DNB – Asie – juin 2016 – maths

Asie – Juin 2016

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Il y a $10$ boules rouges sur un total de $30$ boules.
    La probabilité de tirer une boule rouge est donc de $\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$
    Réponse B
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} (3x+2)^2&= (3x)^2+2\times 2 \times 3x+2^2 \\
    &=9x^2+12x+4
    \end{align*}$
    $4+3x(3x+4)=4+9x^2+12x$
    Réponse C
    $\quad$
  3. Si $x=4$ alors $4^2-2\times 4-8=16-8-8=0$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Si on double toutes les dimensions d’un aquarium alors son volume est multiplié par $2^3=8$.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans le triangle $ACD$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} CD^2&=AC^2+AD^2 \\
    &=76^2+154^2 \\
    &=29~492\\
    &≈ 172
    \end{align*}$
    Le hauban mesure environ $172$ m.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $CDA$ rectangle en A :
    $\tan \widehat{CDA} = \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{76}{154}$
    Donc $\widehat{CDA} ≈ 26°$
    $\quad$
  3. $E\in [AC]$ donc $AE=AC-EC=76-5=71$ m
    $F\in [AD]$ donc $AF=AD-FD=-154-12=142$m
    Dans les triangles $AEF$ et $ACD$ :
    • $E$ appartient au segment $[AC]$
    • $F$ appartient au segment $[AD]$
    • $\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{142}{154}=\dfrac{71}{77}$
    et $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{71}{76}$
    Par conséquent $\dfrac{AF}{AD} ≠ \dfrac{AE}{AC}$
    D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(CD)$ et $(EF)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Nombre moyen de bonbons dans un paquet :

$\begin{align*} m&=\dfrac{56\times 4+…+64\times 7}{4+36+…+7} \\
&=\dfrac{30~027}{500} \\
&=60,054
\end{align*}$

L’étendue de la série est $e=64-56=8$

$\dfrac{500}{4} =125$ donc $Q_1 = 59$

$\dfrac{3\times 500}{4}=375$ donc $Q_3=61$

L’écart interquartile est donc $E=61-59=2$

Tous les critères sont donc respectés.

La machine respecte par conséquent les critères de qualité.

$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Périmètre du cercle : $2\pi \times 29 = 58\pi$ m
Longueur de la piste : $109\times 2 + 58\pi\approx 400$ m.

Adèle a parcouru $6\times 400+150=2~550$ m.
Son indice de forme est donc très bon

$12$ min = $\dfrac{12}{60}=0,2$h
Distance parcourue par Mathéo : $0,2\times 13,5=2,7$ km soit $2~700$ m.
Son indice de forme est bon.

Ils participeront donc, tous les deux, à la course.

$\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. $f(3)=2\times 3 + 1 = 7$.
    L’image de $3$ par la fonction $f$ est donc $7$.
    $\quad$
  2. En $C2$ on calcule $g(-2)=(-2)^2+4\times (-2)-5=-9$.
    $\quad$
  3. Léa doit saisir $=2\times B1+1$ en $B2$.
    $\quad$
  4. On cherche dans les tableaux les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)<g(x)$.
    La solution est $[2;3]$
    $\quad$
  5. Dans le tableau, on lit que $f(0)=1$.
    Un antécédent de $1$ par la fonction $f$ est donc $0$.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

Affirmation 1 : fausse
$5$ et $15$ sont impairs et $15=3\times 5$.
Ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux.
$\quad$

Affirmation 2 : fausse
$\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$ et $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\neq 5$.
$\quad$

Affirmation 3 : vraie
Quand on augmente le prix d’un article de $20\%$ puis de $30\%$ alors il est multiplié par : $1,2\times 1,3=1,56$.
Le prix a donc augmenté de $56\%$.
$\quad$

Ex 7

Exercice 7

Volume d’une demi-sphère de rayon $13$ cm
$V_1=\dfrac{4\times \pi \times 13^3}{3 \times 2} \approx 4~601$ cm$^3$ soit $4,601$ L.

Volume du cocktail pour $6$ personnes : $V_2=60+30+12+12=114$ cl
Le volume pour $20$ personnes est donc :
$V_3=\dfrac{114\times 20}{6}=380$cl $=3,8$ L. 

Donc $V_3<V_1$.

Le récipient choisi par Romane est donc assez grand pour préparer le coktail pour $20$ personnes

Énoncé

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