Bac S – Pondichéry – avril 2015 – correction

Pondichéry – Avril 2015

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce bac est disponible ici.

Exercice 1 

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas (somme de deux réels strictement positifs).
    $\begin{align*}
    f'(x) & = \dfrac{-3 \times (-2)\e^{-2x}}{\left(1 + \e^{-2x}\right)^2} \\\\
    & = \dfrac{6\e^{-2x}}{\left(1 + \e^{-2x}\right)^2}
    \end{align*}$
    Le dénominateur est toujours positifs. La fonction exponentielle étant toujours strictement positive, le numérateur l’est aussi.
    par conséquent pour tout réel $x$, $f'(x) > 0$.
    la fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to +\infty} -2x = -\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \e^{-2x} = 1$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$
    La droite $\Delta$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable sur $\R$) et strictement croissante sur $\R$.
    $\lim\limits_{x \to -\infty} 1 + \e^{-2x} = +\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$.
    Par conséquent $2,999 \in [0;3]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x) = 2,999$ possède une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
    A l’aide de la calculatrice, on trouve $4 < \alpha < 4,01$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est strictement croissante et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ on a : $f(x) < 3$ soit $3 – f(x) >0$.
    La fonction $h$ est donc positive sur $\R$.
    $\quad$
  2. $H$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} H'(x) &= -\dfrac{3}{2} \times -2\e^{-2x} \times \dfrac{1}{1 + \e^{-2x}} \\\\
    & = \dfrac{3\e^{-2x}}{1+\e^{-2x}}
    \end{align*}$
    $\quad$
    Or $\begin{align*} h(x) &= 3 – \dfrac{3}{1 + \e^{-2x}} \\\\
    & = \dfrac{3 + 3\e^{-2x} – 3}{1 + \e^{-2x}} \\\\
    & = \dfrac{3\e^{-2x}}{1+\e^{-2x}} \\\\
    & = H'(x)
    \end{align*}$
    Par conséquent $H$ est bien une primitive de $h$ sur $\R$.
  3. a. Puisque $h$ est une fonction continue et strictement croissante, $\displaystyle \int_0^a h(x)\mathrm{d}x$ correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe représentant la fonction $h$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=a$. Il s’agit donc de l’aire du domaine située entre $\Delta$ et $\mathscr{C}$ entre les deux droites verticales.
    b.
    $\begin{align*} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x & = H(a) – H(0) \\\\
    & = -\dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \e^{-2a}\right) + \dfrac{3}{2} \ln 2 \\\\
    & = \dfrac{3}{2} \ln \left( \dfrac{2}{1 + \e^{-2a}}\right)
    \end{align*}$
    c. L’aire de $\mathscr{D}$ correspond à $\lim\limits_{a \to +\infty} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x$.
    Or $\lim\limits_{a \to +\infty} 1 + \e^{-2a} = 1$.
    Donc $\lim\limits_{a \to +\infty} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x = \dfrac{3}{2} \ln 2$
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*}
    v_{n+1} & = u_{n+1} – \dfrac{b}{1 -a } \\\\
    & = au_n + b – \dfrac{b}{1 -a} \\\\
    & = au_n + \dfrac{ b(1 -a) – b}{1 -a} \\\\
    & = au_n – \dfrac{ab}{1 – a} \\\\
    & = a \left(u_n – \dfrac{b}{1 -a}\right) \\\\
    & = av_n
    \end{align*}$
    La suite $(v_n)$ est donc bien géométrique de raison $a$.
    $\quad$
  2. Si $a \in ]-1;1[$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} a^n = 0$. Or, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n = a^n \times v_0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$.
    Puisque $u_n = v_n + \dfrac{b}{1-a}$ cela signifie donc que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{b}{1 -a}$.
    $\quad$

Partie B

  1. Avant qu’il ne taille la plante, celle-ci mesure $\dfrac{3}{4} \times 80 + 30 = 90$ cm
    $\quad$
  2. a. Chaque année, au mois de mars, il coupe un quart de la hauteur de la plante. Il reste donc les trois quart de $h_n$. Elle pousse ensuite de $30$ cm.
    Donc $h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
    $\quad$
    b. On constate, à l’aide de la calculatrice, que la suite $(h_n)$ semble être croissante.
    $\quad$
    Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : $h_1 – h_0 = 90 – 80 = 10 > 0$.
    la propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $h_{n+1} – h_n > 0$.
    Ainsi $h_{n+2} – h{n+1} = 0,75h_{n+1} + 30 – (0,75h_n + 30) = 0,75(h_{n+1} – h_n)$.
    Puisque nous avons supposé que $h_{n+1}-h_n > 0$ cela signifie que $h_{n+2} – h_{n+1} > 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    La suite $(h_n)$ est donc croissante.
    $\quad$
    c. On utilise ici la partie A  avec $a = 0,75$ et $b= 30$.
    Puisque $a \in ]-1;1[$, la suite $(h_n)$ converge vers $\dfrac{30}{1  -0,75} = 120$.
    $\quad$

Exercice 3

Partie A : Etude de la durée de vie d’un appareil électroménager

  1. a. On a $P(X \le \mu -20) = 0,16$ donc $P(X \ge \mu + 20) = P(X \ge 104)= 0,16$.
    Or $P(X \le 64) + P(64 \le X \le 104) + P(X \ge 104) = 1$
    Par conséquent $P(64 \le X \le 104) = 1 – 2 \times 0,16 = 0,68$.
    $\quad$
    b. On a ainsi $P(\mu – 20 \le X \le \mu +20) = 0,68$.
    D’après le résultat du cours, cela signifie que $\sigma \approx 20$.
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(X \le 64) & = P(X – 84 \le -20) \\\\
    & = P\left( \dfrac{X  – 84}{\sigma}\le \dfrac{-20}{\sigma}\right)\\\\
    & = P \left(Z \le \dfrac{-20}{\sigma}\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On a donc $P \left(Z \le \dfrac{-20}{\sigma}\right) = 0,16$.
    Par conséquent, à l’aide de la calculatrice, $\dfrac{-20}{\sigma} \approx -0,9945$
    donc $\sigma \approx 20,11$.
    $\quad$
  3. a. On cherche donc $P(24 \le X \le 60)  \approx 0,115$
    $\quad$
    b. $P(X \le 120) = 0,5 – P(84 \le X \le 120) \approx 0,037$
    $\quad$

Partie B : Etude de l’extension de garantie d’El’Ectro

  1. a. On appelle $C$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients faisant jouer l’extension de garantie.
    Il y a eu $12$ “tirages” aléatoires, avec remise,  ayant chacun $2$ issues : le client a fait ou non jouer l’extension de garantie.
    La variable aléatoire $C$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(12;0,115)$.
    Ainsi $P(C = 3) = \displaystyle \binom{12}{3} 0,115^3 (1-0,115)^9 \approx 0,111$.
    $\quad$
    b. On veut $P(C \ge 6) = 1 – P(C \le 5) \approx 0,001$. (résultat obtenu à l’aide de la calculatrice).
    $\quad$
  2. a. Il y a deux possibilités :
    – le client ne fait pas jouer l’extension de garantie et auquel cas l’entreprise gagne $65$ euros.
    – le client fait jouer l’extension de garantie et l’entreprise perd $399 – 65 = 334$ euros.
    Ainsi $Y$ prend bien deux valeurs $65$ et $ -334$.
    $\quad$
    b. On a $P(Y = -334) = 0,115$ donc $P(Y = 65) = 0,885$.
    Ainsi $E(Y) = 0,115 \times (-334) + 65 \times 0,885 = 19,115 > 0$.
    Cette offre est donc financièrement avantageuse pour l’entreprise.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. $\quad$
    TS-bac2015-pondichery
    $\quad$
  2. $\vec{MN}\left(-1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)$ et $\vec{MP}(0;-1;-2)$
    On a $\dfrac{0}{-1} \neq \dfrac{-1}{-\dfrac{1}{2}}$.
    Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les points ne sont pas alignés.
    $\quad$
  3. a. L’algorithme affiche $0$.
    $\quad$
    b. L’algorithme 1 affiche le produit scalaire $\vec{MN}.\vec{MP}$.
    On constate donc que celui-ci est nul. Les deux vecteurs sont donc orthogonaux et le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.
    $\quad$
  4. Saisir $x_M, y_M,z_M,x_N,y_N,z_N,x_P,y_P,z_P$
    $d$ prend la valeur $x_N-x_M$
    $e$ prend la valeur $y_N-y_M$
    $f$ prend la valeur $z_N-z_M$
    $g$ prend la valeur $x_P-x_M$
    $h$ prend la valeur $y_P-y_M$
    $i$ prend la valeur $z_P-z_M$
    $k$ prend la valeur $d \times g + e \times h + f \times i$.
    $l$ prend la valeur $d^2+e^2+f^2$
    $m$ prend la valeur $g^2+h^2+i^2$
    Si $l=m$ et $k=0$
    alors afficher “le triangle est rectangle et isocèle en M”
    Sinon
    afficher “le triangle n’est pas rectangle et isocèle en M”
    Fin Si
    $\quad$
  5. a. Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est de la forme :
    $$5x-8y+4z+d=0$$
    Le point $M$ appartient au plan donc :
    $5 – 8 + 3 – d = 0$ soit $d = 0$.
    Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc :
    $$5x-8y+4z = 0$$
    $\quad$
    b. $F(1;0;1)$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est :
    $$\begin{cases} x = 1 + 5t \\\\y = -8t \qquad t\in \R \\\\z=1+4t \end{cases}$$
    $\quad$
  6. a. Prenons $t = -\dfrac{3}{35}$ (solution de l’équation $-8t = \dfrac{24}{35}$).
    En remplaçant $t$ par cette valeur dans la représentation paramétrique obtenue précédemment on obtient les coordonnées de $\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$ de l’énoncé.
    De plus $5\times \dfrac{4}{7} – 8\times \dfrac{24}{35} + 4\times \dfrac{23}{35} = 0$.
    Donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$ appartient au plan $(MNP)$.
    Donc $K\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$.
    $\quad$
    b. Calculons l’aire $\mathscr{A}$ du triangle $MNP$ :
    $MN^2 = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{21}{16}$ soit $MN = \dfrac{\sqrt{21}}{4}$.
    $MP^2 = 1 + 4 = 5$ soit $MP = \sqrt{5}$.
    Ainsi $\mathscr{A} = \dfrac{\sqrt{105}}{8}$.
    $\quad$
    Le volume du tétraèdre est donc : $\dfrac{\dfrac{\sqrt{105}}{8} \times \sqrt{\dfrac{27}{35}}}{3} = \dfrac{3}{8}$.

$\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Les deux nombres $b$ et $c$ sont premiers entre eux.
    Il existe un entier naturel $b’$ tel que $a= b’b$ et un entier naturel $c’$ tel que $a = cc’$.
    Donc  $bb’ = cc’$.
    Puisque $b$ et $c$ sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, $b$ divisant $cc’$ divise $c’$.
    Ainsi il existe un entier naturel $q$ tel que $c’=bq$.
    Donc $a=cbq$. et $bc$ divise $a$.
    $\quad$
  2. a. $3$ et $4$ sont premiers entre eux et divise tous les deux $2^{33}-1$ d’après la calculatrice.
    D’après le résultat précédent $3 \times 4 = 12$ devrait donc également diviser $2^{33}-1$.
    $\quad$
    b. $33 > 2$ donc $4$ divisise $2^{33}$.
    Si $4$ divise $2^{33}-1$ alors $4$ divise $1$ ce qui est impossible.
    Donc $4$ ne divise pas $2^{33}-1$.
    $\quad$
    c. $2 \equiv -1 ~[3]$ donc $2^{33} \equiv -1~[3]$ d’où $2^{33} – 1 \equiv -2~[3]$.
    Donc $3$ ne divise pas $2^{33}-1$.
    $\quad$
    d. $S$ est la somme de termes d’une suite géométrique de raison $2^3$ :
    $S = \dfrac{1 – \left(2^3\right)^{11}}{1 – 2^3} = \dfrac{2^{33}-1}{7}$.
    $\quad$
    e. $S$ est nécessairement un nombre entier. Par conséquent $\dfrac{2^{33}-1}{7}$ aussi et $7$ divise $2^{33}-1$.
    $\quad$
  3. $2^7 – 1 = 127$ $\sqrt{127} \approx 11,3$.
    On teste si $127$ est divisible par les nombres premiers inférieurs ou égaux à $11$. Ce qui n’est pas le cas.
    Donc $2^7-1$ est premier.
    $\quad$
  4. a. Si on saisit $n=33$ alors l’algorithme affiche $7$ et ” CAS 2 “.
    Si on saisit $n=7$ alors l’algorithme affiche $12$ et ” CAS 1 “.
    $\quad$
    b. Le ” CAS 2 ” signifie que le nombre de Mersenne n’est pas premier. Le nombre $k$ affiché est le plus petit diviseur de $2^n-1$ strictement supérieur à $1$.
    $\quad$
    c. Le ” CAS 1 ” signifie que le nombre de Mersenne étudié est