
    $\quad$
  5. On considère la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x)=\dfrac{1}{3}\e^{3x+2}$.
    $H$ est dérivable sur $\R$.
    $H'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3 \times \e^{3x+2}=\e^{3x+2}=h(x)$.
    Cette fonction $H$ est donc une primitive de la fonction $h$.
    Réponse b
    $\quad$
  6. La courbe laisse envisager que $\mu=10$.
    On calcule, à la calculatrice, avec les paramètres $\mu=10$ et $\sigma=1$ $P(9<X<12) \approx 0,8186 \approx 0,82$
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a $E_0=\begin{pmatrix} 0,1&0,85&0,05\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. On obtient le graphe suivant :
    bac-esl-antilles-guyane-septembre2016-ex2
  3. a. $0,5$ correspond à la probabilité qu’un abonné qui était initialement en Step passe au Pilates d’une semaine sur l’autre.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} E_1&=E_0\times M \\
    &=\begin{pmatrix}\scriptsize{0,1 \times 0,3+0,85\times 0,5+0,05\times 0,2}&\scriptsize{0,1 \times 0,1+0,85\times 0,3+0,05\times 0,6}&\scriptsize{0,1 \times 0,6+0,85\times 0,2+0,05\times 0,2} \end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix}0,465&0,295&0,24\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $E_3=E_0\times M^3=\begin{pmatrix}0,317~2&0,348~8&0,334\end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. $E_6=E_0\times M^6 \approx \begin{pmatrix}0,33&0,33&0,33\end{pmatrix}$
    Au bout de $6$ semaines, environ $\dfrac{1}{3}$ des abonnés se répartissent dans chaque activité.
    $\quad$
  5. On calcule $E_8=E_0\times M^8 \approx \begin{pmatrix} 0,333&0,333&0,333\end{pmatrix}$
    Ainsi, si la salle compte $120$ abonnés, on compte prévoir $120 \times 0,333 \approx 40$ abonnés dans chacune des activités après $8$ semaines.
    $\quad$
  6. a. Il semblerait que l’état stable soit $E=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b.
    $$\begin{align*} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} \times M&= \begin{pmatrix}\dfrac{0,3+0,5+0,2}{3}&\dfrac{0,1+0,3+0,6}{3}&\dfrac{0,6+0,2+0,2}{3} \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}
    \end{align*}$$
    Donc l’état stable est bien $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Il s’agit de l’aire d’un trapèze : $\mathscr{A}=\dfrac{(1+2)\times 0,5}{2}=0,75$ u.a.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que $P(0,5\pp X \pp 1)=0,75$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} P(0 \pp  X \pp 0,75)&= \int_0^{0,75} 2x\dx \\
    &=\Big[x^2\Big]_0^{0,75} \\
    &=0,75^2-0^2 \\
    &=0,562~5
    \end{align*}$$
    On pouvait également voir cette probabilité comme l’aire d’un triangle de base $0,75$ et de hauteur $2\times 0,75$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a.
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{valeur de }U&600&650&698&743&785&826\\
    \hline
    \text{valeur de } n&0&1&2&3&4&5\\
    \hline
    \text{test }U<800&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{faux} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b.L’algorithme affichera donc la valeur $5$.
    $\quad$
    c. Cela signifie que ce n’est qu’au bout de la $5^{\text{ème}}$ année que le nombre d’abonnés à ce service dépassera les $800$ personnes.
    $\quad$
  2. a. $u_1=0,95\times 600+80=650$ et $u_2=0,95\times 650+80\approx 698$.
    On retrouve bien les valeurs du tableau précédent.
    $\quad$
    b. $v_n=u_n-1~600$ donc $u_n=v_n+1~600$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~600 \\
    &=0,95u_n+80-1~600 \\
    &=0,95\left(v_n+1~600\right)-1~520 \\
    &=1~520+0,95v_n-1~520\\
    &=0,95v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~600=-1~000$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1~000\times 0,95^n$.
    Par conséquent $u_n=v_n+1~600=1~000\times 0,95^n+1~600$.
    $\quad$
  3. $0<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~600$.
    Sur le long terme, l’association servira $1~600$ repas par jours.
    Puisque la taille des locaux acutels ne permet pas servir plus de $1~000$ repas, l’association devra envisager un jour des travaux d’agrandissement.

 

Énoncé

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