Exercice 1

Partie A

1. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :
   
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p\left(\conj{A}\cap C\right) \\
   &=0,98x+0,95(1-x)\\
   &=0,98x+0,95-0,95x\\
   &=0,03x+0,95
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On sait que  :
   $\begin{align*} p(C)=0,96 &\ssi 0,03x+0,95=0,96\\
   &\ssi 0,03x=0,01\\
   &\ssi x = \dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   Ainsi $p(A)=\dfrac{1}{3}$ et $p(B)=1-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{3}$ $=2p(A)$.
   $\quad$

Partie B

1. On sait que $E(Z)=5$ or $E(Z)=\dfrac{1}{\lambda}$
   Par conséquent $\dfrac{1}{\lambda}=5 \ssi \lambda = \dfrac{1}{5}=0,2$.
   $\quad$
2. $P(Z>2)=\e^{-0,2\times 2}=\e^{-0,4}$
   $\quad$
3. On veut calculer $P_{Z\pg 3}(Z\pg 5)=P_{Z\pg 3}(Z\pg 3+2)$.
   Les lois exponentielles sont sans vieillissement.
   Par conséquent  :$P_{Z\pg 3}(Z\pg 3+2)=P(Z\pg 2)=\e^{-0,4}$.
   $\quad$

Partie C

1. A l’aide de la calculatrice on trouve $P(83 \pp X \pp 87)\approx 0,683$.
   $\quad$
   La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de $2\%$ du pourcentage annoncé sur l’emballage est :
   $1-P(83 \pp X\pp 87) \approx 0,317$.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} P(85-a\pp X\pp 85+a)=0,9&\ssi P(-a\pp X-85\pp a)=0,9 \\
   &\ssi P\left(-\dfrac{a}{2}\pp \dfrac{X-85}{2}\pp \dfrac{a}{2}\right)=0,9
   \end{align*}$
   La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-85}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} P\left(-\dfrac{a}{2}\pp \dfrac{X-85}{2}\pp \dfrac{a}{2}\right)=0,9 &\ssi P\left(-\dfrac{a}{2}\pp Z\pp \dfrac{a}{2}\right)=0,9 \\
   &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{a}{2}\right)-1=0,9\\
   &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{a}{2}\right)=1,9\\
   &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{a}{2}\right)=0,95
   \end{align*}$
   A l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve : $\dfrac{a}{2}\approx 1,645$
   Par conséquent $a\approx 3,29$.
   Cela signifie donc que $90\%$ des tablettes de chocolat commercialisable ont une teneur en cacao comprise entre $81,71\%$ et $88,29\%$.
3. On a $n=10~000 \pg 30$, $p=0,9$ donc $np=9~000\pg 5$ et $n(1-p)=1~000\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{10~000}&=\left[0,9-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{10~000}};0,9+1,96\times \sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{10~000}}\right] \\
   &=[0,89~412;0,90~588]
   \end{align*}$
   La fréquence observée de tablettes répondant au critère annoncé est $f=\dfrac{550-80}{550}\approx 0,855 \notin I_{10~000}$.
   Au risque d’erreur de $5\%$ on peut remettre en cause l’affirmation du responsable achat de l’enseigne.
   $\quad$

Exercice 2

1. a. On considère l’équation $z^2-6z+c=0$
   Son discriminant est $\Delta=36-4c=4(9-c)$
   On sait que $c>9$. Par conséquent $\Delta <0$.
   L’équation $(E)$ admet donc deux solutions complexes non réelles.
   $\quad$
   b. Les solutions sont donc :
   $z_1=\dfrac{6-\ic\sqrt{4(c-9)}}{2}=\dfrac{6-2\ic\sqrt{c-9}}{2}=3-\ic\sqrt{c-9}$ et $z_2=\conj{z_1}=3+\ic\sqrt{c-9}$.
   $\quad$
2. $OA=\left|z_A\right|=\sqrt{9+c-9}=\sqrt{c}$
   $OB=\left|z_B\right|=\sqrt{9+c-9}=\sqrt{c}$
   Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$.
   $\quad$
3. $AB=\left|z_A-z_B\right|=\left|2\ic\sqrt{c-9}\right|=2\sqrt{(c-9)}$.
   Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$
   $\ssi AB^2=OA^2+OB^2$
   $\ssi 4(c-9)=2c$
   $\ssi 4c-36=2c$
   $\ssi 2c-36=0$
   $\ssi c=18$
   Il existe donc bien une seule valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle et $c=18$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

1.  On appelle $u$ la fonction définie sur $[-2,5;2,5]$ par $u(x)=-2x^2+13,5$.
   La fonction $u$ est dérivable sur cet intervalle en tant que polynôme et, de par la définition de la fonction $f$, est également strictement positive sur cet intervalle.
   Par composition des fonctions, la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2,5;2,5]$
   $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$ donc $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
   $f'(x)=\dfrac{-4x}{-2x^2+13,5}$
   $\quad$
2. Puisque $-2x^2+13,5>0$ sur l’intervalle $[2,5;2,5]$ le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-4x$.
   Ainsi $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-2,5;0]$ et $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;2,5]$.
   On obtient alors le tableau de variation suivant :
   
   D’après le tableau de variation, on en déduit donc que $f(x)$ est positif sur l’intervalle $[-2,5;2,5]$.$\quad$

Partie B : Aire de la zone de creusement

1. La hauteur du tunnel est $h=\ln(13,5)\approx 2,6$.
   La largeur du tunnel est $\ell = 2,5\times 2=5 \neq 2h$.
   La courbe $\mathscr{C}$ n’est donc pas un arc de cercle de centre $O$.
   $\quad$
2. Par symétrie $\mathscr{A}$ est le double de l’aire comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x=0$ et celle d’équation $x=2,5$.
   Donc :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\displaystyle 2\int_0^{2,5}f(x)\dx ~~ \text{u.a.} \\
   &=2\int_0^{2,5}f(x)\dx \times 2^2 \text{ m}^2 \\
   &=8\int_0^{2,5}f(x)\dx \text{ m}^2
   \end{align*}$
   $\quad$
3. a. A l’étape $1$ on a $R=0,130~116$ et $S=0,130~116$
   A l’étape $4$ on a $S=0,519~981$
   A l’étape $50$ on a $R=0$ et $S=5,197~538$
   A l’affichage $S=5,197~538$
   $\quad$
   b. En utilisant l’inégalité fournie on a :
   $ a \pp I \pp a +\dfrac{f(0)-f(0,5)}{n}\times 2,5$
   soit $ 5,197~538 \pp I \pp 5,197~538+0,05\ln(13,5)$
   d’où $5,197~538 \pp I\pp 5,327~673$
   Par conséquent $41,580~304 \pp 8I \pp 42,621~380$
   C’est-à-dire  $41,580~304 \pp \mathscr{A} \pp 42,621~380$
   Une valeur approchée, au mètre carré près, de la zone de creusement est donc $\mathscr{A} \approx 42$ m$^2$.
   En effet $42-1 \pp 41,580~304 \pp \mathscr{A} \pp 42,621~380\pp 42+1$
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A : Conjectures

1. En $B3$ on a pu saisir : $=2*B2-A2+3$
   En $C3$ on a pu saisir : $=2\wedge A3$
   $\quad$
2. Il semblerait que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ soit $+\infty$.
   $\dfrac{3~080}{1~024}\approx 3,008$
   $\dfrac{6~153}{2~048}\approx 3,004$
   $\dfrac{12~298}{4~096}\approx 3,002$
   $\dfrac{24~587}{8~192}\approx 3,001$
   Il semblerait que la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ soit $3$.
   $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1$ et $3\times 2^0-0-2=3-2=1$
   La  propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=3\times 2^n+n-2$
   $\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n-n+3\\
   &=2\left(3\times 2^n+n-2\right)-n+3\\
   &=3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3\\
   &=3\times 2^{n+1}+n-1\\
   &=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3\times 2^n+n-2$.
   $\quad$
2. $2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}2^n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}3\times 2^n=+\infty$
   De plus $\lim\limits_{n\to +\infty}n-2=+\infty$
   Par somme de limite $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
   $\quad$
3. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $ u_n\pg 10^6$
   Les suites de terme général $\left(3\times 2^n\right)$ et $(n-2)$ sont croissantes. Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est également croissante.
   On a $u_{18}=786~448$ et $u_{19}=1~572~881$
   Par conséquent c’est à partir du rang $19$ que $u_n\pg 10^6$.
   $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)}$.

1. On note $w_n=\dfrac{u_n}{v_n}$
   $\begin{align*}w_{n+1}-w_n&=\dfrac{3\times 2^{n+1}+n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3\times 2^n+n-2}{2^n} \\
   &=3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-3-\dfrac{n-2}{2^n}\\
   &=\dfrac{n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{2(n-2)}{2^{n+1}}\\
   &=\dfrac{n-1-2n+4}{2^{n+1}}\\
   &=\dfrac{3-n}{2^{n+1}}
   \end{align*}$
   Par conséquent, si $n\pg 3$ alors $w_{n+1}-w_n\pp 0$ et la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est décroissante.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=3+\dfrac{n-2}{2^n}\\
   &=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{2}{2^n} \\
   &=3+\dfrac{n}{2^n}-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n
   \end{align*}$
   $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$
   D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2^n}=0$
   $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$
   Ainsi, par somme des limites $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=3$

Exercice 4

Partie A : Conjectures

1. En B3 on a pu saisir $=2*B2+3*C2$
   En C3 on a pu saisir $=2*B2+C2$
   $\quad$
2. PGCD$(1;1)=1$, PGCD$(5;3)=1$, PGCD$(19,13)=1$.
   Il semblerait donc que PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$ pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
3. $\dfrac{u_{10}}{v_{10}}\approx 1,499~999~4$
   $\dfrac{u_{11}}{v_{11}}\approx 1,500~000~15$
   $\dfrac{u_{12}}{v_{12}}\approx 1,499~999~96$
   $\dfrac{u_{13}}{v_{13}}\approx 1,500~000~01$
   Il semblerait donc que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge vers $1,5$.

$\quad$

Partie B : Étude arithmétique

1. Initialisation : Si $n=0$ alors $2u_0-3v_0=2-3=-1=(-1)^{0+1}$
   La propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2u_n-3v_n=(-1)^{n+1}$
   $\begin{align*} 2u_{n+1}-3v_{n+1}&=2\left(2u_n+3v_n\right)-3\left(2u_n+v_n\right) \\
   &=4u_n+6v_n-6u_n-3v_n \\
   &=-2u_n+3v_n \\
   &=-\left(2u_n-3v_n\right)\\
   &=-(-1)^{n+1}\\
   &=(-1)^{n+2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc $2u_n-3v_n=(-1)^{n+1}$.
   $\quad$
2. Si $n$ est impair alors $u_n-3v_n=(-1)^{n+1}=1$
   D’après le théorème de Bezout on a PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$
   Si $n$ est pair alors $-\left(u_n-3v_n\right)=-(-1)^{n+1}=1$
   Donc $3v_n-2u_n=1$
   D’après le théorème de Bezout on a PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$
   Dans tous les cas on a PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$.
   $\quad$

Partie C : Étude matricielle

1. a.
   $\begin{align*} \begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}\times P&=\begin{pmatrix} 2+3&6-6\\1-1&3+2\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}
   \end{align*}$
   Par conséquent $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}\times P=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
   La matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}$ est donc l’inverse de $P$.
   $\quad$
   b. 
   $\begin{align*} X_n&=Q_nP^{-1}X_0 \\
   &=Q_n\times \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \\
   &=\dfrac{1}{5}\times Q_n\times \begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\\
   &=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}(-1)^{n+1}+3\times 2^{n+1}\\(-1)^n+2^{2n+2}\end{pmatrix}
   \end{align*}$
   Par conséquent $\begin{cases}u_n=\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{5}\\\\v_n=\dfrac{(-1)^n+2^{2n+2}}{5}\end{cases}$
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=\dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{5}}{\dfrac{(-1)^n+2^{2n+2}}{5}} \\
   &=\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{(-1)^n+2^{2n+2}} \\
   &=\dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}+3}}{\dfrac{(-1)^n}{2^{2n+1}+2}}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{(-1)^{n}}{4^n}=-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n$
   $\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{(-1)^{n}}{4^n}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n$
   Or $-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n=0$
   Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{3}{2}$.
   $\quad$

Exercice 5

On recherche trois points du cube appartenant au plan $\mathscr{P}$.

Les points $B(1;0;0)$, $I\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$ et $J\left(\dfrac{2}{3};0;1\right)$ appartiennent au plan $\mathscr{P}$ d’équation $x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z-1=0$.

En effet  :

• $1+0+0-1=0$ (point $B)$
• $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+0-1=0$ (point $I$)
• $\dfrac{2}{3}+0+\dfrac{1}{3}-1=0$ (point $J$)

Les plan $\mathscr{P}$ et $(BIJ)$ sont donc confondus.

Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont parallèles. Par conséquent, l’intersection du plan $(EFG)$ avec le plan $(BIJ)$ est la droite parallèle à $(BI)$ passant par $J$. Le point $L$ est le point d’intersection de cette droite avec l’arête $[GH]$.

 

Exercice 1    5 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie “Choc’o” fabrique des tablettes de chocolat noir, de $100$ grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de $85\%$.

Partie A

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

• la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à $0,98$.
• la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est $0,95$.

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

$\quad$ $A$ l’ événement: “la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A” ;
$\quad$  $C$ l’événement : “la tablette de chocolat est commercialisable”.

On note $x$ la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1. Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$.
   $\quad$
2. À l’issue de la production, on constate que $96\%$ des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
   Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
   $\quad$

Partie B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de $5$ ans.
   Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle.
   $\quad$
2. Calculer $P(Z> 2)$.
   $\quad$
3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant $3$ ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse $5$ ans ?
   $\quad$

Partie C

On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d’une tablette de $100$ g de chocolat commercialisable. On admet que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 85$ et d’écart type $\sigma = 2$.

1. Calculer $P(83 < X < 87)$.
   Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de $2\%$ du pourcentage annoncé sur l’emballage ?
   $\quad$
2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que: $P(85-a < X < 85+a) = 0,9$.
   Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
3. La chocolaterie vend un lot de $10~000$ tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l’enseigne que, dans ce lot, $90\%$ des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l’intervalle $[81,7;88,3]$.
   Afin de vérifier si cette affirmation n’est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère.
   Au vu de l’échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l’affirmation de la chocolaterie ?
   $\quad$

Exercice 2    3 points

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

1. On considère l’équation $(E) : z^2 – 6z + c = 0$ où $c$ est un réel strictement supérieur à $9$.
   a. Justifier que $(E)$ admet deux solutions complexes non réelles.
   $\quad$
   b. Justifier que les solutions de $(E)$ sont $z_A = 3 +\ic\sqrt{c-9}$ et $z_B = 3-\ic\sqrt{c-9}$.
   $\quad$
2. On note $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
   Justifier que le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.
   $\quad$
3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle et déterminer cette valeur.
   $\quad$

Exercice 3    4 points

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.
Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d’unité $2$ m, la zone de creusement est la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.

 

On admet que $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2,5;2,5]$ par: $$f(x) = \ln \left(-2x^2 + 13,5\right)$$

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

1. Calculer $f'(x)$ pour $x \in [-2,5;2,5]$.
   $\quad$
2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[- 2,5;2,5]$.
   En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5;2,5]$.
   $\quad$

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe $\mathscr{C}$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

1. La courbe $\mathscr{C}$ est-elle un arc de cercle de centre $O$ ? Justifier la réponse.
   $\quad$
2. Justifier que l’aire, en mètre carré, de la zone de creusement est $\mathscr{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\dx$.
   $\quad$
3. L’algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\dx$, notée $a$.
   On admet que : $a \pp I \pp a + \dfrac{f(0) – f(2,5)}{n}\times 2,5$.
   a. Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour $R$ et $S$ lors de l’exécution de l’algorithme pour $n = 50$.
   Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.
   $\quad$
   b. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
   $\quad$

Annexe

Variables
$\quad$ $R$ et $S$ sont des réels
$\quad$ $n$ et $k$ sont des entiers
Traitement
$\quad$ $S$ prend la valeur $0$
$\quad$ Demander la valeur de $n$
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $n$ faire
$\qquad$ $R$ prend la valeur $\dfrac{2,5}{n}\times f\left(\dfrac{2,5}{n}\times k\right)$
$\qquad$ $S$ prend la valeur $S+R$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Afficher $S$

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $R$ et de $S$, arrondies à $=10^{-6}$, obtenues lors de l’exécution de l’algorithme pour $n=50$.

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :

• la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = 2u_n-n + 3$ ;
• la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.

Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
   $\quad$
2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
   
   Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
   $\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 3 \times 2^n + n-2$.
   $\quad$
2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
3. Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à $1$ million.
   $\quad$

Partie C : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)}$ 

1. Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang $3$.
   $\quad$
2. On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $4$, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \pp \dfrac{1}{n}$.
   Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par :

$u_0 = v_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 2u_n + 3v_n$ et$ v_{n+1} = 2u_n + v_n.$

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l’aide d’un tableur.
Une copie d’écran est donnée ci-dessous.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules $B3$ et $C3$ pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
   $\quad$
2. Soit $n$ un entier naturel.
   Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n;v_n\right)$. Aucune justification n’est demandée.
   $\quad$
3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :
   
   Elle émet la conjecture : “la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge”.
   Qu’en penser ?
   $\quad$

Partie B : Étude arithmétique

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $2u_n-3v_n = (- 1)^{n+1}$.
   $\quad$
2. Soit $n$ un entier naturel.
   Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n;v_n\right)$.
   $\quad$

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel $n$, on définit :

• la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$,
• les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$

1. a. Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ est l’inverse de $P$.
   b. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$.
   Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $\begin{cases}u_n=\dfrac{(- 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\v_n=\dfrac{(- 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5}\end{cases}$
   $\quad$
2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\dfrac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\dfrac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$.
   $\quad$
   b. En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
   $\quad$

Exercice 5    3 points

On considère un cube $ABCDEFGH$ fourni en annexe.
L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
On note $\mathscr{P}$ le plan d’équation $x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z-1 = 0$.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $\mathscr{P}$.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

Annexe