DNB – Nouvelle Calédonie – décembre 2017

Nouvelle Calédonie – Décembre 2017

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. L’aire du rectangle $ABCD$ est $x(x+2)=x^2+2x$
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le prix d’un cahier et $y$ celui d’un crayon.
    On veut donc résoudre le système :
    $\begin{cases} 2x+3y=810\\x+5y=650\end{cases}$
    donc $\begin{cases} x=650-5y\\2(650-5y)+3y=810\end{cases}$
    d’où $\begin{cases} x=650-5y\\1300-10y+3y=810\end{cases}$
    ce qui donne $\begin{cases} x=650-5y\\-7y=-490\end{cases}$
    on obtient $\begin{cases} y=70\\x=650-5\times 70\end{cases}$
    finalement $\begin{cases} y=70\\x=300\end{cases}$
    Un cahier coûte $300$ F et un crayon coûte $70$ F.
    Remarque : on pouvait tester les 3 réponses proposées dans le système initial et trouver la réponse qui vérifiait les deux équations.
    $\quad$
  3. Voici le nombre de cailloux nécessaires sur chacune des cases :
    $2\overset{\times 2}{\longrightarrow} 4\overset{\times 2}{\longrightarrow}8\overset{\times 2}{\longrightarrow}16\overset{\times 2}{\longrightarrow}32 \overset{\times 2}{\longrightarrow}64\overset{\times 2}{\longrightarrow}128\overset{\times 2}{\longrightarrow}256$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{5}{14}+\dfrac{3}{7}\times \dfrac{5}{2}&=\dfrac{5}{14}+\dfrac{15}{14} \\
    &=\dfrac{20}{14} \\
    &\left(=\dfrac{10}{7}\right)\end{align*}$
    $\quad$
  5. Dans les triangles $AML$ et $ABC$ on a :
    – les droites $(ML)$ et $(BC)$ sont parallèles;
    – $M$ appartient à $[AB]$ et $L$ appartient à $[AC]$
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{AL}{AC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{ML}{BC}$
    Donc $\dfrac{3}{3+4,5}=\dfrac{ML}{3}$
    D’où $\dfrac{3}{7,5}=\dfrac{ML}{3}$
    Par conséquent $ML=\dfrac{3\times 3}{7,5}=1,2$ m.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Voici les différentes étapes :
    $\bullet$ Choisir un nombre : $4$
    $\bullet$ ajouter $1$ à ce nombre $4+1=5$
    $\bullet$ Calculer le carré du résultat : $5^2=25$
    $\bullet$ Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent : $25-4^2=25-16=9$
    $\bullet$ Écrire le résultat : $9$
    $\quad$
  2. a.
    $\bullet$ Choisir un nombre : $x$
    $\bullet$ ajouter $1$ à ce nombre $x+1$
    $\bullet$ Calculer le carré du résultat : $(x+1)^2$
    $\bullet$ Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent : $(x+1)^2-x^2$
    $\bullet$ Écrire le résultat : $(x+1)^2-x^2$
    $\quad$

    b. (x+1)^2-x^2=(x+1)(x+1)-x^2=x^2+x+x+1-x^2=2x+1$
    $\quad$

  3. a. $f(0)=2\times 0 +1=1$
    $\quad$
    b. On veut résoudre $2x+1=5$ soit $2x=4$ et donc $x=2$.
    L’antécédent de $5$ par la fonction $f$ est $2$.
    $\quad$
    c. $\quad$

    d. Graphiquement, si $x=-3$ alors $f(-3)=-5$
    Si on choisit le nombre $-3$ alors le programme de calcul donne le nombre $-5$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. En $D2$ on peut saisir $=B2*C2$
    $\quad$
  2. On obtient :
  3. $\dfrac{24,5}{6,2}\approx 3,9$ : il peut mettre $3$ cartes sur la largeur.
    $\dfrac{37,5}{8,7}\approx 4,3$ : il peut mettre $4$ cartes sur la longueur.
    La boîte peut donc contenir, avec la façon de former les piles indiquée sur la figure, $3\times 4 = 12$ piles.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Vitesse du bateau : $8 \times 1,852=14,816$ km/h.
    Temps : $\dfrac{5}{14,816}\approx 0,337$h $\approx 20$ min.
    Antoine et Aurel mettront environ $20$ minutes pour atteindre leur lieu de pêche.
    $\quad$
  2. À l’aller, ils ont consommé $\dfrac{1}{4}\times 12=3$L.
    Au retour, ils consommeront donc $3+1=4$L.
    Il leur restera donc $12-3-4=5$L dans le réservoir à leur arrivée.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On appelle $N$ le nombre de panier qu’Antoine pourra concevoir.
    $N$ est un diviseur de $30$ et de $500$ et doit être le plus grand possible.
    C’est donc le PGCD de $30$ et $500$.
    Utilisons l’algorithme d’Euclide pour déterminer $N$.
    $500=16\times 30+20$
    $30=1\times 20+10$
    $20=2\times 10+0$
    Le PGCD est le dernier reste non nul.
    Donc $N=10$.
    Il pourra donc concevoir $10$ paniers.
    $\quad$
  2. Dans chaque panier il y aura $\dfrac{30}{10}=3$ poissons et $\dfrac{500}{10}=50$ coquillages.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

Dans le triangle $PAC$ rectangle en $P$ on a :
$PA=6$m, $AC=2,13-1=1,13$m
Par conséquent $\tan \widehat{CPA}=\dfrac{AC}{PA}=\dfrac{1,13}{6}$

Donc $\widehat{CPA}\approx 11$°

$\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. La probabilité que le jeu tiré soit un des jeux préférés d’Aurel est $\dfrac{5}{60}=\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
  2. Alexandra et Nathalie ont $4$ jeux préférés distincts.
    La probabilité que le jeu tiré soit un des jeux préférés d’Alexandra ou de Nathalie est $\dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{15}$.
    $\quad$
  3. a. Durée moyenne : $\dfrac{72+35+48+52+26+55+43+105}{8}=54,5$.
    Chaque partie a duré en moyenne $54$ minutes et $30$ secondes.
    $\quad$
    b. Pour calculer la médiane on va tout d’abord ordonner la série statistique.
    $26;35;43;48;52;55;72;105$
    $\dfrac{8}{2}=4$ : la médiane est donc la moyenne est la $4$ième et la $5$ième valeur.
    La médiane est donc $\dfrac{48+52}{2}=50$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que la moitié des parties ont duré $50$ minutes ou moins.
    $\quad$

Ex 8

Exercice 8

On appelle $ABCD$ le rectangle correspondant à la remorque avec $AB=1~800$ et $BC=1~350$
Calculons la longueur de la diagonale $[AC]$.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2\\
&=1~800^2+1~350^2\\
&=5~062~500
\end{align*}$
Donc $AC=\sqrt{5~062~500}=2~250 \pg 2~100$
Le fusil sous-marin peut donc être placé “à plat” dans la remorque.
$\quad$

Énoncé

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