Exercice 1

1. L’aire du rectangle $ABCD$ est $x(x+2)=x^2+2x$
   $\quad$
2. On appelle $x$ le prix d’un cahier et $y$ celui d’un crayon.
   On veut donc résoudre le système :
   $\begin{cases} 2x+3y=810\\x+5y=650\end{cases}$
   donc $\begin{cases} x=650-5y\\2(650-5y)+3y=810\end{cases}$
   d’où $\begin{cases} x=650-5y\\1300-10y+3y=810\end{cases}$
   ce qui donne $\begin{cases} x=650-5y\\-7y=-490\end{cases}$
   on obtient $\begin{cases} y=70\\x=650-5\times 70\end{cases}$
   finalement $\begin{cases} y=70\\x=300\end{cases}$
   Un cahier coûte $300$ F et un crayon coûte $70$ F.
   Remarque : on pouvait tester les 3 réponses proposées dans le système initial et trouver la réponse qui vérifiait les deux équations.
   $\quad$
3. Voici le nombre de cailloux nécessaires sur chacune des cases :
   $2\overset{\times 2}{\longrightarrow} 4\overset{\times 2}{\longrightarrow}8\overset{\times 2}{\longrightarrow}16\overset{\times 2}{\longrightarrow}32 \overset{\times 2}{\longrightarrow}64\overset{\times 2}{\longrightarrow}128\overset{\times 2}{\longrightarrow}256$
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{5}{14}+\dfrac{3}{7}\times \dfrac{5}{2}&=\dfrac{5}{14}+\dfrac{15}{14} \\
   &=\dfrac{20}{14} \\
   &\left(=\dfrac{10}{7}\right)\end{align*}$
   $\quad$
5. Dans les triangles $AML$ et $ABC$ on a :
   – les droites $(ML)$ et $(BC)$ sont parallèles;
   – $M$ appartient à $[AB]$ et $L$ appartient à $[AC]$
   D’après le théorème de Thalès :
   $\dfrac{AL}{AC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{ML}{BC}$
   Donc $\dfrac{3}{3+4,5}=\dfrac{ML}{3}$
   D’où $\dfrac{3}{7,5}=\dfrac{ML}{3}$
   Par conséquent $ML=\dfrac{3\times 3}{7,5}=1,2$ m.
   $\quad$

Exercice 2

1. Voici les différentes étapes :
   $\bullet$ Choisir un nombre : $4$
   $\bullet$ ajouter $1$ à ce nombre $4+1=5$
   $\bullet$ Calculer le carré du résultat : $5^2=25$
   $\bullet$ Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent : $25-4^2=25-16=9$
   $\bullet$ Écrire le résultat : $9$
   $\quad$
2. a.
   $\bullet$ Choisir un nombre : $x$
   $\bullet$ ajouter $1$ à ce nombre $x+1$
   $\bullet$ Calculer le carré du résultat : $(x+1)^2$
   $\bullet$ Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent : $(x+1)^2-x^2$
   $\bullet$ Écrire le résultat : $(x+1)^2-x^2$
   $\quad$

   b. (x+1)^2-x^2=(x+1)(x+1)-x^2=x^2+x+x+1-x^2=2x+1$
   $\quad$

3. a. $f(0)=2\times 0 +1=1$
   $\quad$
   b. On veut résoudre $2x+1=5$ soit $2x=4$ et donc $x=2$.
   L’antécédent de $5$ par la fonction $f$ est $2$.
   $\quad$
   c. $\quad$
   
   d. Graphiquement, si $x=-3$ alors $f(-3)=-5$
   Si on choisit le nombre $-3$ alors le programme de calcul donne le nombre $-5$.
   $\quad$

Exercice 3

1. En $D2$ on peut saisir $=B2*C2$
   $\quad$
2. On obtient :
   
3. $\dfrac{24,5}{6,2}\approx 3,9$ : il peut mettre $3$ cartes sur la largeur.
   $\dfrac{37,5}{8,7}\approx 4,3$ : il peut mettre $4$ cartes sur la longueur.
   La boîte peut donc contenir, avec la façon de former les piles indiquée sur la figure, $3\times 4 = 12$ piles.
   $\quad$

Exercice 4

1. Vitesse du bateau : $8 \times 1,852=14,816$ km/h.
   Temps : $\dfrac{5}{14,816}\approx 0,337$h $\approx 20$ min.
   Antoine et Aurel mettront environ $20$ minutes pour atteindre leur lieu de pêche.
   $\quad$
2. À l’aller, ils ont consommé $\dfrac{1}{4}\times 12=3$L.
   Au retour, ils consommeront donc $3+1=4$L.
   Il leur restera donc $12-3-4=5$L dans le réservoir à leur arrivée.
   $\quad$

Exercice 5

1. On appelle $N$ le nombre de panier qu’Antoine pourra concevoir.
   $N$ est un diviseur de $30$ et de $500$ et doit être le plus grand possible.
   C’est donc le PGCD de $30$ et $500$.
   Utilisons l’algorithme d’Euclide pour déterminer $N$.
   $500=16\times 30+20$
   $30=1\times 20+10$
   $20=2\times 10+0$
   Le PGCD est le dernier reste non nul.
   Donc $N=10$.
   Il pourra donc concevoir $10$ paniers.
   $\quad$
2. Dans chaque panier il y aura $\dfrac{30}{10}=3$ poissons et $\dfrac{500}{10}=50$ coquillages.
   $\quad$

Exercice 6

Dans le triangle $PAC$ rectangle en $P$ on a :
$PA=6$m, $AC=2,13-1=1,13$m
Par conséquent $\tan \widehat{CPA}=\dfrac{AC}{PA}=\dfrac{1,13}{6}$

Donc $\widehat{CPA}\approx 11$°

$\quad$

Exercice 7

1. La probabilité que le jeu tiré soit un des jeux préférés d’Aurel est $\dfrac{5}{60}=\dfrac{1}{12}$.
   $\quad$
2. Alexandra et Nathalie ont $4$ jeux préférés distincts.
   La probabilité que le jeu tiré soit un des jeux préférés d’Alexandra ou de Nathalie est $\dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{15}$.
   $\quad$
3. a. Durée moyenne : $\dfrac{72+35+48+52+26+55+43+105}{8}=54,5$.
   Chaque partie a duré en moyenne $54$ minutes et $30$ secondes.
   $\quad$
   b. Pour calculer la médiane on va tout d’abord ordonner la série statistique.
   $26;35;43;48;52;55;72;105$
   $\dfrac{8}{2}=4$ : la médiane est donc la moyenne est la $4$ième et la $5$ième valeur.
   La médiane est donc $\dfrac{48+52}{2}=50$.
   $\quad$
   c. Cela signifie donc que la moitié des parties ont duré $50$ minutes ou moins.
   $\quad$

Exercice 8

On appelle $ABCD$ le rectangle correspondant à la remorque avec $AB=1~800$ et $BC=1~350$
Calculons la longueur de la diagonale $[AC]$.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2\\
&=1~800^2+1~350^2\\
&=5~062~500
\end{align*}$
Donc $AC=\sqrt{5~062~500}=2~250 \pg 2~100$
Le fusil sous-marin peut donc être placé “à plat” dans la remorque.
$\quad$

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