2nd – Exercices – Vecteurs

Exercice 1

Sur la figure ci-dessous, $ABCD$ est un carré. Les points $I,J,K,L$ sont les milieux des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$. $O$ est le centre du carré.

Compléter le tableau.

2nd - exo - vecteurs 1 - ex1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Vecteurs}&\text{Même direction}&\text{Même sens}&\text{Même longueur}&\text{Vecteurs égaux}\\
\hline
\overrightarrow{AI} \text{ et } \overrightarrow{KD}&\text{oui}&\text{non}&\text{oui}&\text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{JK} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{IB} \text{ et } \overrightarrow{DC} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{LJ} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{AL} \text{ et } \overrightarrow{AI} & & & & \\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{DB} & & & & \\
\hline
\end{array}$$

Correction Exercice 1

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Vecteurs}&\text{Même direction}&\text{Même sens}&\text{Même longueur}&\text{Vecteurs égaux}\\
\hline
\overrightarrow{AI} \text{ et } \overrightarrow{KD}&\text{oui}&\text{non}&\text{oui}&\text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{JK} &\text{oui} &\text{oui} &\text{oui} &\text{oui} \\
\hline
\overrightarrow{IB} \text{ et } \overrightarrow{DC} &\text{oui} &\text{oui} & \text{non}& \text{non}\\
\hline
\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{LJ} &\text{oui} & \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}\\
\hline
\overrightarrow{AL} \text{ et } \overrightarrow{AI} &\text{non} &\text{non} &\text{oui} & \text{non}\\
\hline
\overrightarrow{IL} \text{ et } \overrightarrow{DB} &\text{oui} &\text{non} & \text{non} & \text{non} \\
\hline
\end{array}$$

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$\quad$

Exercice 2

Sur la grille ci-dessous placer les points $H,B,K,L$ tels que :

$$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{RH} \qquad \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{PR} \qquad \overrightarrow{KP} = \overrightarrow{CR} \qquad \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{LH}$$
2nd - exo - vecteurs 1 - ex2

Correction Exercice 2

2nd - exo - vecteurs 1 - ex2-1

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$\quad$

Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle.

Construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.

Construire le point $E$ tel que $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$.

Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{BE}$? Justifier.

Correction Exercice 3

2nd - exo - vecteurs 1 - ex3

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$ donc $ADBC$ est un parallélogramme.
Par conséquent $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$

$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$ donc $ABEC$ est un parallélogramme.
Par conséquent $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}$

Ainsi $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BE}$

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$\quad$

Exercice 4

On considère le rectangle $ABCD$ et les milieux $E$ et $F$ des côtés $[AB]$ et $[CD]$.

2nd - exo - vecteurs 1 - ex4

Compléter les pointillés :
$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B\ldots} \qquad \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{E\ldots} \qquad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{E\ldots} \qquad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{F\ldots}$$

Correction Exercice 4

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \qquad \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{ED} \qquad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{EA} \qquad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{FA}$$

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$\quad$

Exercice 5

On considère un parallélogramme $ABCD$.

  1. Placer le point $E$ tel que $\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{DC}$ et le point $F$ tel que $\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{CD}$.
    $\quad$
  2. Montrer que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}$. Que peut-on en déduire?
    $\quad$
  3. Démontrer que $A$ est le milieu de $[EB]$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    2nd - exo - vecteurs 1 - ex5
  2. $ABCD$ est un parallélogramme. Donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.On sait également que $\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{CD}$.
    Par conséquent $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DC}.
    $Ainsi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}$ et $B$ est le milieu de $[AF]$.
    $\quad$
  3. $ABCD$ est un parallélogramme. Donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.$\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{DC}$. Donc $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CD}$Ainsi $\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}$ et $A$ est le milieu de de $[EB]$.

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$\quad$

Exercice 6

$ABCD$ est un parallélogramme.

  1. Construire les points $E$ et $F$ tels que :
    • $E$ est l’image du point $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$
    • $C$ est l’image du point $F$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DA}$
    $\quad$
  2. Que représente le point $C$ pour le segment $[DE]$? pour le segment $[BF]$? Justifier.
    $\quad$
  3. Quelle est la nature du quadrilatère $DBEF$?
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. $\quad$
    2nd - exo - vecteurs 1 - ex6
  2. $E$ est l’image du point $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.
    Donc $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BE}$ et $ABEC$ est un parallélogramme.
    Par conséquent $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE}$De plus $ABCD$ est un parallélogramme. Donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
    Par conséquent $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CE}$ et $C$ est le milieu de $[DE]$.
    $\quad$
    De plus $C$ est l’image du point $F$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DA}$ donc $ACFD$ est un parallélogramme.
    Ainsi $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CF}$
    Puisque $ABCD$ est un parallélogramme on a également $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$
    Donc $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CF}$ et $C$ est le milieu de $[BF]$.
    $\quad$
  3. Les diagonales $[DE]$ et $[BF]$ du quadrilatère $DBEF$ se coupent en leur milieu. C’est donc un parallélogramme.

[collapse]

$\quad$