Exercice 1

Partie A

1. La variable $T$ prend successivement les valeurs suivantes (arrondies à l’unité) :
   $1000 \to 824 \to 679 \to 560 \to 463$
   Au bout de $4$ heures de refroidissement la température du four est d’environ $463$ degré Celcius.
   $\quad$
2. La suite $\left(T_n\right)$ est définie par $T_0=1~000$ et $T_{n+1}=0,82T_n+3,6$ pour tout entier naturel $n$.
   Montrons par récurrence que $T_n=980\times 0,82^n+20$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $980\times 0,82^0+20=980+20=1~000=T_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $T_n=980\times 0,82^n+20$.
   Montrons qu’elle est également vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $T_{n+1}=980\times 0,82^{n+1}+20$.
   $\begin{align*} T_{n+1}&=0,82T_n+3,6 \\
   &=0,82\left(980\times 0,82^n+20\right)+3,6 \\
   &=980\times 0,82^{n+1}+16,4+3,6 \\
   &=980\times 0,82^{n+1}+20
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $T_n=980\times 0,82^n+20$.
   $\quad$
3. On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} T_n\pp 70 &\ssi 980\times 0,82^n+20 \pp 70 \\
   &\ssi 980\times 0,82^n \pp 50 \\
   &\ssi 0,82^n \pp \dfrac{5}{98} \\
   &\ssi n\ln (0,82) \pp \ln \left(\dfrac{5}{98}\right) \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{5}{98}\right)}{\ln (0,82)}
   \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln \left(\dfrac{5}{98}\right)}{\ln (0,82)}\approx 14,99$.
   Donc le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques au bout de $15$ heures.
   $\quad$

Partie B

1. On a $f(0)=1~000$ et $f(0)=a+b$ donc $a+b=1~000 \quad (1)$
   On sait de plus que $f'(t)+\dfrac{1}{5}f(t)=4$
   Or $f'(t)=-\dfrac{a}{5}\e^{-t/5}$
   Donc $-\dfrac{a}{5}\e^{-t/5}+\dfrac{1}{5}\left(a\e^{-t/5}+b\right)=4$ pour tout réel $t$ positif.
   En particulier, quand $t=0$ on a : $-\dfrac{a}{5}+\dfrac{a+b}{5}=4$
   soit $-a+a+b=20 \ssi b=20$
   On en déduit donc, en utilisant l’équation $(1)$ que $a+20=1~000 \ssi a=980$.
   $\quad$
2. a. $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{t}{5}=-\infty$.
   $\lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0$
   Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-t/5}=0$
   Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=20$.
   $\quad$
   b. On a $f'(t)=-\dfrac{980}{5}\e^{-t/5}=-196\e^{-t/5}$.
   La fonction exponentielle étant strictement positive, on a donc $f'(t)<0$ pour tout réel $t$ positif.
   La fonction $f$ est donc décroissante sur $[0;+\infty[$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   
   $\quad$
   c. On veut résoudre :
   $\begin{align*} f(t)\pp 70 &\ssi 980\e^{-t/5}+20 \pp 70 \\
   &\ssi 980 \e^{-t/5}\pp 50 \\
   &\ssi \e^{-t/5} \pp \dfrac{5}{98} \\
   &\ssi -\dfrac{t}{5} \pp \ln \left( \dfrac{5}{98}\right) \\
   &\ssi t \pg -5\ln \left( \dfrac{5}{98}\right)
   \end{align*}$$-5\ln \left( \dfrac{5}{98}\right) \approx 14,878$
   On peut donc ouvrir le four sans risque au bout de $893$ minutes.
   $\quad$
3. a. On calcule l’aire $\mathscr{A}$ de la partie colorée.
   On a donc l’aire de $4$ trapèzes et celle d’un rectangle.
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{(1~000+700)\times 2}{2}+\dfrac{(700+400)\times 3}{2} \\
   &+\dfrac{(400+200)\times 4}{2}+\dfrac{(200+100)\times 3}{2}+100\times 3 \\
   &=5~300
   \end{align*}$
   La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;15]$. L’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=15$ est $\displaystyle \int_0^{15}f(t)\dt$.
   Une approximation de $\displaystyle \int_0^{15}f(t)\dt$ est $5~300$ u.a.
   Ainsi une valeur approchée de la température moyenne du four sur les $15$ premières heures de refroidissement est $\theta=\dfrac{5~300}{15} \approx 353$ degré Celcius.
   $\quad$
   b. On a :
   $\begin{align*} \theta&=\dfrac{1}{15}\displaystyle \int_0^{15} f(t)\dt \\
   &=\dfrac{1}{15}\int_0^{15} \left(980\e^{-t/5}+20\right)\dt \\
   &=\dfrac{1}{15}\left[-5\times 980\e^{-t/5}+20t\right]0^{15} \\
   &=\dfrac{1}{15}\left(-4~900\e^{-3}+300+4~900\right) \\
   &=\dfrac{5~200-4~900\e^{-3}}{15} \\
   &\approx 330
   \end{align*}$
   $\quad$
4. a.
   $\begin{align*} d(t)&=f(t)-f(t+1) \\
   &=980\e^{-t/5}+20-\left(980\e^{-(t+1)/5}+20\right) \\
   &=980\e^{-t/5}-980\e^{-(t+1)/5} \\
   &=980\e^{-t/5}\left(1-\e^{-1/5}\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On a vu que $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-t/5}=0$
   Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} d(t)=0$.
   Cela signifie que l’écart de température entre deux instants séparés d’une heure devient de plus en plus proche de $0$ et donc, qu’au bout d’un certain temps, la température du four se stabilise.
   $\quad$

Exercice 2

1. a. $|j|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1$
   $j=\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) =\e^{2\ic\pi/3}$.
   $\quad$
   Ainsi
   $\begin{align*} a’&=-4j \\
   &=2-2\ic\sqrt{3}\quad \text{forme algébrique}\\
   &=-4\e^{2\ic \pi/3} \\
   &=4\e^{2\ic \pi/3+\ic\pi} \\
   &=4\e^{5\ic\pi/3} \quad \text{forme exponentielle}
   \end{align*}$
   $b’=-1+\ic\sqrt{3}$ et $c’=-2+2\ic\sqrt{3}$ $\quad$ Formes algébriques.
   $b’= 2j=2\e^{2\ic\pi/3}$ et $c’=4j=4\e^{2\ic\pi/3}$ $\quad$ Formes exponentielles.
   $\quad$
   b. On a :
   
2. Calculons :
   $\begin{align*} \dfrac{b’-a’}{c’-a’} &=\dfrac{2j+4j}{4j+4j} \\
   &=\dfrac{6}{8} \\
   &=\dfrac{3}{4}
   \end{align*}$
   Ainsi un argument de $\dfrac{b’-a’}{c’-a’}$ est $0$.
   Les points $A’,B’$ et $C’$ sont donc alignés.
   $\quad$
3. L’affixe de $M$ est :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{c+a’}{2}\\
   &=\dfrac{4-4j}{2}\\
   &=2-2j\\
   &=2+1-\ic\sqrt{3} \\
   &=3-\ic\sqrt{3}
   \end{align*}$.
   L’affixe de $N$ est :
   $\begin{align*} n&=\dfrac{c+c’}{2} \\
   &=\dfrac{4+4j}{2}\\
   &=2+2j\\
   &=2-1+\ic\sqrt{3} \\
   &=1+\ic\sqrt{3}\end{align*}$.
   L’affixe de $P$ est :
   $\begin{align*} p&=\dfrac{c’+a}{2} \\
   &=\dfrac{4j-4}{2} \\
   &=2j-2 \\
   &=-1+\ic\sqrt{3}-2 \\
   &=-3+\ic\sqrt{3}
   \end{align*}$.
   Ainsi l’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z_1=1+\ic\sqrt{3}-\left(-3+\ic\sqrt{3}\right)=4$.
   Ainsi $PN=4$
   et l’affixe du vecteur $\vect{NM}$ est $z_2=3-\ic\sqrt{3}-\left(1+\ic\sqrt{3}\right)=2-2\ic\sqrt{3}$
   Ainsi $NM=\sqrt{2^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}=4$.
   Le triangle $MNP$ est donc isocèle en $N$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. a. On a, à l’aide de la calculatrice :
   $P\left(X_U<0,2\right)=0,5-P\left(0,2<X_U<0,58\right) \approx 0,035$
   $P\left(0,5 \pp X_U<0,8\right) \approx 0,501$
   $\quad$
   b. Dans le récipient à fond étanche on récupère les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à $0,2$ mm et dans le tamis 2 les cristaux de sucre dont la taille est comprise entre $0,5$ et $0,8$ mm.
   D’après la question précédente on récupère :
   $\bullet$ $0,035\times 1~800=63$ g de sucre dans le récipient à fond étanche;
   $\bullet$ $0,501\times 1~800=901,8$ g de sucre dans le tamis 2.
   $\quad$
2. La variable aléatoire $X=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ suit la loi normale centrée réduite.
   On sait que :
   $\begin{align*} P\left(0,5 \pp X_V < 0,8\right)=0,4 &\ssi P\left(-0,15\pp X_V-0,65< 0,15\right)=0,4 \\
   &\ssi P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_V} \pp X < \dfrac{0,15}{\sigma_V}\right) =0,4 \\
   &\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)-1=0,4 \\
   &\ssi 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=1,4 \\
   &\ssi P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=0,7
   \end{align*}$
   À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx 0,524$
   Donc $\sigma_V \approx 0,286$.
   $\quad$

Partie B

1. a. On a $p(U)=0,3$, $p(V)=0,7$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
   D’après la formule des probabilités totales on a:
   $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
   &=0,3\times 0,03+0,7\times 0,05 \\
   &=0,044
   \end{align*}$
   La probabilité que le paquet prélevé porte le label “extra fin” est $0,044$.
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_E(U)&=\dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} \\
   &=\dfrac{0,3\times 0,03}{0,044} \\
   &=\dfrac{9}{44}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. Soit $x$ un réel appartenant à $[0;1]$.
   On a $p(U)=x$, $p(V)=1-x$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
   D’après la formule des probabilités totales on a:
   $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
   &=0,03x+0,05(1-x) \\
   &=0,05-0,02x
   \end{align*}$
   On sait que :
   $\begin{align*} p_E(U)=0,3 &\ssi \dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} =0,3\\
   &\ssi \dfrac{0,03x}{0,05-0,02x}=0,3 \\
   &\ssi 0,03x=0,015-0,006x \\
   &\ssi 0,036x=0,015 \\
   &\ssi x=\dfrac{5}{12}
   \end{align*}$
   Il faut donc que que $p(U)=\dfrac{5}{12}$ et $p(V)=\dfrac{7}{12}$
   $\quad$

Partie C

1. On a $n=150$ et $p=0,3$.
   Donc $n=150 \pg 30$, $np=45 \pg 5$ et $n(1-p)=105\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{150}&=\left[0,3-1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{150}};0,3+1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{150}}\right] \\
   &\approx [0,226;0,374]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{30}{150}=0,2 \notin I_{150}$.
   Au risque d’erreur de $5\%$, il a donc raison de remettre en question l’annonce de l’entreprise.
   $\quad$
2. On a $n=150$ et $f=0,42$
   Donc $n=150\pg 30$, $nf=63\pg 5$ et $n(1-f)=87\pg 5$.
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ est :
   $\begin{align*} J_{150}&=\left[0,42-\dfrac{1}{\sqrt{150}};0,42+\dfrac{1}{\sqrt{150}}\right] \\
   &\approx [0,338;0,502]
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. On a $\vect{CD}(4;0;-4)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(CD)$ est donc $\begin{cases} x=4t\\y=3\\z=2-4t\end{cases} \quad, t\in\R$.
   $\quad$
2. a. On a donc $M(4t;3;2-4t)$
   Ainsi
   $\begin{align*} BM&=\sqrt{(4t-4)^2+(3+1)^2+(2-4t)^2} \\
   &=\sqrt{16t^2-32t+16+16+4-16t+16t^2} \\
   &=\sqrt{32t^2-48t+36}
   \end{align*}$
   La fonction racine carrée étant strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$, $BM$ est minimal quand $32t^2-48t+36$ l’est aussi.
   Le coefficient principal de cette expression du second degré est $a=32>0$.
   L’expression possède donc un minimum en $t_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{48}{64}=0,75$.
   Ainsi la distance $BM$ est minimale pour $M(3;3;-1)$.
   $\quad$
   b. On a $\vect{BH}(-1;4;-1)$ et $\vect{CD}(4;0;-4)$.
   Par conséquent $\vect{BH}.\vect{CD}=-1\times 4+0+(-1)\times (-4)=0$.
   Les vecteurs sont donc orthogonaux et les droites $(BH)$ et $(CD)$sont perpendiculaires (elles ont un point d’intersection puisque le point $H$ appartient à chacune d’entre-elles).
   $\quad$
   c. On a $CD=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
   et $BH=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
   L’aire du triangle $BCD$ est $\dfrac{CD\times BH}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2}=12$ cm$^2$.
   $\quad$
3. a. On a $\vect{BC}(-4;4;2)$.
   Donc $\vect{BC}.\vec{n}=-4\times 2+4\times 1+2\times 2=-8+4+4=0$
   et $\vect{CD}.\vec{n}=4\times 2+0-4\times 2=0$
   Les vecteurs $\vect{CD}$ et $\vect{BC}$ sont clairement non colinéaires (une coordonnée est nulle pour l’un et pour l’autre).
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$.
   Il est donc normal au plan $(BCD)$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est donc de la forme :
   $2x+y+2z+d=0$
   Le point $C(0;3;2)$ appartient au plan.
   Par conséquent $3+4+d=0 \ssi d=-7$.
   Une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est donc $2x+y+2z-7=0$.
   $\quad$
   c. La droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(BCD)$.
   $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de cette droite.
   Ainsi une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
   $\begin{cases} x=2+2k\\y=1+k\\z=4+2k\end{cases} \quad, k\in \R$.
   $\quad$
   d. Montrons que le point $I$ appartient au plan $(BCD)$.
   $2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}+2\times \dfrac{8}{3}-7=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{16}{3}-7=\dfrac{21}{3}-7=0$
   Ainsi $I\in (BCD)$.
   $\quad$
   Montrons que le point $I$ appartient à la droite $\Delta$.
   On doit donc résoudre le système
   $\begin{cases} 2+2k=\dfrac{2}{3}\\1+k=\dfrac{1}{3}\\4+2k=\dfrac{8}{3}\end{cases} \ssi k=-\dfrac{2}{3}$
   Donc $I\in \Delta$.
   Le point $I$ est par conséquent le point d’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(BCD)$.
   $\quad$
4. On a $AI=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}-2\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2+\left(\dfrac{8}{3}-4\right)^2}=2$
   Par conséquent le volume du tétraèdre $ABCD$ est :
   $V=\dfrac{AI\times \mathscr{A}_{BCD}}{3}=\dfrac{2\times 12}{3}=8$ cm$^3$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Cryptage

1. $N$ est associé au nombre $x=13$.
   Ainsi $y \equiv 13(13+13) ~~[33] \equiv 338~~[33]\equiv 8~~[33]$.
   Donc Bob code la lettre $N$ avec le nombre $8$.
   $\quad$
2. $O$ est associé au nombre $x=14$.
   Ainsi $y \equiv 14(14+13) ~~[33] \equiv 378~~[33]\equiv 15~~[33]$.
   Donc Bob code la lettre $O$ avec le nombre $15$.
   $\quad$

Partie B : Décryptage

1. On a :
   $\begin{align*} (x+23)^2\equiv 4~~[33] &\ssi x^2+46x+529 \equiv 4 ~~[33] \\
   &\ssi x^2+46x\equiv -525~~[33] \\
   &\ssi x^2+13x\equiv 3~~[33] \\
   &\ssi x(x+13)\equiv 3~~[33]\\
   \end{align*}$
   $\quad$
2. a. Si $(x+23)^2\equiv 4~~[33]$ alors il existe un entier relatif $k$ tel que : $(x+23)^2=4+33k $
   Or $(x+23)^2=4+33k \ssi (x+23)^2=4+11k\times 3$
   Donc $(x+23)^2\equiv 4~~[3]$
   De plus $(x+23)^2=4+33k \ssi (x+23)^2=4+3k\times 11$
   Donc $(x+23)^2\equiv 4~~[11]$
   Par conséquent le système $\begin{cases} (x+23)^2\equiv 4~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}$ est vérifié.
   $\quad$
   b. Si le système $\begin{cases} (x+23)^2\equiv 4~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}$ est vérifié alors il existe deux entiers relatifs $k$ et $k’$ tels que
   $(x+23)^2=4+3k$ et $(x+23)^2=4+11k’$.
   Par conséquent $4+3k=4+11k’ \ssi 3k=11k’$.
   Les nombres $3$ et $11$ sont premiers entre-eux.
   D’après le théorème de Gauss cela signifie donc que $3$ divise $k’$.
   Par conséquent, il existe un entier relatif $q$ tel que $k’=3q$.
   Ainsi $(x+23)^2=4+11\times 3q=4+33q$.
   Donc $(x+23)^2\equiv 4~~[33]$.
   $\quad$
   c. On a donc :
   $\begin{align*} x(x+13)\equiv 3~~[33]&\ssi (x+23)^2\equiv 4~~[33] \\
   &\ssi  \begin{cases} (x+23)^2\equiv 4~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}
   &\ssi  \begin{cases} (x+23)^2\equiv 1~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}
   \end{align*}$
   $\quad$.
3. a. $0^2=0 \equiv 0~~[3]$
   $1^1=1\equiv 1~~[3]$
   $2^2=4\equiv 1~~[3]$
   Donc les entiers naturels vérifiant $0\pp a<3$ et $a^2\equiv 1~~[3]$ sont $1$ et $2$.
   $\quad$
   b. $0^2=0\equiv 0~~[11]$
   $1^2=1\equiv 1~~[11]$
   $2^2=4\equiv 4~~[11]$
   $3^2=8\equiv 9~~[11]$
   $4^2=16\equiv 5~~[11]$
   $5^2=25\equiv 3~~[11]$
   $6^2=36\equiv 3~~[11]$
   $7^2=49\equiv 5~~[11]$
   $8^2=64\equiv 9~~[11]$
   $9^2=81\equiv 4~~[11]$
   $10^2=100\equiv 1~~[11]$
   Donc les entiers naturels vérifiant $0\pp b<11$ et $b^2\equiv 4~~[11]$ sont $2$ et $9$.
   $\quad$
4. a. Ainsi $x(x+13)\equiv 3~~[33]$ équivaut à
   $\begin{cases} x+23\equiv 1~~[3]\\x+23\equiv 2~~[11]\end{cases}$ ou $\begin{cases} x+23\equiv 2~~[3]\\x+23\equiv 2~~[11]\end{cases}$ ou $\begin{cases} x+23\equiv 1~~[3]\\x+23\equiv 9~~[11]\end{cases}$ ou $\begin{cases} x+23\equiv 2~~[3]\\x+23\equiv 9~~[11]\end{cases}$
   Ce qui équivaut à
   $\begin{cases} x\equiv -22~~[3]\\x\equiv -21~~[11]\end{cases}$ ou $\begin{cases} x\equiv -21~~[3]\\x\equiv -21~~[11]\end{cases}$ ou $\begin{cases} x\equiv -22~~[3]\\x\equiv -14~~[11]\end{cases}$ ou $\begin{cases} x\equiv -21~~[3]\\x\equiv -14~~[11]\end{cases}$
   Ce qui équivaut à
   $\begin{cases} x\equiv 2~~[3]\\x\equiv 1~~[11]\end{cases}$ ou $\begin{cases} x\equiv 0~~[3]\\x\equiv 1~~[11]\end{cases}$ ou $\begin{cases} x\equiv 2~~[3]\\x\equiv 8~~[11]\end{cases}$ ou $\begin{cases} x\equiv 0~~[3]\\x\equiv 8~~[11]\end{cases}$
   $\quad$
   b. Si $0\pp x <33$
   Alors :
   – une solution de $\begin{cases} x\equiv 2~~[3]\\x\equiv 8~~[11]\end{cases}$ est $8$.
   – une solution de $\begin{cases} x\equiv 0~~[3]\\x\equiv 1~~[11]\end{cases}$ est $12$.
   – une solution de $\begin{cases} x\equiv 2~~[3]\\x\equiv 1~~[11]\end{cases}$ est $23$.
   – une solution de $\begin{cases} x\equiv 0~~[3]\\x\equiv 8~~[11]\end{cases}$ est $30$.
   $\quad$
5. On obtient l’algorithme suivant :
   Pour $x$ allant de $0$ à $32$
   $\quad$ Si le reste de la division de $x(x+13)$ par $33$ est égal à $3$ alors
   $\qquad$ Afficher $x$
   $\quad$ Fin Si
   Fin Pour
   $\quad$
6. Pour le nombre $3$ possède il existe $4$ valeurs de $x$ possible.
   Le “chiffre de RABIN” n’est donc pas utilisable pour décoder un message lettre par lettre.
   $\quad$

Exercice 1     6 points

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de $1~000$ °C. À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.

On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint.

La température du four est exprimée en degré Celsius (°C).

La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à $70$ °C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.

Partie A

Pour un nombre entier naturel $n$, on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc $T_0=1~000$.

La température $T_n$ est calculée par l’algorithme suivant :

$$\begin{array}{|l|}
\hline
T\leftarrow 1000\\
\text{Pour $i$ allant de $1$ à $n$}\\
\hspace{1cm} T\leftarrow 0,82\times T+3,6\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

1. Déterminer la température du four, arrondie à l’unité, au bout de $4$ heures de refroidissement.
   $\quad$
2. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $T_n=980\times 0,82^n+20$.
   $\quad$
3. Au bout de combien d’heures le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques?
   $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on note $t$ le temps (en heure) écoulé depuis l’instant où le four a été éteint.
La température du four (en degré Celsius) à l’instant $t$ est donnée par la fonction $f$ définie, pour tout nombre réel $t$ positif, par : $f(t)=a\e^{-t/5}+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On admet que $f$ vérifie la relation suivante : $f'(t)+\dfrac{1}{5}f(t)=4$.

1. . Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ sachant qu’initialement, la température du four est de
   $1~000$ °C, c’est-à-dire que $f(0) = 1~000$.
   $\quad$
2. Pour la suite, on admet, que pour tout nombre réel positif $t$ : $f(t)=980\e^{-t/5}+20$.
   a. Déterminer la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
   $\quad$
   b. Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$. En déduire son tableau de variations complet.
   $\quad$
   c. Avec ce modèle, après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?
   $\quad$
3. La température moyenne (en degré Celcius) du four entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est donnée par : $\displaystyle \dfrac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\dt$.
   a. À l’aide de la représentation graphique de $f$ ci-dessous, donner une estimation de la température moyenne $\theta$ du four sur les $15$ premières heures de refroidissement.
   Expliquer votre démarche.
   
   b. Calculer la valeur exacte de cette température moyenne $\theta$ et en donner la valeur arrondie au degré Celsius.
   $\quad$
4. Dans cette question, on s’intéresse à l’abaissement de température (en degré Celsius) du four au cours d’une heure, soit entre deux instants $t$ et $(t +1)$ Cet abaissement est donné par la fonction $d$ définie, pour tout nombre réel $t$ positif, par : $d(t)= f(t)-f(t+1)$.
   a. Vérifier que, pour tout nombre réel $t$ positif : $d(t)=980\left(1-\e^{-1/5}\right)\e^{-t/5}$.
   $\quad$
   b. Déterminer la limite de $d(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
   Quelle interprétation peut-on en donner?
   $\quad$

Exercice 2     4 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $Ouv$.

Les points $A, B$ et $C$ ont pour affixes respectives $a = − 4$, $b = 2$ et $c = 4$.

1. On considère les trois points $A’$, $B’$ et $C’$ d’affixes respectives $a’=ja$, $b’=jb$ et $c’=jc’$ où $j$ est le nombre complexe $-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
   a. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $j$.
   En déduire les formes algébriques et exponentielles de $a’ , $b’$ et $c’$.
   $\quad$
   b. Les points $A$, $B$ et $C$ ainsi que les cercles de centre $O$ et de rayon $2$, $3$ et $4$ sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
   Placer les points $A’$, $B’$ et $C’$ sur ce graphique.
   $\quad$
2. Montrer que les points $A’$, $B’$ et $C’$ sont alignés.
   $\quad$
3. On note $M$ le milieu du segment $[A’C]$, $N$ le milieu du segment $[C’C]$ et $P$ le milieu du segment $(C’A]$. Démontrer que le triangle $MNP$ est isocèle.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     5 points

Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations $U$ et $V$ en paquets de $1$ kg et de différentes qualités.

Le sucre extra fin est conditionné séparément dans des paquets portant le label « extra fin ».

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

Partie A

Pour calibrer le sucre en fonction de la taille de ses cristaux, on le fait passer au travers d’une série de trois tamis positionnés les uns au-dessus des autres et posés sur un récipient à fond étanche.
Les ouvertures des mailles sont les suivantes :

Les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à 0,2 mm se trouvent dans le récipient à fond étanche à la fin du calibrage. Ils seront conditionnés dans des paquets portant le label « sucre extra fin ».

1. On prélève au hasard un cristal de sucre de l’exploitation $U$. La taille de ce cristal,
   exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X_U$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu_U =0,58$ mm et d’écart type $\sigma_U = 0, 21$ mm.
   a. Calculer les probabilités des événements suivants : $X_U<0,2$ et $0,5\pp X_U<0,8$.
   $\quad$
   b. On fait passer $1~800$ grammes de sucre provenant de l’exploitation $U$ au travers de la série de tamis.
   Déduire de la question précédente une estimation de la masse de sucre récupérée dans le récipient à fond étanche et une estimation de la masse de sucre récupérée dans le tamis 2.
   $\quad$
2. On prélève au hasard un cristal de sucre de l’exploitation $V$. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X_V$
   qui suit la loi normale de moyenne $\mu_V= 0,65$ mm et d’écart type $\sigma_V$ à déterminer.
   Lors du calibrage d’une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l’exploitation $V$, on constate que $40\%$ de ces cristaux se retrouvent dans le tamis 2.
   Quelle est la valeur de l’écart type $\sigma_V$ de la variable aléatoire $X_V$ ?$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on admet que $3\%$ du sucre provenant de l’exploitation $U$ est extra fin et que $5 \%$ du sucre provenant de l’exploitation $V$ est extra fin.
On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l’entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s’intéresse à la provenance de ce paquet.

On considère les événements suivants :

• $U$ : « Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $U$ » ;
• $V$ : « Le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation $V$ » ;
• $E$ : « Le paquet porte le label “extra fin” ».

1. Dans cette question, on admet que l’entreprise fabrique $30\%$ de ses paquets avec du sucre provenant de l’exploitation $U$ et les autres avec du sucre provenant de l’exploitation $V$, sans mélanger les sucres des deux exploitations.
   a. Quelle est la probabilité que le paquet prélevé porte le label « extra fin » ?
   $\quad$
   b. Sachant qu’un paquet porte le label « extra fin », quelle est la probabilité que le sucre qu’il contient provienne de l’exploitation $U$ ?
   $\quad$
2. L’entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que parmi les paquets portant le label « extra fin », $30 \%$ d’entre eux contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
   Comment doit-elle s’approvisionner auprès des exploitations $U$ et $V$ ?
   Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.
   $\quad$
   

Partie C

1. L’entreprise annonce que $30 \%$ des paquets de sucre portant le label « extra fin » qu’elle conditionne contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
   Avant de valider une commande, un acheteur veut vérifier cette proportion annoncée. Il prélève $150$ paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l’entreprise. Parmi ces paquets, $30$ contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
   A-t-il des raisons de remettre en question l’annonce de l’entreprise ?
   $\quad$
2. L’année suivante, l’entreprise déclare avoir modifié sa production. L’acheteur souhaite estimer la nouvelle proportion de paquets de sucre provenant de l’exploitation $U$ parmi les paquets portant le label « extra fin ». Il prélève $150$ paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés « extra fin » de l’entreprise. Parmi ces paquets $42 \%$ contiennent du sucre provenant de l’exploitation $U$.
   Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance $95 \%$, de la nouvelle proportion de paquets labellisés « extra fin » contenant du sucre provenant de l’exploitation $U$.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace muni du repère orthonormé $\Oijk$ d’unité $1$ cm, on considère les points $A,B,C$ et $D$ de coordonnées respectives $(2;1;4)$, $(4;-1;0)$, $(0;3;2)$ et $(4;3;-2)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(CD)$.
   $\quad$
2. Soit $M$ un point de la droite $(CD)$.
   a. Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance $BM$ soit minimale.
   $\quad$
   b. On note $H$ le point de la droite $(CD)$ ayant pour coordonnées $(3 ; 3 ; –1)$.
   Vérifier que les droites $(BH)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
   $\quad$
   c. Montrer que l’aire du triangle $BCD$ est égale à $12$ cm$^2$.
   $\quad$
3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$.
   $\quad$
   b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(BCD)$.
   $\quad$
   c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $A$ et orthogonale au plan $(BCD)$.
   $\quad$
   d. Démontrer que le point $I$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(BCD)$, a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
   $\quad$
4. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

À toute lettre de l’alphabet on associe un nombre entier $x$ compris entre $0$ et $25$ comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre}&A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
\hline
x&\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre}&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
x&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{array}\end{array}$$

Le « chiffre de RABIN » est un dispositif de cryptage asymétrique inventé en 1979 par
l’informaticien Michael RABIN.

Alice veut communiquer de manière sécurisée en utilisant ce cryptosystème. Elle choisit deux nombres premiers distincts $p$ et $q$. Ce couple de nombres est sa clé privée qu’elle garde secrète.

Elle calcule ensuite $n= p\times q$ et elle choisit un nombre entier naturel $B$ tel que $0\pp B\pp n-1$.

Si Bob veut envoyer un message secret à Alice, il le code lettre par lettre.

Le codage d’une lettre représentée par le nombre entier $x$ est le nombre $y$ tel que :
$$y\equiv x(x+B)~~[n] \text{ avec } 0\pp y<n$$

Dans tout l’exercice on prend $p = 3$, $q = 11$ donc $n=p\times q=33$ et $B = 13$

Partie A : Cryptage

Bob veut envoyer le mot « NO » à Alice.

1. Montrer que Bob code la lettre « N » avec le nombre $8$.
   $\quad$
2. Déterminer le nombre qui code la lettre « O ».
   $\quad$

Partie B : Décryptage

Alice a reçu un message crypté qui commence par le nombre $3$.
Pour décoder ce premier nombre, elle doit déterminer le nombre entier $x$ tel que : $$x(x+13) \equiv 3 ~~[33] \text{ avec } 0\pp x < 26$$

1. Montrer que $x(x+13) \equiv 3~~[33]$ équivaut à $(x+23)^2\equiv 4~~[33]$.
   $\quad$
2. a. Montrer que si $(x+23)^2\equiv 4~~[33]$ alors le système d’équations $\begin{cases} (x+23)^2\equiv 4~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}$ est vérifié.
   $\quad$
   b. Réciproquement, montrer que si $\begin{cases} (x+23)^2\equiv 4~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}$ alors $(x+23)^2\equiv 4~~[33]$.
   $\quad$
   c. En déduire que $x(x+13)\equiv 3~~[33]$ \ssi $\begin{cases} (x+23)^2\equiv 1~~[3]\\(x+23)^2\equiv 4~~[11]\end{cases}$.
   $\quad$
3. a. Déterminer les nombres entiers naturels $a$ tels que $0\pp a < 3$ et $a^2\equiv 1~~[3]$.
   $\quad$
   b. Déterminer les nombres entiers naturels $b$ tels que $0\pp b <11$ et $b^2\equiv 4~~[11]$.
   $\quad$
4. a. En déduire que $x(x+13)\equiv 3~~[33]$ équivaut aux quatre systèmes suivants :
   $$\begin{cases} x\equiv 2~~[3]\\x\equiv 8~~[11]\end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x\equiv 0~~[3]\\x\equiv 1~~[11]\end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x\equiv 2~~[3]\\x\equiv 1~~[11]\end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x\equiv 0~~[3]\\x\equiv 8~~[11]\end{cases} $$
   $\quad$
   b.  On admet que chacun de ces systèmes admet une unique solution entière $x$ telle que $0 \pp x <33$. Déterminer, sans justification, chacune de ces solutions.
   $\quad$
5. Compléter l’algorithme en Annexe pour qu’il affiche les quatre solutions trouvées dans la question précédente.
   $\quad$
6. Alice peut-elle connaître la première lettre du message envoyé par Bob ? Le « chiffre de RABIN » est-il utilisable pour décoder un message lettre par lettre ?
   $\quad$

Annexe

Pour $\ldots\ldots$ allant de $\ldots\ldots$ & $\ldots\ldots$
$\quad$ Si le reste de la division de $\ldots\ldots\ldots\ldots$ par $\ldots\ldots\ldots\ldots$ est égal à $\ldots\ldots\ldots\ldots$ alors
$\qquad$ Afficher $\ldots\ldots\ldots\ldots$
$\quad$ Fin Si
Fin Pour