Pondichéry – Avril 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A : taux d’évolution

1. a. Il faut rentrer la formule $=(E3-D3)/D3$
   $\quad$
   b. Le taux d’évolution du RDB de 2012 à 2013 est $\dfrac{1~326,30-1~318,10}{1~3818,10} \approx 0,62\%$
   $\quad$
2. a. $1~285,4 \times \left(1 + \dfrac{1,05}{100}\right)^3 \approx 1326,32$.
   Le taux annuel moyen d’évolution du RDB entre 2010 et 2013 est environ égal à $1,05\%$.
   $\quad$
   b. Avec ce taux, le RDB pour l’année 2014 est $1326,30 \times \left(1 + \dfrac{1,05}{100}\right) \approx 1340,23$ milliards d’euros.
   $\quad$

Partie B : ajustement affine

1. Une équation de la droite $\mathscr{D}$ est $y=12,94x+1~277,95$.
   $\quad$
2. $\quad$
   
   $\quad$
3. En 2014, le RDB peut être estimé à $1~342,65$ milliards d’euros à l’aide de cet ajustement.
   $\quad$

Partie C : comparaison des deux prévisions

$1~340 \times \left (1 – \dfrac{1}{100}\right) = 1~326,6$ et $1~340 \times \left (1 + \dfrac{1}{100}\right) = 1~353,4$
Les valeurs obtenues en A.2.b et B.3 appartiennent bien à $[1~326,6;1~353,4]$. Elles sont donc acceptables.
$\quad$

Exercice 2

Partie A : l’entraînement d’Ugo

1. La deuxième semaine, Ugo a parcouru $40 + 5 = 45$ km.
   La troisième semaine, Ugo a parcouru $45 + 5 = 50$ km.
   $\quad$
2. La différence entre deux termes consécutifs est constante. La suite $(u_n)$ est donc arithmétique de raison $5$.
   $\quad$
3. Variables :
   $\quad$ $u$ est un réel
   $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
   Entrée :
   $\quad$ Saisir $n$
   Initialisation : 
   $\quad$ $u$ prend la valeur $40$
   Traitement :
   $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$
   $\quad$ $\quad$ $u$ prend la valeur $u+5$
   $\quad$ Fin Pour
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $u$
   $\quad$
4. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1 = 40$.
   Ainsi, pour tout $n \ge 1$,
   $\begin{align*} u_n &= 40 + 5(n – 1)\\\\
   & = 40 + 5n – 5 \\\\
   & = 35 + 5n
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B : l’entraînement de Vivien

1. Vivien augment la distance parcourue de $10\%$ chaque semaine. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $1 + \dfrac{10}{100} = 1,1$. Le premier terme de la suite est $v_1 = 30$.
   $\quad$
2. Ainsi $v_n = 30 \times 1,1^{n-1}$.
   $\quad$
3. $v_8 = 30 \times 1,1^7 \approx 58,5$.
   $\quad$

Partie C : comparaison des deux entraînements

1. En utilisant les formules trouvées dans les parties A et B et la calculatrice, on constate que :
   $u_{16} = 110$ et $v_{16} \approx 113,92$.
   Vivien parcourra bien une distance supérieure à celle parcourue par Ugo.
   $\quad$
2. On appelle $D_1$ la distance totale parcourue par Ugo sur les $20$ semaines :
   $\begin{align*}
   S_1 & = u_1+u_2+\ldots + u_{17} + u_{18} + u_{19} + u_{20} \\\\
   & = 35 \times 17 + 5 (1 + 2 + \ldots + 17) + 80 + 80 + 80 \\\\
   & = 595 + 5 \times \dfrac{ 17 \times 18}{2} + 240 \\\\
   & = 835 + 5 \times 153 \\\\
   & = 1~600 \\\\
   & > 1~500
   \end{align*}$
   Ugo atteindra donc son objectif.
   $\quad$
   On appelle $D_2$ la distance totale parcourue par Vivien sur les $20$ semaines :
   $\begin{align*}
   D_2 &= v_1+v_2 + \ldots + v_{17}+v_{18}+v_{19}+v_{20} \\\\
   & = 30 \times \dfrac{ 1 – 1,1^{17}}{1 – 1,1} + 80 + 80 + 80 \\\\
   & \approx 1~456 \\\\
   & < 1~500
   \end{align*}$
   Vivien n’atteindra donc pas son objectif.
   $\quad$

Exercice 3

1. Etude graphique
   a. Quand $x=0,5$ alors le ballon est à $3$ mètres de haut.
   $\quad$
   b. La hauteur maximale atteinte par le ballon est d’environ $5$ mètres. Les $5,5$ mètres ne sont donc pas atteints.
   $\quad$
2. Etude de la fonction $f$
   a. $f$ est dérivable sur $[0;6]$ en tant que fonction polynomiale.
   $\begin{align*} f'(x) &= -2 \times 0,4x + 2,2 \\\\
   & = -0,8x + 2,2
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. Étudions le signe de $f'(x)$
   $\begin{align*} -0,8x + 2,2 > 0 &\Leftrightarrow -0,8x > -2,2 \\\\
   & \Leftrightarrow x < 2,75
   \end{align*}$
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   c. La hauteur maximale est donc de $5,025$ mètres.
   $\quad$
3. $g(5,3) = 2,742 < 2,9$.
   Le ballon ne rebondit pas sur le panneau.
   $\quad$
   $h(5,3) = 3,113 \in [2,9;3,5]$.
   Le ballon rebondit sur le panneau.
   $\quad$

Exercice 4

1. La probabilité $p(B) = 1 – p(R) = 1 – 0,75 = 0,25$.
   $\quad$
2. On a $p_R(G) = 0,2$. Donc $p(R \cap G) = 0,75 \times 0,2 = 0,15$
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
   $\begin{align*}
   p(G) & = p(R \cap G) + p(B \cap G) \\\\
   & = 0,15 + 0,25 \times 0,4 \\\\
   & = 0,25
   \end{align*}$
   $\quad$
4. $P(19,98 \le X \le 20,02) \approx 0,8176 \approx 0,818$