Exercice 1

1. On peut lire que $f(0)=0$ et que $f'(0)=2$ (coefficient directeur de la tangente $(OA)$).
   Or $f(0)=b$ donc $b=0$
   La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit et composition de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   On a $f(x)=ax\e^{-x^2}$ car on vient de montrer que $b=0$.
   $f'(x)=a\e^{-x^2}-2ax^2\e^{-x^2}$
   Donc $f'(0)=a$. Par conséquent $a=2$.
   $\quad$
2. a. $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty$.
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^{x^2}}{x^2}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0$
   De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}=0$
   Par produit on a donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
   $\quad$
   b. Pour tout réel $x\pg 0$, $f'(x)=2\e^{-x^2}-4x^2\e^{-x^2}=2(1-2x^2)\e^{-x^2}$
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-2x^2$.
   Or $1-2x^2=\left(1-\sqrt{2}x\right)\times \left(1+\sqrt{x}\right)$.
   Sur $[0;+\infty[$ on a $\left(1+\sqrt{x}\right) >0$.
   $1-\sqrt{2}x=0 \ssi x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ssi x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
   On en déduit donc le tableau de variation suivant :
   
   $\quad$
3. a. $f$ est de la forme $-u’\e^{u}$.
   Donc une primitive de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ est de la forme $g(x)=-\e^{-x^2}+c$.
   On sait que $g(0)=-1$ puisque la courbe $\mathscr{C}_g$ passe par le point $B(0;-1)$.
   Or $g(0)=-1+c$.
   Par conséquent $-1+c=-1$ et $c=0$.
   On en déduit donc que, sur $[0;+\infty[$, une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie par $g(x)=-\e^{-x^2}$ dont la courbe représentative passe par le point $B$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} I_m&=\int_0^m f(t)\dt \\
   &=g(m)-g(0) \\
   &=-\e^{-m^2}+1
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. $\lim\limits_{m \to +\infty} -m^2=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{m \to +\infty} e^{-x^2}=0$ et $\lim\limits_{m \to +\infty} I_m=1$
   $\quad$
4. a. Pour tout réel $x$ positif on a : $2x \pg 0$ et $\e^{-x^2} \pg 0$ (car la fonction exponentielle est strictement positive).
   Par conséquent $f(x) \pg 0$. (on pouvait également utiliser le tableau de variation)
   $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions continues sur cet intervalle.
   De plus, d’après la question précédente, $\lim\limits_{m \to +\infty} \displaystyle \int_0^m f(t)\dt = 0$.
   La fonction $f$ est donc une fonction densité de probabilité sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   b. Pour tout réel $x$ positif, on a :
   $P(X \pp x) = \displaystyle \int_0^x f(t)\dt=g(x)-g(0)=g(x)+1$
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} P(X \pp \alpha) = 0,5 &\ssi g(\alpha)+1=0,5 \\
   &\ssi g(\alpha)=-0,5 \\
   &\ssi -\e^{-\alpha^2}=-0,5 \\
   &\ssi \e^{-\alpha^2}=0,5 \\
   &\ssi -\alpha^2 = \ln 0,5 \\
   &\ssi v^2=-\ln 0,5 \\
   &\ssi \alpha^2=- \left(-\ln 2\right) \\
   &\ssi \alpha^2=\ln 2 \\
   &\ssi \alpha=\sqrt{\ln 2} \text{ ou } \alpha=-\sqrt{\ln 2} \\
   &\ssi \alpha=\sqrt{\ln 2} \text{ car } \alpha \pg 0
   \end{align*}$
   $\quad$
   d. D’après la question précédente $\alpha$ est tel que $g(\alpha)=-0,5$.
   
   
   

Exercice 2

Proposition 1

On appelle $B$ le point d’affixe $4$, $C$ celui d’affixe $-2\ic$ et $M$ celui d’affixe $z$.
Par conséquent $|z-4|=|z+2\ic| \ssi BM=CM$.
L’ensemble cherché est donc la médiatrice du segment $[BC]$.
Calculons $AB=|4-3\ic|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$
et $AC=|-2\ic-3\ic|=|-5\ic|=5$.
Ainsi $AB=AC$. Le point $A$ appartient à la médiatrice du segment $[BC]$.
La proposition est vraie.

$\quad$

Proposition 2

Résolvons tout d’abord l’équation $z^2-8z+25=0$
$\Delta = (-8)^2-4\times 25 = -36<0$
Cette équation possède donc deux racines complexes conjuguées :
$z_1=\dfrac{8-\ic\sqrt{36}}{2}=4-3\ic$ et $z_2=4+3\ic$

$(z-1)(z^2-8z+25)=0 \ssi z-1=0 \text{ ou } z^2-8z+25=0$
Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc $\lbrace 1;4-3\ic;4+3\ic \rbrace$

On appelle $A$ le point d’affixe $1$, $B$ celui d’affixe $4-3\ic$ et $C$ celui d’affixe $4+3\ic$.

$AB=\left|4-3\ic-1\right| = \left|3-3\ic\right|=\sqrt{18}$

$AC=\left|4+3\ic-1\right| = \left|3+3\ic\right|=\sqrt{18}$

$BC=\left|4+3\ic-4+3\ic\right|=\left|6\ic\right|=6$

Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$.
D’une part $BC^2=36$.
D’autre part $AB^2+AC^2=18+18=36$.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
La proposition est vraie.

Remarque : on pouvait également déterminer l’argument du nombre complexe $\dfrac{z_1-1}{z_2-1}$ et montrer que celui-ci était égal à $\pm \dfrac{\pi}{2}$.

$\quad$

Proposition 3

On a $\left|-\sqrt{3}+\ic\right|=2$ donc $\sqrt{3}+\ic=2\left|-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right|=2\e^{5\ic\pi/6}$.
Par conséquent un argument de $\left(-\sqrt{3}+\ic\right)$ est $8\times \dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{20\pi}{3}=6\pi+\dfrac{2\pi}{3}$.
Par conséquent, la mesure principale de cet argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ et non $\dfrac{\pi}{3}$.
La proposition est fausse.

Exercice 3

1. a. En calculant les premiers termes de la suite on obtient :
   $u_0=0$ $\quad$ $u_1=\dfrac{1}{2}$ $\quad$ $u_2=\dfrac{2}{3}$ $\quad$ $u_3=\dfrac{3}{4}$ $\quad$ $u_4=\dfrac{4}{5}$.
   Il semblerait donc que, pour tout entier naturel $n$ on ait $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
   Montrons ce résultat par récurrence :
   Initialisation : Si $n=0$ $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{0}{1}=0=u_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
   Alors :
   $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2-u_n} \\
   &=\dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} \\
   &=\dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} \\
   &=\dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} \\
   &=\dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\
   &=\dfrac{n+1}{n+2}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
   $\quad$
   b. D’après la limite des termes de plus haut degré :
   $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n}=1$.
   $\quad$
2. On obtient l’algorithme suivant :
   Variables :
   $\quad$ $n,a$ et $b$ sont des nombres.
   Initialisation : 
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
   $\quad$ $b$ prend la valeur $0,5$
   Traitement :
   $\quad$ Tant que $|b-a| > 10^{-3}$
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\qquad$ $a$ prend la valeur $\dfrac{1}{2-a}$
   $\qquad$ $b$ prend la valeur $\dfrac{1}{2-b}$
   $\quad$ Fin Tant que.
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $n$
   $\quad$

Exercice 4

Partie A : Un calcul de volume sans repère

1. Les diagonales d’un carré sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
   Par conséquent le triangle $AOB$ est rectangle et $OS=OA=OB$.
   Les faces latérales de la pyramide sont des triangles équilatéraux. Par conséquent $AS=AB=BC$.
   Dans le triangle $AOB$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore :
   $AB^2=AO^2+OB^2 \ssi AS^2=OS^2+OA^2$
   Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $AOS$ est rectangle en $O$.
   On montre de la même façon que le triangle $OSB$ est rectangle en $O$.
   La droite $(OS)$ est donc perpendiculaire à deux droites sécantes, $(OA)$ et $(OB)$, du plan $(ABC)$ : elle est orthogonale au plan $(ABC)$.
   $\quad$
2. On a $OA=\dfrac{24}{2}=12$ cm.
   En reprenant le calcul du théorème de Pythagore dans le triangle $AOB$ de la question précédente on a :
   $\begin{align*} AB^2&=AO^2+OB^2 \\
   &=12^2+12^2 \\
   &=288
   \end{align*}$
   Par conséquent l’aire du carré $ABCS$ est $\mathscr{A}=AB^2=288$ cm$^2$.
   Et le volume de la pyramide $SABCD$ est :
   $\mathscr{V}=\dfrac{\mathscr{A}\times SO}{3}=\dfrac{288 \times 12}{3}=1~152$ cm$^3$.
   $\quad$

Partie B : Dans un repère

1. a. Dans le repère orthonormé $\left(O;\vect{OA},\vect{OB},\vect{OS}\right)$ on a :
   $O(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$ et $S(0,0,1)$.
   Les points $P$ et $Q$ sont les milieux respectifs des segments $[AS]$ et $[BS]$.
   Ainsi $P\left(\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2}\right)$ et $Q\left(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.
   On a également $C(-1,0,0)$ car $\vect{OC}=-\vect{OA}$
   Donc $\vect{PQ}\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)$
   et $\vect{PC}\left(-\dfrac{3}{2},0,-\dfrac{1}{2}\right)$
   Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
   Calculons les produits scalaires :
   $\vec{n}.\vect{PQ}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-3\times 0 = 0$.
   $\vec{n}.\vect{PC}=-\dfrac{3}{2}-3\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQC)$ : il est donc normal à ce plan.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(PQC)$ est donc de la forme $x+y-3z+d=0$.
   Le point $C$ appartient à ce plan: ses coordonnées vérifient donc cette équation.
   Ainsi $-1+0+0+d=0$ soit $d=1$.
   Une équation cartésienne du plan $PQC$ est donc $x+y-3z+1=0$.
   $\quad$
2. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $(SH)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(SH)$ est donc :
   $\begin{cases} x=t\\y=t \quad t \in \R\\z=1-3t\end{cases}$
   $\quad$
   b. Le point $H$ est le point d’intersection du plan $(PQC)$ et de la droite $(SH)$.
   Ces coordonnées vérifient donc les équations de la droite et du plan.
   On a donc :
   $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-3t\\x+y-3z+1=0\end{cases}$
   Par conséquent $t+t-3(1-3t)+1=0$
   Soit $2t-3+9t+1=0$ d’où $11t=2$ et donc $t=\dfrac{2}{11}$.
   Les coordonnées du point $H$ sont donc $\left(\dfrac{2}{11};\dfrac{2}{11};\dfrac{5}{11}\right)$.
   $\quad$
   c. Ainsi :
   $\begin{align*} SH&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{11}\right)^2+\left(\dfrac{2}{11}\right)^2+\left(\dfrac{5}{11}-1\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{4}{121}+\dfrac{4}{121}+\dfrac{36}{121}} \\
   &=\sqrt{\dfrac{44}{121}}\\
   &=\dfrac{2\sqrt{11}}{11}
   \end{align*}$
   $\quad$
3. Le volume de la pyramide $SPQCD$ est :
   $\begin{align*} \mathscr{V}_1&=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{11}}{8}\times \dfrac{2\sqrt{11}}{11}}{3} \\
   &=\dfrac{1}{4}
   \end{align*}$
   Le volume de cette pyramide est donc de $0,25$ unité de volume.
   $\quad$

Partie C : partage équitable

La découpe proposée par Anne revient à obtenir la pyramide $SPQCD$ de la partie précédente.

Le volume, en cm$^3$, de cette pyramide est donné par $12^3\times 0,25=432$ cm$^3$.

Ainsi $\dfrac{432}{1~152}\approx 0,37 \neq 0,5$.

Le partage ne sera donc pas équitable.
$\quad$

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Étude des pannes du module mécanique

1. $\quad$
   $\begin{align*} P(D \pg 48)=0,797~7 &\ssi P(D-50\pg -2)=0,797~7 \\
   &\ssi P\left(\dfrac{D-50}{\sigma} \pg -\dfrac{2}{\sigma}\right)=0,797~7 \\
   &\ssi P\left(\dfrac{D-50}{\sigma} \pp -\dfrac{2}{\sigma}\right)=0,202~3
   \end{align*}$
   La variable aléatoire $\dfrac{D-50}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
   En utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice on obtient :
   $-\dfrac{2}{\sigma} \approx -0,833~4 \ssi \sigma \approx 2,399~8$.
   $\quad$
2. On veut calculer $P(45 \pp D \pp 52) \approx 0,779~1$
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{(D \pg 48)}(D\pg 54)&=\dfrac{P(D\pg 54)}{P(D\pg 48)} \\
   &=\dfrac{0,5-P(50 \pp D\pp 54)}{0,5+P(48 \pp D\pp 50)} \\
   &\approx 0,059~9
   \end{align*}$
   Remarque : $(D\pg 48)\cap(D\pg 54)=(D\pg 54)$.

Partie B : Étude des pannes d’origine électronique

1. $\quad$
   $\begin{align*} P(0\pp T\pp 24)=0,03 &\ssi 1-\e^{-24\lambda} = 0,03 \\
   &\ssi \e^{-24\lambda}=0,97 \\
   &\ssi -24\lambda = \ln 0,97 \\
   &\ssi \lambda = -\dfrac{\ln 0,97}{24}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} P(24 \pp T \pp 48)&=\e^{-0,001~27\times 24}-\e^{-0,001~27\times 48} \\
   &\approx 0,029~1
   \end{align*}$
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align*} P_{T\pg t}(T \pg t+h)&=\dfrac{P\left(T\pg t)\cap (T\pg t+h)\right)}{P(T\pg t)} \\
   &=\dfrac{P(T\pg t+h)}{P(T\pg t)} \\
   &=\dfrac{\e^{-(t+h)\lambda}}{\e^{-t\lambda}}\\
   &=\e^{-h\lambda}\\
   &P(T \pg h)
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{T \pg 36}(T \pg 36+12) &=P(T\pg 12) \quad \text{ cf B.3.a} \\
   &=\e^{-12\times 0,001~27}\\
   &\approx 0,984~9
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie C : Pannes d’origine mécanique et électronique

On veut calculer :
$\begin{align*} P\left((D \pg 48)\cap (T\pg 48)\right)&=P(D \pg 48)\times P(T \pg 48) \quad \text{indépendance} \\
&=0,797~7 \times \e^{-0,001~27\times 48} \\
& \approx 0,7505
\end{align*}$
$\quad$

Partie D : Cas particulier d’un garage de l’enseigne

On a $n=300 \pg 30$ et $p=0,797~7$ donc $np=239,31 \pg 5$ et $n(1-p)=60,69\pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

$\begin{align*} I_{300}&=\left[0,797~7-1,96\sqrt{\dfrac{0,797~7\times 0,220~3}{300}};0,797~7+1,96\sqrt{\dfrac{0,797~7\times 0,220~3}{300}} \right] \\
&\approx [0,732~8;0,843~2]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{246}{300}=0,82 \in I_{300}$

Cela ne remet donc pas en cause, au risque de $5\%$, le résultat donné par le service statistique de l’enseigne.

$\quad$

 

Exercice 5

candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

1. Le chiffre des unités de $N_p$ est $1$.
   Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
   Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
   Par conséquent $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
   $\quad$
2. a. $10\equiv 1$ mod $3$ donc pour tout entier naturel $j$ on a $10^j \equiv 1$ mod $3$.
   $\quad$
   b. $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k \equiv \sum_{k=0}^{k=p-1} 1$ mod $3$ $\equiv p$ mod $3$.
   $\quad$
   c. $N_p$ est divisible par $3$ si, et seulement si, $p$ mod $3 = 0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $3$.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   m&0&1&2&3&4&5&6 \\
   \hline
   a&1&3&2&-1&-3&-2&1\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. On a $p=6q+r$ ou $q$ est un entier relatif et $q$ un entier naturel strictement inférieur à $6$.
   Ainsi $10^p=\left(10^6\right)^q\times 10^r \equiv 1^q\times 10^r$ mod $7$.
   D’après le tableau précédent $10^p\equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $p=0$ ou $p=6$.
   Ainsi $10^p \equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $r=0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $p$ non nul, $N_p$ est la somme des $p$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $10$.
   Ainsi $N_p=\dfrac{1-10^p}{1-10}=\dfrac{10^p-1}{9}$.
   $\quad$
   d. $7$ et $9$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $7$ divise $N_p$ est équivalent à $7$ divise $9N_p$.
   $\quad$
   e.
   $\begin{align*} N_p \equiv 0 \text{ mod } 7&\ssi 9N_p\equiv 0 \text{ mod } 7 \\
   &\ssi 10^p-1 \equiv 0 \text{ mod } 7 \\
   &\ssi 10^p \equiv 1 \text{ mod } 7\\
   &\ssi p \equiv 0 \text{ mod } 6
   \end{align*}$
   Donc $N_p$ est divisible par $7$ si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
   $\quad$

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à $1$ n’est jamais un carré parfait

1. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   n\equiv \ldots ~[10]&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
   \hline
   n^2=\ldots ~[10]&0&1&4&9&6&5&6&9&4&1\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. Le chiffre des unités de $n^2$ se termine par le chiffre $1$ si, et seulement si, le chiffre des unités de $n$ se termine par $1$ ou par $9$.
   Or $9\equiv -1$ mod $10$
   Cela signifie donc qu’il existe un entier naturel $m$ tel que $n=10m+1$ ou $n=10m-1$.
   $\quad$
   c. Si $n=10m+1$ alors $n^2=100m^2+20m+1 \equiv 1$ mod $20$.
   Si $n=10m-1$ alors $n^2=100m^2-20m+1\equiv 1$ mod $20$.
   Dans tous les cas $n^2\equiv 1$ mod $20$.
   $\quad$
2. Si $n\pg 2$ alors $N_p=\underbrace{11\ldots 1}_{p-2 \text{ fois}}00+11=100\displaystyle \sum_{k=2}^{k=p-1}10^{k-2}+11 \equiv 11$ mod $20$
   $\quad$
3. D’après la question B.1.c. si $n^2 \equiv 1$ mod $10$ alors $n^2 \equiv 1$ mod $20$.
   Or $N_p\equiv 1$ mod $10$ et $N_p \equiv 11$ mod $20$.
   Donc $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.

Exercice 1    5 points

Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ données en annexe  sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé $\Oij$, de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;+ \infty[$.
On considère les points $A(0,5;1)$ et $B(0;-1)$ dans le repère $\Oij$.
On sait que $O$ appartient à $\mathscr{C}_f$ et que la droite $(OA)$ est tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $O$.

1. On suppose que la fonction $f$ s’écrit sous la forme $f(x) = (ax + b)\e^{- x^2}$ où $a$ et $b$ sont des réels. Déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$, en détaillant la démarche.
   $\quad$

Désormais, on considère que $\boldsymbol{f(x) = 2x\e^{- x^2}}$ pour tout $\boldsymbol{x}$ appartenant à $\boldsymbol{[0;+ \infty[}$

2. a. On admettra que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$.
   Calculer $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)$.
   $\quad$
   b. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0;+ \infty[$.
   $\quad$
3. La fonction $g$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ passe par le point $B(0;-1)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0;+ \infty[$.
   a. Déterminer l’expression de $g(x)$.
   $\quad$
   b. Soit $m$ un réel strictement positif.
   Calculer $I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t)\dt$ en fonction de $m$.
   $\quad$
   c. Déterminer $\lim\limits_{m \to + \infty} I_m$.
   $\quad$
4. a. Justifier que $f$ est une fonction densité de probabilité sur $[0;+ \infty[$.
   $\quad$
   b. Soit $X$ une variable aléatoire continue qui admet la fonction $f$ comme densité de probabilité. Justifier que, pour tout réel $x$ de $[0;+ \infty[$, $P(X \pp x) = g(x) + 1$.
   $\quad$
   c. En déduire la valeur exacte du réel $\alpha$ tel que $P(X \pp \alpha) = 0,5$.
   $\quad$
   d. Sans utiliser une valeur approchée de $\alpha$, construire dans le repère de l’annexe le point de coordonnées $(\alpha;0)$ en laissant apparents les traits de construction.
   Hachurer ensuite la région du plan correspondant à $P(X \pp \alpha)$.
   $\quad$
   Annexe exercice 1

 

Exercice 2    3 points

Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

Proposition 1

L’ensemble des points du plan d’affixe $z$ tels que $|z – 4| = |z + 2\ic|$ est une droite qui passe par le point $A$ d’affixe $3\ic$.

$\quad$

Proposition 2

Soit $(E)$ l’équation $(z -1)\left(z^2 – 8z + 25\right) = 0$ où $z$ appartient à l’ensemble $\C$ des nombres complexes.
Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l’équation $(E)$ sont les sommets d’un triangle rectangle.

$\quad$

Proposition 3

$\dfrac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe $\left(- \sqrt{3} + \ic\right)^8$.

$\quad$

Exercice 3    3 points

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par : $$ u_0 = 0 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, u_{n+1} = \dfrac{1}{2-u_n}$$

1. a. À l’aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture.
   $\quad$
   b. En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
2. Compléter, dans l’annexe, l’algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} – u_n\right| \pp 10^{-3}$.
   $\quad$

Annexe exercice 3

Variables :
$\quad$ $n,a$ et $b$ sont des nombres.
Initialisation : 
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $a$ prend la valeur $0$
$\quad$ $b$ prend la valeur $0,5$
Traitement :
$\quad$ Tant que $\ldots\ldots$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $\ldots\ldots$
$\qquad$ $a$ prend la valeur $\ldots\ldots$
$\qquad$ $b$ prend la valeur $\ldots\ldots$
$\quad$ Fin Tant que.
Sortie :
$\quad$ Afficher $\ldots\ldots$
$\quad$

Exercice 4    4 points

Partie A : un calcul de volume sans repère

On considère une pyramide équilatère $SABCD$ (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-dessous.
Les diagonales du carré $ABCD$ mesurent $24$ cm. On note $O$ le centre du carré $ABCD$.
On admettra que $OS = OA$

 

1. a. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite $(SO)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   b. En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide $SABCD$.
   $\quad$

Partie B : dans un repère

On considère le repère orthonormé $\left(O;\vect{OA}, \vect{OB},\vect{OS}\right)$.

1. On note $P$ et $Q$ les milieux respectifs des segments $[AS]$ et $[BS]$.
   a. Justifier que $\vect{n}(1;1;-3)$ est un vecteur normal au plan $(PQC)$.
   $\quad$
   b. En déduire une équation cartésienne du plan $(PQC)$.
   $\quad$
2. Soit $H$ le point du plan $(PQC)$ tel que la droite $(SH)$ est orthogonale au plan $(PQC)$.
   a. Donner une représentation paramétrique de la droite $(SH)$.
   $\quad$
   b. Calculer les coordonnées du point $H$.
   $\quad$
   c. Montrer alors que la longueur $SH$, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$.
   $\quad$
3. On admettra que l’aire du quadrilatère $PQCD$, en unité d’aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$
   Calculer le volume de la pyramide $SPQCD$, en unité de volume.
   $\quad$

Partie C : partage équitable

Pour l’anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent $24$ cm.
Elle s’apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C’est alors qu’Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale :
“Place la lame sur le milieu d’une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé”.

 

Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables.
Est-ce le cas ? Justifier la réponse.
$\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $\boldsymbol{10^{-4}}$

On étudie un modèle de climatiseur d’automobile composé d’un module mécanique et d’un module électronique.
Si un module subit une panne, il est changé.

Partie A : Étude des pannes du module mécanique

Une enseigne d’entretien automobile a constaté, au moyen d’une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 50$ et d’écart-type $\sigma$ :

1. Déterminer l’arrondi à $10^{-4}$ de $\sigma$ sachant que le service statistique indique que $P(D \pg 48) = 0,797~7$.
   $\quad$

Pour la suite de cet exercice, on prendra $\boldsymbol{\sigma = 2,4}$.

2. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre $45$ et $52$ mois.
   $\quad$
3. Déterminer la probabilité que le module mécanique d’un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois.
   $\quad$

Partie B : Étude des pannes d’origine électronique

Sur le même modèle de climatiseur, l’enseigne d’entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, sachant que le service statistique indique que $P(0 \pp T \pp 24) = 0,03$.

Pour la suite de cet exercice, on prendra $\boldsymbol{\lambda} = 0,001~27$.

2. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois.
   $\quad$
3. a. Démontrer que, pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a : $P_{T \pg t}(T \pg t + h) = P(T \pg h)$, c’est-à-dire que la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement.
   $\quad$
   b. Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $36$ mois. Déterminer la probabilité qu’il fonctionne encore les $12$ mois suivants.
   $\quad$

Partie C : Pannes d’origine mécanique et électronique

On admet que les événements $(D \pg 48)$ et $(T \pg 48)$ sont indépendants.
Déterminer la probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $48$ mois.

Partie D : Cas particulier d’un garage de l’enseigne

Un garage de l’enseigne a étudié les fiches d’entretien de $300$ climatiseurs de plus de $4$ ans. Il constate que $246$ d’entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis $4$ ans.
Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l’enseigne, à savoir que $P(D \pg 48) = 0,797~7$ ? Justifier la réponse.
$\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les entiers naturels $1$, $11$, $111$, $1~111$, $\ldots$ sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s’écrivant qu’avec des $1$.
Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s’écrivant avec $p$ fois le chiffre $1$ :

$$N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{array}{c}\small{p \text{ répétitions}} \\ \small{ \text{du chiffre }1} \end{array}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k$$

Dans tout l’exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul.
L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

1. Montrer que $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
   $\quad$
2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $3$.
   a. Prouver que, pour tout entier naturel $j$, $10^j \equiv 1 \text{ mod } 3$.
   $\quad$
   b. En déduire que $N_p \equiv p \text{ mod } 3$.
   $\quad$
   c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par $3$.
   $\quad$
3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
   a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l’unique entier relatif appartenant à $\{-3;-2;- 1;0;1;2;3\}$ tel que $10^m \equiv a \text{ mod }7$.
   On ne demande pas de justification.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   m &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\
   \hline
   a & & & & & & &\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. Soit $p$ un entier naturel non nul.
   Montrer que $10^p \equiv 1 \text{ mod } 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
   On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.
   $\quad$
   c. Justifier que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p-1}{9}$.
   d. Démontrer que “$7$ divise $N_p$”  est équivalent à “$7$ divise $9N_p$”.
   $\quad$
   e. En déduire que $N_p$ est divisible par $7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
   $\quad$

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à $\boldsymbol{1}$ n’est jamais un carré parfait

1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
   On suppose que l’écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre $1$, c’est-à-dire $n^2 \equiv 1 \text{ mod } 10$.
   a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   n \equiv \ldots  ~~[10]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
   \hline
   n^2 \equiv \ldots  ~~[10]\phantom{2^5}&&&&&&&&&&\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. En déduire qu’il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m-1$.
   $\quad$
   c. Conclure que $n^2 \equiv 1 \text{ mod } 20$.
   $\quad$
2. Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
   Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par $20$ ?
   $\quad$
3. En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à $2$, le rep-unit $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.
   $\quad$