Pondichéry – Avril 2016

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : obligatoire et spécialité

Exercice 1

1. $f'(x)=3-\left(\ln x+\dfrac{x}{x}\right) = 3-\left(\ln x+1\right)=3-\ln x-1$ $=2-\ln x$
   Réponse C
   $\quad$
2. La somme des $13$ termes de cette suite vaut :
   $S=1 \times \dfrac{1-2^{13}}{1-2} = 8~191$
   Réponse B
   $\quad$
3. $P(3\leqslant X \leqslant 7) = \dfrac{7-3}{7-2} = \dfrac{4}{5}$
   $P(X\geqslant 4) = \dfrac{7-4}{7-2}=\dfrac{3}{5}$ et $P(2\leqslant X \leqslant)=\dfrac{5-2}{7-2}=\dfrac{3}{5}$
   $E(X)=\dfrac{7+2}{2}=\dfrac{9}{2}$
   Réponse B
   $\quad$
4. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
   Son amplitude est donc $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
   On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} = 0,02$ soit $\sqrt{n}=\dfrac{2}{0,02}=100$
   Donc $n=100^2=10 000$
   Réponse C
   $\quad$

Exercice 2

Partie A : Etude graphique

1. Le coût quotidien de l’entreprise est minimal pour une production d’environ $4,5$ tonnes.
   $\quad$
2. a. Graphiquement $C(6) \approx 5,1$ et $R(6) \approx 18$.
   Le résultat net quotidien dégagé par l’entreprise pour $6$ tonnes de granulés fabriqués et vendus vaut environ $(18-5,1)\times 100=1~290$ euros.
   $\quad$
   b. L’entreprise réalise un bénéfice quand la production est comprise entre $2,9$ et $13,2$ tonnes environ.
   $\quad$

Partie B : Etude d’une fonction

1. a. $g'(x)=-0,6-\e^{-x+5}$.
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est toujours positive. Par conséquent $g'(x)<0$ sur $[1;15]$ et la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[1;15]$.
   $\quad$
2. a.
   
   b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 6,9$.
   $\quad$
   c. La fonction $g$ est strictement décroissante et s’annule en $\alpha$.
   On a donc le tableau de signes suivant :
   $\quad$

Partie C : Application économique

1. $D(x)=R(x)-C(x) = 3x-0,3x^2+x-\e^{-x+5}=4x-0,3x^2-\e^{-x+5}$.
   $\quad$
2. $D'(x)=4-2\times 0,3x-(-1)\e^{-x+5}=4-0,6x+\e^{-x+5}=g(x)$.
   $\quad$
3. D’après la question B.2.c :
   – $g$ est croissante sur l’intervalle $[1;\alpha]$
   – $g$ est décroissante sur l’intevalle $[\alpha;15]$
   $\quad$
4. a. Le bénéfice est donc maximal quand $x=\alpha$ soit environ $6,9$ tonnes.
   $\quad$
   b. $D(6,9) \approx 13,17$.
   Le bénéfice maximal est donc d’environ $1~317$ euros.

 

Exercice 3

Partie A

1. $P(G) = 0,49$, $P(T)= 0,2$, $P_T(R)=0,906$ et $P_G(R)=0,915$.
   $\quad$
2. $\quad$
   
3. On veut calculer $P(T\cap R) = 0,2 \times 0,906 = 0,181~2$.
   $\quad$
4. a. D’après la propriété des probabilités totales on a :
   $\begin{align*}P(R)&=P(G\cap R)+P(T\cap R)+ P(S\cap R) \\
   0,878&=0,448~35+0,181~2+P(S\cap R)
   \end{align*}$
   Donc $P(S\cap R)=0,878-(0,448~35+0,181~2) = 0,248~45$
   $\quad$
   b. $P_S(R)=\dfrac{P(S\cap R)}{P(S)} = \dfrac{0,248~45}{0,31}\approx 0,801$
   $\quad$

Partie B

1. $P(9 \leqslant X_M \leqslant 16) \approx 0,68$
   $\quad$
2. Ce ne pas être le graphique 3 puisque $\mu=13,2$ et que sur ce graphique on peut lire $\mu \approx 10$.
   A l’aide de la calculatrice $P(5 \leqslant X_F \leqslant 20)\approx 0,999$. Le graphique 1 ne peut donc pas convenir.
   Le bon graphique est le graphique 2.
   $\quad$

Exercice 4

Pour les candidats ES n’ayant pas suivi la spécialité mathématiques et les candidats L

1. a. Au 26 février 2016, le capital restant dû, après la première mensualité vaut $5~700 \times 1,015-300=5~485,5$ euros
   $\quad$
   b. $u_2=u_1\times 1,015-300\approx 5~267,78$
   $\quad$
2. a. $\quad$
   $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de }u&5~700&5~485,5&5~267,78&5~046,80&4~822,50&4~594,84&4~363,76 \\
   \hline
   \text{Valeur de } n&0&1&2&3&4&5&6 \\
   \hline
   u>4~500 \text{ (vrai/faux)}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{faux}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. L’algorithme affichera donc $6$.
   Il s’agit du nombre de mois nécessaires pour que le capital restant dû soit inférieur pour la première fois à $4~500$ euros.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align*}v_{n+1}&=u_{n+1}-20~000 \\
   &=1,015u_n-300-20~000\\
   &=1,015u_n-20~300\\
   &=1,015\left(v_n+20~000\right)-20~300\\
   &=1,015v_n+20~300-20~300\\
   &=1,015v_n
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $v_0=5~700-20~000=-14~300$
   Donc $v_n=-14~300\times 1,015^n$
   D’où $u_n=v_n+20~000=20~000-14~300\times 1,015^n$.
   $\quad$
4. a. Le 26 avril 2017 on a $n=15$ donc $u_{15}=20~000-14~300\times 1,015^{15}\approx 2~121,68$ .
   $\quad$
   b. On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n\leqslant 0$
   Soit $20~000-14~300\times 1,015^n \leqslant 0$
   Donc $14~300\times 1,015^n \geqslant 20~000$
   d’où $1,015^n \geqslant \dfrac{20~000}{14~300}$
   Ou encore $n \ln 1,015 \geqslant \ln \dfrac{20~000}{14~300}$
   Et par conséquent $n \geqslant \dfrac{\ln \dfrac{20~000}{14~300}}{\ln 1,015} \approx 22,5$
   Il faut donc $23$ mensualités pour rembourser le crédit.
   $\quad$
   c. $u_{22} \approx 157,83$ donc la dernière mensualité sera de $157,83 \times 1,015 = 160,20$ euros.
   $\quad$
   d. L’emprunteur aura donc payé $22\times 300+160,20=6~760,2$ euros au total.
   $\quad$

Exercice 4

Pour les candidats ES ayant suivi la spécialité mathématiques 

1. $\quad$
   
   $\quad$
2. On a donc $M=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
   $\quad$
3. a. On a alors $M^4=\begin{pmatrix}0,812~5&0,187~5\\0,75&0,25\end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. On a donc $P_5=P_1\times M^4=\begin{pmatrix}0,821~5&0,187~5\end{pmatrix}$
   Ainsi la probabilité que la personne fasse son cinquième achat sur Internet est égale à $0,812~5$.
   $\quad$
4. a. L’état stable vérifie $P=PM$ et $a+b=1$
   Soit $\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,4&0,6\end{pmatrix}$ et $a+b=1$.
   D’où $\begin{cases} a=0,9a+0,4b\\b=0,1a+0,6b\\a+b=1 \end{cases}$ $\ssi \begin{cases} 0,1a-0,4b=0\\0,1a-0,4b=0\\a+b=1\end{cases}$ $\ssi \begin{cases} 0,1a-0,4b=0\\a+b=1\end{cases}$
   $\quad$
   b. On résout ce système par substitution :
   $\begin{cases}a=1-b\\0,1(1-b)-0,4b=0\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,1-0,1b-0,4b=0\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,5b=0,1\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}b=\dfrac{0,1}{0,5}\\a=1-b\end{cases}$ $\ssi \begin{cases}b=0,2\\a=0,8\end{cases}$
   L’état stable est donc $\begin{pmatrix}0,8&0,2\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   c. Sur le long terme, cela signifie que $80\%$ des achats seront faits sur Internet et $20\%$ le seront en magasin.
   $\quad$
5. a. On a $P_n=P_n\times M$
   Donc $\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
   D’où $\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,9a_n+0,4b_n&0,4a_n+0,6b_n\end{pmatrix}$
   Ainsi $a_{n+1}=0,9a_n+0,4b_n$.
   Or $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$
   Par conséquent $a_{n+1}=0,9a_n+0,4\left(1-a_n\right)$ $=0,5a_n+0,4$.
   $\quad$
   b. Variables :
   $\quad$ $N$ est un entier naturel
   $\quad$ $A$ est un nombre réel
   Initialisation :
   $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $1$
   $\quad$ Affecter à $A$ la valeur $1$
   Traitement :
   $\quad$ tant que $A > 0,801$
   $\qquad$ Affecter à $A$ la valeur $0,5\times A + 0,4$
   $\qquad$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$.
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $N$.
   $\quad$
   c. On calcule les différentes valeurs de $a_n$ à la calculatrice
   $a_8\approx 0,801~5$ et $a_9 \approx 0,800~7$.
   Donc l’algorithme affichera $9$.