TS - Exercices pour aller plus loin

Difficulté + $\qquad$

Exercice 1

Liban juin 2005

Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.

Si le test est positif(c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit. Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour $70\%$ des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement $65\%$ d’entre eux passent le second test avec succès.

$\quad$
On note $T_1$ l’événement : “le premier test est positif”.

On note $C$ l’événement : “l’écran est acheminé chez le client”.

On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des événements $T_1$ et $C$.
$\quad$
La fabrication d’un écran revient à $1~000$ euros au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte $50$ euros de plus si l’écran doit être testé une seconde fois. Un écran est facturé $a$ euros ($a$ étant un réel positif) au client.
On introduit la variable aléatoire $X$ qui, à chaque écran fabriqué, associe le “gain” (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.
a. Déterminer la loi de probabilité de $X$ en fonction de $a$.
$\quad$
b. Exprimer l’espérance de $X$ en fonction de $a$.
$\quad$
c. A partir de quelle valeur de $a$, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices?

$\quad$

Correction Exercice 1

D’après l’énoncé $p(T_1) = 0,7$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(C) &= p(T_1 \cap C) + p\left(\overline{T_1} \cap C\right) \\
&= 0,7 + 0,3 \times 0,65 \\
&= 0,7 + 0,195 \\
& = 0,895
\end{align*}$
$\quad$
a. Le fabriquant peut gagner $a -1000$ si le premier test est positif, $a – 1050$ si le premier test est négatif et que le second est positif ou perdre $1050$ si le second test es toujours négatif.
La loi de probabilité de $X$ est :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i & a – 1000&a-1050 & -1050 \\
\hline
P(X = x_i)& 0,7 & 0,195 & 0,105 \\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b. On a ainsi
$\begin{align*} E(X) &= 0,7 \times (a – 1000) + 0,195 \times (a – 1050) + 0,105 \times (-1050) \\
& = 0,7a – 700 + 0,195a – 204,75 – 110,25 \\
& = 0,895a – 1015
\end{align*}$
$\quad$
c. L’entreprise fait un bénéfice quand $E(X) > 0$ ce qui est équivalent à :
$0,895a – 1015 > 0 \Leftrightarrow a > \dfrac{1015}{0,895}$
Il faut donc que $a > 1134,08$ euros pour que l’entreprise réalise un bénéfice.

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Asie juin 2000

Aline débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $\dfrac{1}{3}$. Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à $\dfrac{4}{5}$. On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.

$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on considère les événements suivants :

$A_n$ : “Aline atteint la cible au énième coup”.

$B_n$ : “Aline rate la cible au énième coup”. $\qquad$ On pose $p_n = p(A_n)$.

Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.

Déterminer $p_1$ et montrer que $p_2 = \dfrac{4}{15}$.
$\quad$
Montrer que, pour tout entier naturel $n \ge 2, p_n = \dfrac{2}{15}p_{n-1} + \dfrac{1}{5}$.
$\quad$
Pour $n \ge 1$, on pose $u_n = p_n – \dfrac{3}{13}$. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme $u_1$ et la raison $q$.
$\quad$
Écrire $u_n$ puis $p_n$, en fonction de $n$, puis déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n$.

$\quad$

Correction Exercice 2

On a l’arbre suivant :

On sait qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que la manquer. Par conséquent $p_1 = \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}
p_2 &= P(A_2) \\\\
& = P(A_1 \cap A_2) + P(B_1 \cap A_2) \\\\
& = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{5} \\\\
& = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{10} \\\\
& = \dfrac{4}{15}
\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, d’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}
p_{n+1} &= p(A_{n+1}) \\\\
& = p(A_n \cap A_{n+1}) + p(B_n \cap B_{n+1}) \\\\
&= p_n \times \dfrac{1}{3} + (1 – p_n) \times \dfrac{1}{5} \\\\
& = \dfrac{2}{15}p_n + \dfrac{1}{5}
\end{align*}$
$\quad$
Par conséquent, pour tout entier naturel $n \ge 2$ on a $p_n = \dfrac{2}{15}p_{n-1} + \dfrac{1}{5}$.
\item $\quad$
$\quad$
$\begin{align*}
u_{n+1} & = p_{n+1} – \dfrac{3}{13} \\\\
& = \dfrac{2}{15}p_n + \dfrac{1}{5} – \dfrac{3}{13} \\\\
& = \dfrac{2}{15}p_n – \dfrac{2}{65} \\\\
& = \dfrac{2}{15} \left(p_n – \dfrac{3}{13}\right) \\\\
& = \dfrac{2}{15} u_n
\end{align*}$
$\quad$
Par conséquent la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{15}$ et de premier terme $u_1 = p_1 – \dfrac{3}{13} = \dfrac{7}{26}$.
$\quad$
On a ainsi $u_n = \dfrac{7}{26} \times \left(\dfrac{2}{15}\right)^{n-1}$.
Or $u_n = p_n – \dfrac{3}{13}$ soit $p_n = u_n + \dfrac{3}{13} = \dfrac{7}{26} \times \left(\dfrac{2}{15}\right)^{n-1} + \dfrac{3}{13}$
$\quad$
On a $-1 < \dfrac{2}{15} < 1$ par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{15}\right)^{n-1} = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n = \dfrac{3}{13}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

On estime qu’un élève qui a correctement révisé ses cours pour un examen a une probabilité de $20\%$ d’échouer. En revanche, on estime qu’un élève n’ayant pas révisé ses cours a une probabilité de $60\%$ d’échouer à cet examen. On sait aussi que $50\%$ des élèves ont correctement révisé leurs cours et $50\%$ n’ont pas correctement révisé leurs cours. Un élève passe deux fois de suite cet examen et échoue par deux fois mais affirme pourtant avoir parfaitement réviser.

Est-ce plausible?

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle :

$R$ l’événement “L’étudiant a révisé”
$E$ l’événement “L’étudiant a échoué à l’examen”
$F$ l’événement “L’étudiant a échoué deux fois”

On obtient l’arbre de probabilité suivant (on suppose qu’un étudiant ayant réussi l’examen ne le repasse pas) :

D’après les probabilités totales

$\begin{align*}
p(F) &= p(F \cap R) + p\left(P \cap \overline{R}\right)\\\\
& = 0,5 \times 0,2^2 + 0,5 \times 0,6^2 \\\\
& = 0,2
\end{align*}$

On calcule la probabilité que l’étudiant ait révisé sachant qu’il a échoué deux fois :

$\begin{align*} p_F(R) & = \dfrac{p(F \cap R)}{p(F)} \\\\
&= \dfrac{0,5 \times 0,2^2}{0,2} \\\\
& = 0,1
\end{align*}$

La probabilité qu’il ait révisé sachant qu’il a échoué deux fois à l’examen est donc de $10\%$.

Il est donc peu probable que l’étudiant ait révisé.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On estime que le gérant d’un portefeuille boursier bien informé a, pour une action donnée achetée, une probabilité égale à $0,8$ de voir l’action monter. On estime aussi qu’un gérant mal informé a une probabilité égale à $0,5$ de voir l’action baisser. On estime aussi que $30\%$ des gérants de portefeuilles boursiers sont bien informés, les autres ne l’étant pas. Un gérant donné achète $5$ actions indépendantes les unes des autres. $3$ montent et $2$ baissent.

Est-il bien informé ou non?

Correction Exercice 4

On appelle $I$ l’événement “le gérant est bien informé” et $M$ l’événement “$3$ actions sur $5$ ont monté”.

$\quad$

Quand on choisit $5$ actions de manière aléatoire, identique et indépendante chaque action possède deux issues : “son cours monte” avec une probabilité $p$ ou “son cours baisse”.

$\quad$

La variable aléatoire $X$ comptant le nombre d’actions dont le cours a monté suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(5;p)$

$\quad$

Ainsi :

Dans le cas où le gérant est bien informé

$p = 0,8$

et $P_I(M) = P(X = 3) = \binom{5}{3} \times 0,8^3 \times 0,2^2$.

$\quad$

Dans le cas où le gérant n’est pas bien informé

$p = 0,5$

et $P_{\overline{I}}(M) = P(X = 3) = \binom{5}{3} \times 0,5^3 \times 0,5^2 = \binom{5}{3} \times 0,5^5$.

$\quad$

D’après la formule des probabilités totales on a :

$\begin{align*}
p(M) &= p(M \cap I) + p\left( M \cap \overline{I} \right) \\\\
& = 0,3 \times \binom{5}{3} \times 0,8^3 \times 0,2^2 + 0,7 \times \binom{5}{3} \times 0,5^5\\\\
&= 0,28019
\end{align*}$

On cherche à calculer la probabilité que le gérant soit bien informé sachant que $3$ actions sur $5$ ont monté :

$\begin{align*}
p_M(I) &= \dfrac{p(M \cap I)}{p(M)} \\\\
& = \dfrac{0,3 \times \binom{5}{3} \times 0,8^3 \times 0,2^2}{0,28019}\\\\
& \approx 0,219
\end{align*}$

Il est donc fort probable que le gérant ne soit pas bien informé.

[collapse]