DNB – Amérique du Sud – nov 2014

Amérique du Sud – Novembre 2014

Mathématiques – Correction – Brevet

L’énoncé de ce sujet est disponible ici.

Exercice 1

  1. On appelle $x$ le tarif enfant. Le tarif adulte est donc $x+4$. On a ainsi :
    $100(x + 4) + 50x = 1~300$
    Par conséquent $100x + 400 + 50x = 1~300$
    Donc $150x = 900$
    Et $x = \dfrac{900}{150}= 6$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. Les points $A, B$ et $E$ sont alignés. Par conséquent $AE = AB + BE$ $= \sqrt{15} + 1$.
    L’aire du rectangle $AEFD$ est donc :
    $\begin{align} \mathscr{A}_{AEFD} &= AD \times AE \\\\
    & = \left(\sqrt{15} – 1\right) \times \left(\sqrt{15} + 1\right)\\\\
    &= 15 – 1 \\\\
    &= 14
    \end{align}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. La vitesse des ondes sismiques est $v = \dfrac{320}{59} \approx 5,4$ km/s.
    Réponse a
    $\quad$

Exercice 2

  1. Le triangle $FNM$ est rectangle en $F$.
    Son aire est donc :
    $\begin{align} \mathscr{A}_{FNM} & = \dfrac{FN \times FM}{2} \\\\
    & = \dfrac{4 \times 3}{2} \\\\
    & = 6 \text{cm}^2
    \end{align}$
    $\quad$
  2. Le volume de la pyramide est :
    $\begin{align} \mathscr{V}_{FNMB} &= \dfrac{\mathscr{A}_{FNM} \times FB}{3} \\\\
    &= \dfrac{6 \times 5}{3} \\\\
    &= 10 \text{cm}^3
    \end{align}$
    $\quad$
  3. a. Le volume du parallélépipède rectangle est :
    $V_1 = FE \times FG \times FB$ $= 15 \times 10 \times 5 = 750 \text{cm}^3$
    Le volume du solide est donc :
    $V = V_1 – \mathscr{V}_{FNMB} = 750 – 10 = 740 \text{cm}^3$.
    $\quad$
    b. $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    & Parallélépipède ~ABCDEFGH & Solide~ ABCDEFNMGH \\\\
    \hline
    Nombre~ de~ faces & 6 & 7 \\\\
    \hline
    Nombres~ d’arêtes & 12 & 14 \\\\
    \hline
    Nombre~ de~ sommets & 8 &  9 \\\\
    \hline
    Caractéristique~ x & 2 & 2 \\\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Exercice 3

  1. Si une lettre pèse $75$ g, elle se retrouve dans la catégorie “jusqu’à $100$ g”.
    Son affranchissement est donc de $1,65 ~€$.
    $\quad$
  2. Le tarif pour cette lettre de $109$ g est de :$2,65 + 0,05 \times 11 = 3,20 ~€$
    $\quad$
  3. L’envoi de ce paquet de $272$ g coûte : $3,55 + 28 \times 0,11 = 6,63 < 6,76$.
    Il peut donc payer le montant correspondant.
    $\quad$
  4. $L + l + h = 55 + 30 + 20 = 105 > 100$ cm.
    Le paquet est donc trop “grand”.
    $\quad$

Exercice 4

  1. Après la première injection, il faut attendre le deuxième jour pour constater une présence d’anticorps.
    $\quad$
  2. Après la première injection, le taux maximal ($90$ environ) est atteint $5$ jours après (le mardi 21 octobre).
    $\quad$
  3. Pablo n’a plus d’anticorps dans son organisme environ $12$ jours après la première injection.
    $\quad$
  4. Le taux d’anticorps est supérieur à $800$ pendant environ $2$ jours.

$\quad$

Exercice 5

  1. En 2012, il lui a fallu $8 \times 60 + 40 = 520$ minutes pour réaliser le parcours.
    En 2013, il lui a fallu $8 \times 60 + 25 = 505$ minutes pour réaliser le parcours.
    $\quad$
  2. a. En B2, elle a saisi $=B1 + 15$.
    $\quad$
    b. Cette formule permet de calculer la durée totale du parcours en 2012.
    $\quad$
    c. En B4, elle peut saisir : $=3B1+2B2$.
    $\quad$
  3. En H2, elle obtiendra $120$.
    En H3, elle obtiendra $570$.
    En H4, elle obtiendra $555$.
    $\quad$
  4. Au regard des valeurs trouvées à la question 1 et des données de ce tableau, son oncle met $95$ minutes pour réaliser la petite boucle  et $110$ minutes pour réaliser la grande boucle.

$\quad$

Exercice 6

  1.  On a $f_m = 220 – a$
    $\quad$
  2. a. A $60$ ans, la fréquence cardiaque maximale est $f_m = 208 – 0,75 \times 60 = 163$ battements par minute.
    $\quad$
    b. On cherche la valeur de $a$ telle que :
    $208 – 0,75 \times a = 184$ soit $-0,75a = -24$ d’où $a = \dfrac{-24}{-0,75} = 32$.
    C’est à $32$ ans que la fréquence cardiaque maximale est de $184$ battements par minutes.
    $\quad$
    c. Soit $x$ le taux de réduction.
    On a ainsi : $193 \times \left(1 – \dfrac{x}{100}\right) = 178$.
    D’où $1 – \dfrac{x}{100} = \dfrac{178}{193}$
    Et donc $x = -100 \left(\dfrac{178}{193} – 1\right) \approx 7,77$.
    La fréquence cardiaque maximale aura donc diminué d’environ $8\%$.
    $\quad$

Exercice 7

Dans les triangles $ADR$ et $RVB$ :

  • Les points $D, R, V$ et $A, R, B$ sont alignés dans le même ordre.
  • Les droites $(AD)$ et $(VB)$ étant perpendiculaires à $(DR)$ sont parallèles entre elles.

D’après le théorème de Thalès on a alors :

$\dfrac{RA}{RB} = \dfrac{RD}{RV} = \dfrac{AD}{VB}$

soit $\dfrac{20}{12} = \dfrac{AD}{15}$

Par conséquent $AD = \dfrac{20 \times 15}{12} = 25$.

La largeur de la rivière est donc de $25$ mètres, ce qui inférieur à la longueur de la corde.