Antilles Guyane – TES/TL – Juin 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est ici.

Exercice 1

1. Il s’agit de la somme d’une suite géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $1$.
   Par conséquent $S = \dfrac{1 – 2^{31}}{1 – 2} = 2^{31} – 1$.
   Réponse a
   $~$
2. $-\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 3x = x\left(-\dfrac{x^2}{3} + x + 3 \right)$
   Calculons le discriminant du polynôme du second degré :
   $\Delta = 1^2 + 4 \times 3 \times \dfrac{1}{3} = 5 > 0$
   L’équation $-\dfrac{x^2}{3} + x + 3  = 0$ admet donc 2 solutions distinctes
   $0$ est également solution de l’équation initiale.
   Réponse b
   Remarque : le solveur d’équation de la calculatrice donnait également la réponse
   $~$
3. Prenons $F(x) = x\ln x – x$ alors $F'(x) = \ln x + \dfrac{x}{x} – 1 = \ln x = f(x)$
   Réponse c
   $~$
4. Remarque :On peut utiliser le menu table de la calculatrice
   $$\begin{align} \left(\dfrac{1}{2} \right)^n < 0,003 & \Leftrightarrow n \ln \dfrac{1}{2} < \ln 0,003 \\\\
   & \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0,003}{\ln \dfrac{1}{2}} \\\\
   & \Leftrightarrow n \ge 9
   \end{align}$$
   Réponse b

$~$

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Partie A

1. a. L’arrondi choisi correspond au nombre d’abonnés de l’opérateur arrondi au millier.
   $~$
   b. En $2014$ $u_1 = 0,92 \times 20 + 3 = 21,4$
   Il y a $21,4$ millions d’abonnés chez cet opérateur en $2014$
   En $2015$ $u_2 = 0,92 \times 21,4 + 3 = 22,688$
   Il y aura $22,688$ millions d’abonnés chez cet opérateur en $2015$
   $~$
2. $~$
   $$\begin{align} v_{n+1} &= u_{n+1}-37,5 \\\\
   &= 0,92u_n+3 – 37,5 \\\\
   &= 0,92u_n-34,5 \\\\
   &=0,92u_n – 0,92 \times 37,5 \\\\
   &=0,92 \times (u_n – 37,5) \\\\
   &= 0,92v_n
   \end{align}$$
   La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $v_0 = 20 – 37,5 = -17,5$.
   $~$
3. On a donc $v_n = -17,5 \times 0,92^n$.
   Par conséquent :
   $$\begin{align} u_n &= v_n+37,5 \\\\
   &= 37,5 – 17,5 \times 0,92^n
   \end{align}$$
4. En $2020$ cela correspond à $n=7$ donc $u_n \approx 27,738$
   L’opérateur aura donc en $2020$ $27,738$ millions d’abonnés.
   $~$
5. Puisque $-1 < 0,92 <1$ on a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,92^n = 0$
   Par conséquent : $$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 37,5$$
6. La limite étant de $37,5$ millions d’abonnés, il peut donc espérer dépasser les $30$ millions d’abonnés.

$~$

Partie B

1. Variables :
   $\quad$ $N$ un nombre entier naturel non nul
   $\quad$ $U$ un nombre réel
   Traitement :
   $\quad$ Affecter à $U$ la valeur $20$
   $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $0$
   $\quad$ Tant que $U<25$
   $\quad$ Affecter à $U$ la valeur $0,92\times U+3$
   $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $N$
   $~$
2. On constate que pour $n = 4$ on a $u_n = 24,963$ et que pour $n=5$ on a $u_n = 25,966$.
   C’est donc à partir de $2018$ que l’opérateur fera des bénéfices.

$~$

Exercice 3

Partie A

1. $~$
   
2. D’après la propriété des probabilités totales on a :
   $$\begin{align} P(O) &= P(O \cap M) + P(O \cap K) \\\\
   &= 0,74 \times 0,006 + 0,26 \times 0,086 \\\\
   &= 0,0268
   \end{align}$$
3. On cherche à calculer :
   $$\begin{align} P_O(K) &= \dfrac{P(O \cap K)}{P(O)} \\\\
   &= \dfrac{0,26 \times 0,086}{0,0268} \\\\
   & \approx 0,83
   \end{align}$$
   La probabilité que le praticien soit un kinésithérapeute sachant que le patient a suivi une séance d’ostéopathie est donc de $83\%$.

$~$

Partie B

1. La calculatrice nous donne $P(20 \le T \le 40) \approx 0,68$
   $~$
2. On veut calculer :
   $$\begin{align} P(T \ge 45) &= 0,5 – P(30 \le T \le 45)
   & \approx 0,07
   \end{align}$$

Partie C

1. a. $n= 47~000 \ge 30$ , $np = 47~000 \times 0,006 = 282 \ge 5$ et $n(1-p) = 46~718 \ge 5$
   Les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies.
   $~$
   b. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
   $$\begin{align} I_{47~000} &= \left[0,006-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}};0,006+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}} \right] \\\\
   & \approx 0,0053;0,0067]
   \end{align}$$
2. La fréquence observée est $f = \dfrac{67}{47~000} \approx 0,0014 \notin I_{47~000}$ et $0,0014 < 0,0053$.
   La région est donc défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine.

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Exercice 4

Partie A

1. $g'(x) = 18 + 0,5 \text{e}^{0,5x-1}$
   $~$
2. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent $g'(x) > 0$ sur $[0;15]$ et la fonction $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

$~$

Partie B

1. La courbe $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$ à partir de $x \approx 5,5$
   L’encadrement cherché est donc $500 \le k \le 600$.
   $~$
2. a. $~$
   $$\begin{align} f(x)-g(x) \le 0 & \Leftrightarrow \text{e}^{0,5x-1}-x^2+20x+20 – 18x – \text{e}^{0,5x-1} \le 0 \\\\
   & \Leftrightarrow -x^2+2x+20 \le 0
   \end{align}$$
   b. Calculons le déterminant : $\Delta = 2^2 + 4 \times 20 = 84 > 0$
   Les racines sont donc $x_1 = \dfrac{-2 – \sqrt{84}}{-2} = 1 + \sqrt{21}$ et $x_2 = \dfrac{-2 + \sqrt{84}}{-2} = 1 – \sqrt{21}$.
   De plus on a $a=-2 < 0$
   Par conséquent $-x^2+2x+20 \le 0$ à l’extérieur des racines.
   La solution de cette inéquation dans $[0;15]$ est $[1+\sqrt{21};15]$
   $~$
   c. $1+\sqrt{21} \approx 5,583$
   L’entreprise doit donc produire au moins $559$ lots avec cette nouvelle machine pour diminuer le coût total de production.
   $~$
3. La valeur moyenne du coût marginal lorsqu’on fabrique entre $5$ centaines et $8$ centaines de lots est donnée par :
   $$\begin{align} \dfrac{1}{8-5}\int_5^8 f'(x)\text{d}x &=\dfrac{1}{3}(f(8)-f(5)) \\\\
   &= \dfrac{1}{3} \left(\text{e}^{3}+116 – \text{e}^{1,5} – 95 \right)\\\\
   &=\dfrac{1}{3} \left(\text{e}^{3}+21 – \text{e}^{1,5} \right) \\\\
   & \approx 12,20
   \end{align}$$
   Par conséquent la valeur moyenne, arrondie à l’euro, du coût marginal lorsqu’on fabrique ente $5$ centaines et $8$ centaines de lots est de $1~220€$.