Exercice 1

Partie A

1. $\quad$
   
2. $p(T\cap B)=0,6 \times 0,5=0,3$
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(B)&=p(O\cap B)+p(T \cap B)+p(M \cap B) \\
   &=0,28\times \dfrac{4}{5}+0,6\times 0,5+0,12 \times \dfrac{3}{4}\\
   &=0,614
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_B(O)&=\dfrac{p(B\cap O)}{p(B)}\\
   &=\dfrac{0,28\times \dfrac{2}{5}}{0,614}\\
   &\approx 0,365
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. a. $P(47\pp X\pp 53)\approx 0,683$
   $\quad$
   b. $P(X\pg 56)=0,5-P(50\pp X \pp 56) \approx 0,023$
   $\quad$
2. On cherche la valeur de $k$ telle que $P(X\pg k)=0,8$ soit $P(X \pp k)=0,2$
   La calculatrice nous donne $k \approx 47,5$.
   La hauteur de $80\%$ des rosiers “Arlequin” atteindra ou dépassera $47,5$ cm.
   $\quad$

Partie C

On a $n=75 \pg 30$, $p=0,85$ donc $np=63,75\pg 5$ et $n(1-p)=11,25 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des clients qui achètent un bouquet pour la fête des mères est donc :
$\begin{align*}I_{75}&=\left[0,85-1,96\sqrt{\dfrac{0,85 \times 0,15}{75}};0,85+1,96\sqrt{\dfrac{0,85 \times 0,15}{75}}\right]\\
&\approx [0,769;0,931]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=1-\dfrac{16}{75}\approx 0,787 \in I_{75}$.
Le fleuriste ne doit donc pas rejeter son hypothèse.
$\quad$

Exercice 2

1. $f'(-3)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
   Donc $f'(-3)=\dfrac{6-(-2)}{-3-(-5)}=4$
   Réponse B
   $\quad$
2. Le point $A$ est un point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$. Donc $f^{\prime\prime}(-3)=0$.
   Réponse C
   $\quad$
3. La courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[-5;-3]$. La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-5;-3]$.
   Réponse A
   $\quad$
4. La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-3;1]$.
   La fonction $f’$ est donc décroissante sur l’intervalle $[-3;-1]$.
   Réponse A
   $\quad$
5. La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[-5;1]$.
   Toute primitive de $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[-5;1]$.
   Réponse B
   $\quad$
6. $I$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-5$ et $x=-4$.
   Cette aire est positive et inférieure à l’aire d’un trapèze de petite base $1$, de grande base $3$ et de hauteur $1$.
   L’aire de ce trapèze est donc égale à $\dfrac{(1+3)\times 1}{2}=2$.
   Par conséquent $0 \pp I\pp 2$.
   Réponse C
   $\quad$

Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
   
   $\quad$
   b. La matrice de transition est :
   $$M=\begin{pmatrix}0,89&0,11\\0,14&0,86\end{pmatrix}$$
   $\quad$
   c. En février, on obtient $P_1=P_0M = \begin{pmatrix} 0,74&0,26\end{pmatrix}$
   Donc $74\%$ des abonnés ont emprunté un livre et $26\%$ des abonnés ont emprunté un film en février 2016.
   En mars 2016, on obtient $P_2=P_1M=\begin{pmatrix}0,695&0,305\end{pmatrix}$.
   Cela signifie donc que $69,5\%$ des abonnés ont emprunté un livre et $30,5\%$ des abonnés ont emprunté un film en mars 2016.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $P_{n+1}=P_nM=\begin{pmatrix}0,89a_n+0,14b_n&0,11a_n+0,86b_n\end{pmatrix}$
   Donc $a_{n+1}=0,89a_n+0,14b_n$
   $\quad
   b.
   $\begin{align*} \begin{cases} a_n+b_n=1\\a_{b+1}=0,89a_n+0,14b_n\end{cases}&\ssi \begin{cases} b_n=1-a_n\\a_{n+1}=0,89a_n+0,14\left(1-a_n\right)\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} b_n=1-a_n\\a_{n+1}=0,89a_n+0,14-0,14a_n\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} b_n=1-a_n\\a_{n+1}=0,75a_n+0,14\end{cases}\end{align*}$
   $\quad$
   c. On peut utiliser l’algorithme suivant :
   Initialisation
   $\quad$ $a$ prend la valeur $0,8$
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   Traitement
   $\quad$ Tant que $a \pg 0,6$
   $\qquad$ $a$ prend la valeur $0,85\times a+0,14$
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie
   $\quad$ Afficher $n$
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,56$ donc $a_n=u_n+0,56$.
   On a également :
   $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,56\\
   &=0,75a_n+0,14-0,56\\
   &=0,75a_n-0,42 \\
   &=0,75\left(u_n+0,56\right)-0,42\\
   &=0,75u_n+0,42-0,42\\
   &=0,75u_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ de premier terme $u_0=a_0-0,56=0,24$
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=0,25 \times 0,75^n$.
   Donc $a_n=u_n+0,56=0,25 \times 0,75^n+0,56$.
   $\quad$
   c. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} a_n<0,6&\ssi 0,24\times 0,75^n+0,56<0,6 \\
   &\ssi 0,24\times 0,75^n <0,04 \\
   &\ssi 0,75^n< \dfrac{1}{6} \\
   &\ssi n\ln 0,75< \ln \dfrac{1}{6} \\
   &\ssi n > \dfrac{\ln \dfrac{1}{6}}{\ln 0,75}\\
   &\ssi n \pg 7
   \end{align*}$
   C’est donc au bout du $7^{\text{ème}}$ mois, soit au mois août que le pourcentage de jeunes abonnés empruntant un livre deviendra, pour la première fois, strictement inférieur à $60\%$.
   $\quad$
   d. $0<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,75^n = 0$
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0,56$
   A long terme, $56\%$ des jeunes abonnés choisiront d’emprunter un livre.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. Après avoir parcouru $2$ kilomètres les randonneurs se trouvent environ à $580$ m d’altitude.
   $\quad$
2. Les randonneurs auront parcouru  environ $8,5$ km avant d’atteindre le refuge.
   $\quad$
3. L’altitude du point de départ et du point d’arrivée ne sont pas les mêmes . Les randonneurs ne seront donc pas revenus à leur point de départ.
   $\quad$

Partie B

1. $\quad$
   $\begin{align*} f'(x)&=150 \e^{-0,02x^2}+150x \times (-0,02 \times 2x)\e^{-0,02x^2}\\
   &=150 \e^{-0,02x^2}-6x^2\e^{-0,02x^2}\\
   &=\left(150 -6x^2\right)\e^{-0,02x^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   La fonction exponentielle est strictement positive.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $150-6x^2$.
   $150-6x^2\pg 0 \ssi -6x^2 \pg -150 \ssi x^2 \pp 25 \ssi x\in[0;5]$
   $150-6x^2=0\ssi x^2=25$ $\ssi x=5$ car $x\pg 0$.
   
   Avec $f(5)= 750\e^{-0,5}+300\approx 755$ m et $f(12)=1~200\e^{-2,88}+300\approx 401$ m.$
   \quad$
2. L’altitude maximale est d’environ $755$ m et elle est atteinte au bout de $5$ km.
   $\quad$
3. D’après la question précédente, la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;5]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[5;12]$
   La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[0;5]$
   $f(0)=300$ et $f(5) \approx 755$.
   Donc $350\in\left[f(0);f(5)\right]$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=350$ ne possède qu’une seule solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;5]$.
   $\quad$
   La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $[5;12]$ et $f(12) \approx 401$
   Donc pour tout réel $x$ appartenant à $[5;12]$ on a $f(x) > 400 > 350$.
   L’équation $f(x)=350$ ne possède pas de solution sur l’intervalle $[5;12]$.
   $\quad$
   L’altitude de $350$ m sera donc atteinte qu’une seule fois durant cette randonnée.
   $\quad$
   D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,334$.
   Les randonneurs ont donc parcouru environ $334$ m pour parvenir à une altitude de $350$ m.
   $\quad$
4. $F$ est dérivable sur $[0;12]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} F'(x)&=300-3~750\times (-0,02 \times 2x)\e^{-0,02x^2} \\
   &=300-150x\e^{-0,02x^2}\\
   &=f(x)
   \end{align*}$
   La fonction $F$ est donc une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;12]$.
   $\quad$
5. L’altitude moyenne de la randonnée lors de l’ascension est donnée par :
   $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^{5}f(x)\dx \\
   &=\dfrac{1}{5}\left[F(5)-F(0)\right] \\
   &=\dfrac{1}{5}\left(1~500-3~750\e^{-0,5}+3~750\right)\\
   &=\dfrac{1}{5}\left(5~250-3~750\e^{-0,5}\right)\\
   &\approx 595 \text{m }
   \end{align*}$

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.