Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2016

Amérique du Sud – Novembre 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On peut lire que $f(0)=0$ et que $f'(0)=2$ (coefficient directeur de la tangente $(OA)$).
    Or $f(0)=b$ donc $b=0$
    La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit et composition de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    On a $f(x)=ax\e^{-x^2}$ car on vient de montrer que $b=0$.
    $f'(x)=a\e^{-x^2}-2ax^2\e^{-x^2}$
    Donc $f'(0)=a$. Par conséquent $a=2$.
    $\quad$
  2. a. $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^{x^2}}{x^2}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0$
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}=0$
    Par produit on a donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pg 0$, $f'(x)=2\e^{-x^2}-4x^2\e^{-x^2}=2(1-2x^2)\e^{-x^2}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-2x^2$.
    Or $1-2x^2=\left(1-\sqrt{2}x\right)\times \left(1+\sqrt{x}\right)$.
    Sur $[0;+\infty[$ on a $\left(1+\sqrt{x}\right) >0$.
    $1-\sqrt{2}x=0 \ssi x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \ssi x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    On en déduit donc le tableau de variation suivant :
    ts-amerique-du-sud-nov2016-ex11
    $\quad$
  3. a. $f$ est de la forme $-u’\e^{u}$.
    Donc une primitive de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ est de la forme $g(x)=-\e^{-x^2}+c$.
    On sait que $g(0)=-1$ puisque la courbe $\mathscr{C}_g$ passe par le point $B(0;-1)$.
    Or $g(0)=-1+c$.
    Par conséquent $-1+c=-1$ et $c=0$.
    On en déduit donc que, sur $[0;+\infty[$, une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie par $g(x)=-\e^{-x^2}$ dont la courbe représentative passe par le point $B$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} I_m&=\int_0^m f(t)\dt \\
    &=g(m)-g(0) \\
    &=-\e^{-m^2}+1
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. $\lim\limits_{m \to +\infty} -m^2=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{m \to +\infty} e^{-x^2}=0$ et $\lim\limits_{m \to +\infty} I_m=1$
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x$ positif on a : $2x \pg 0$ et $\e^{-x^2} \pg 0$ (car la fonction exponentielle est strictement positive).
    Par conséquent $f(x) \pg 0$. (on pouvait également utiliser le tableau de variation)
    $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions continues sur cet intervalle.
    De plus, d’après la question précédente, $\lim\limits_{m \to +\infty} \displaystyle \int_0^m f(t)\dt = 0$.
    La fonction $f$ est donc une fonction densité de probabilité sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ positif, on a :
    $P(X \pp x) = \displaystyle \int_0^x f(t)\dt=g(x)-g(0)=g(x)+1$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} P(X \pp \alpha) = 0,5 &\ssi g(\alpha)+1=0,5 \\
    &\ssi g(\alpha)=-0,5 \\
    &\ssi -\e^{-\alpha^2}=-0,5 \\
    &\ssi \e^{-\alpha^2}=0,5 \\
    &\ssi -\alpha^2 = \ln 0,5 \\
    &\ssi v^2=-\ln 0,5 \\
    &\ssi \alpha^2=- \left(-\ln 2\right) \\
    &\ssi \alpha^2=\ln 2 \\
    &\ssi \alpha=\sqrt{\ln 2} \text{ ou } \alpha=-\sqrt{\ln 2} \\
    &\ssi \alpha=\sqrt{\ln 2} \text{ car } \alpha \pg 0
    \end{align*}$
    $\quad$
    d. D’après la question précédente $\alpha$ est tel que $g(\alpha)=-0,5$.

    ts-amerique-du-sud-nov2016-ex12

Ex 2

Exercice 2

Proposition 1

On appelle $B$ le point d’affixe $4$, $C$ celui d’affixe $-2\ic$ et $M$ celui d’affixe $z$.
Par conséquent $|z-4|=|z+2\ic| \ssi BM=CM$.
L’ensemble cherché est donc la médiatrice du segment $[BC]$.
Calculons $AB=|4-3\ic|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$
et $AC=|-2\ic-3\ic|=|-5\ic|=5$.
Ainsi $AB=AC$. Le point $A$ appartient à la médiatrice du segment $[BC]$.
La proposition est vraie.

$\quad$

Proposition 2

Résolvons tout d’abord l’équation $z^2-8z+25=0$
$\Delta = (-8)^2-4\times 25 = -36<0$
Cette équation possède donc deux racines complexes conjuguées :
$z_1=\dfrac{8-\ic\sqrt{36}}{2}=4-3\ic$ et $z_2=4+3\ic$

$(z-1)(z^2-8z+25)=0 \ssi z-1=0 \text{ ou } z^2-8z+25=0$
Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc $\lbrace 1;4-3\ic;4+3\ic \rbrace$

On appelle $A$ le point d’affixe $1$, $B$ celui d’affixe $4-3\ic$ et $C$ celui d’affixe $4+3\ic$.

$AB=\left|4-3\ic-1\right| = \left|3-3\ic\right|=\sqrt{18}$

$AC=\left|4+3\ic-1\right| = \left|3+3\ic\right|=\sqrt{18}$

$BC=\left|4+3\ic-4+3\ic\right|=\left|6\ic\right|=6$

Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$.
D’une part $BC^2=36$.
D’autre part $AB^2+AC^2=18+18=36$.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
La proposition est vraie.

Remarque : on pouvait également déterminer l’argument du nombre complexe $\dfrac{z_1-1}{z_2-1}$ et montrer que celui-ci était égal à $\pm \dfrac{\pi}{2}$.

$\quad$

Proposition 3

On a $\left|-\sqrt{3}+\ic\right|=2$ donc $\sqrt{3}+\ic=2\left|-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right|=2\e^{5\ic\pi/6}$.
Par conséquent un argument de $\left(-\sqrt{3}+\ic\right)$ est $8\times \dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{20\pi}{3}=6\pi+\dfrac{2\pi}{3}$.
Par conséquent, la mesure principale de cet argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ et non $\dfrac{\pi}{3}$.
La proposition est fausse.

Ex 3

Exercice 3

  1. a. En calculant les premiers termes de la suite on obtient :
    $u_0=0$ $\quad$ $u_1=\dfrac{1}{2}$ $\quad$ $u_2=\dfrac{2}{3}$ $\quad$ $u_3=\dfrac{3}{4}$ $\quad$ $u_4=\dfrac{4}{5}$.
    Il semblerait donc que, pour tout entier naturel $n$ on ait $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
    Montrons ce résultat par récurrence :
    Initialisation : Si $n=0$ $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{0}{1}=0=u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
    Alors :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2-u_n} \\
    &=\dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\
    &=\dfrac{n+1}{n+2}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
    $\quad$
    b. D’après la limite des termes de plus haut degré :
    $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n}=1$.
    $\quad$
  2. On obtient l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $n,a$ et $b$ sont des nombres.
    Initialisation : 
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $0,5$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $|b-a| > 10^{-3}$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $\dfrac{1}{2-a}$
    $\qquad$ $b$ prend la valeur $\dfrac{1}{2-b}$
    $\quad$ Fin Tant que.
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : Un calcul de volume sans repère

  1. Les diagonales d’un carré sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
    Par conséquent le triangle $AOB$ est rectangle et $OS=OA=OB$.
    Les faces latérales de la pyramide sont des triangles équilatéraux. Par conséquent $AS=AB=BC$.
    Dans le triangle $AOB$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AB^2=AO^2+OB^2 \ssi AS^2=OS^2+OA^2$
    Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $AOS$ est rectangle en $O$.
    On montre de la même façon que le triangle $OSB$ est rectangle en $O$.
    La droite $(OS)$ est donc perpendiculaire à deux droites sécantes, $(OA)$ et $(OB)$, du plan $(ABC)$ : elle est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
  2. On a $OA=\dfrac{24}{2}=12$ cm.
    En reprenant le calcul du théorème de Pythagore dans le triangle $AOB$ de la question précédente on a :
    $\begin{align*} AB^2&=AO^2+OB^2 \\
    &=12^2+12^2 \\
    &=288
    \end{align*}$
    Par conséquent l’aire du carré $ABCS$ est $\mathscr{A}=AB^2=288$ cm$^2$.
    Et le volume de la pyramide $SABCD$ est :
    $\mathscr{V}=\dfrac{\mathscr{A}\times SO}{3}=\dfrac{288 \times 12}{3}=1~152$ cm$^3$.
    $\quad$

Partie B : Dans un repère

  1. a. Dans le repère orthonormé $\left(O;\vect{OA},\vect{OB},\vect{OS}\right)$ on a :
    $O(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$ et $S(0,0,1)$.
    Les points $P$ et $Q$ sont les milieux respectifs des segments $[AS]$ et $[BS]$.
    Ainsi $P\left(\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2}\right)$ et $Q\left(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.
    On a également $C(-1,0,0)$ car $\vect{OC}=-\vect{OA}$
    Donc $\vect{PQ}\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)$
    et $\vect{PC}\left(-\dfrac{3}{2},0,-\dfrac{1}{2}\right)$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
    Calculons les produits scalaires :
    $\vec{n}.\vect{PQ}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-3\times 0 = 0$.
    $\vec{n}.\vect{PC}=-\dfrac{3}{2}-3\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQC)$ : il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(PQC)$ est donc de la forme $x+y-3z+d=0$.
    Le point $C$ appartient à ce plan: ses coordonnées vérifient donc cette équation.
    Ainsi $-1+0+0+d=0$ soit $d=1$.
    Une équation cartésienne du plan $PQC$ est donc $x+y-3z+1=0$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $(SH)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(SH)$ est donc :
    $\begin{cases} x=t\\y=t \quad t \in \R\\z=1-3t\end{cases}$
    $\quad$
    b. Le point $H$ est le point d’intersection du plan $(PQC)$ et de la droite $(SH)$.
    Ces coordonnées vérifient donc les équations de la droite et du plan.
    On a donc :
    $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-3t\\x+y-3z+1=0\end{cases}$
    Par conséquent $t+t-3(1-3t)+1=0$
    Soit $2t-3+9t+1=0$ d’où $11t=2$ et donc $t=\dfrac{2}{11}$.
    Les coordonnées du point $H$ sont donc $\left(\dfrac{2}{11};\dfrac{2}{11};\dfrac{5}{11}\right)$.
    $\quad$
    c. Ainsi :
    $\begin{align*} SH&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{11}\right)^2+\left(\dfrac{2}{11}\right)^2+\left(\dfrac{5}{11}-1\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{121}+\dfrac{4}{121}+\dfrac{36}{121}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{44}{121}}\\
    &=\dfrac{2\sqrt{11}}{11}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Le volume de la pyramide $SPQCD$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{V}_1&=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{11}}{8}\times \dfrac{2\sqrt{11}}{11}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{4}
    \end{align*}$
    Le volume de cette pyramide est donc de $0,25$ unité de volume.
    $\quad$

Partie C : partage équitable

La découpe proposée par Anne revient à obtenir la pyramide $SPQCD$ de la partie précédente.

Le volume, en cm$^3$, de cette pyramide est donné par $12^3\times 0,25=432$ cm$^3$.

Ainsi $\dfrac{432}{1~152}\approx 0,37 \neq 0,5$.

Le partage ne sera donc pas équitable.
$\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Étude des pannes du module mécanique

  1. $\quad$
    $\begin{align*} P(D \pg 48)=0,797~7 &\ssi P(D-50\pg -2)=0,797~7 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{D-50}{\sigma} \pg -\dfrac{2}{\sigma}\right)=0,797~7 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{D-50}{\sigma} \pp -\dfrac{2}{\sigma}\right)=0,202~3
    \end{align*}$
    La variable aléatoire $\dfrac{D-50}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    En utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice on obtient :
    $-\dfrac{2}{\sigma} \approx -0,833~4 \ssi \sigma \approx 2,399~8$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(45 \pp D \pp 52) \approx 0,779~1$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(D \pg 48)}(D\pg 54)&=\dfrac{P(\pg 54)}{P(D\pg 48)} \\
    &=\dfrac{0,5-P(50 \pp D\pp 54)}{0,5+P(48 \pp D\pp 50)} \\
    &\approx 0,059~9
    \end{align*}$
    Remarque : $(D\pg 48)\cap(D\pg 54)=(D\pg 54)$.

Partie B : Étude des pannes d’origine électronique

  1. $\quad$
    $\begin{align*} P(0\pp T\pp 24)=0,03 &\ssi 1-\e^{-24\lambda} = 0,03 \\
    &\ssi \e^{-24\lambda}=0,97 \\
    &\ssi -24\lambda = \ln 0,97 \\
    &\ssi \lambda = -\dfrac{\ln 0,97}{24}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(24 \pp T \pp 48)&=\e^{-0,001~27\times 24}-\e^{-0,001~27\times 48} \\
    &\approx 0,029~1
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{align*} P_{T\pg t}(T \pg t+h)&=\dfrac{P\left(T\pg t)\cap (T\pg t+h)\right)}{P(T\pg t)} \\
    &=\dfrac{P(T\pg t+h)}{P(T\pg t)} \\
    &=\dfrac{\e^{-(t+h)\lambda}}{\e^{-t\lambda}}\\
    &=\e^{-h\lambda}\\
    &P(T \pg h)
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T \pg 36}(T \pg 36+12) &=P(T\pg 12) \quad \text{ cf B.3.a} \\
    &=\e^{-12\times 0,001~27}\\
    &\approx 0,984~9
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C : Pannes d’origine mécanique et électronique

On veut calculer :
$\begin{align*} P\left((D \pg 48)\cap (T\pg 48)\right)&=P(D \pg 48)\times P(T \pg 48) \quad \text{indépendance} \\
&=0,797~7 \times \e^{-0,001~27\times 48} \\
& \approx 0,7505
\end{align*}$
$\quad$

Partie D : Cas particulier d’un garage de l’enseigne

On a $n=300 \pg 30$ et $p=0,797~7$ donc $np=239,31 \pg 5$ et $n(1-p)=60,69\pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

$\begin{align*} I_{300}&=\left[0,797~7-1,96\sqrt{\dfrac{0,797~7\times 0,220~3}{300}};0,797~7+1,96\sqrt{\dfrac{0,797~7\times 0,220~3}{300}} \right] \\
&\approx [0,732~8;0,843~2]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{246}{300}=0,82 \in I_{300}$

Cela ne remet donc pas en cause, au risque de $5\%$, le résultat donné par le service statistique de l’enseigne.

$\quad$

 

Ex 5 spé

Exercice 5

candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

  1. Le chiffre des unités de $N_p$ est $1$.
    Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
    Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
    Par conséquent $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
    $\quad$
  2. a. $10\equiv 1$ mod $3$ donc pour tout entier naturel $j$ on a $10^j \equiv 1$ mod $3$.
    $\quad$
    b. $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k \equiv \sum_{k=0}^{k=p-1} 1$ mod $3$ $\equiv p$ mod $3$.
    $\quad$
    c. $N_p$ est divisible par $3$ si, et seulement si, $p$ mod $3 = 0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $3$.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    m&0&1&2&3&4&5&6 \\
    \hline
    a&1&3&2&-1&-3&-2&1\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a $p=6q+r$ ou $q$ est un entier relatif et $q$ un entier naturel strictement inférieur à $6$.
    Ainsi $10^p=\left(10^6\right)^q\times 10^r \equiv 1^q\times 10^r$ mod $7$.
    D’après le tableau précédent $10^p\equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $p=0$ ou $p=6$.
    Ainsi $10^p \equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $r=0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $p$ non nul, $N_p$ est la somme des $p$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $10$.
    Ainsi $N_p=\dfrac{1-10^p}{1-10}=\dfrac{10^p-1}{9}$.
    $\quad$
    d. $7$ et $9$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $7$ divise $N_p$ est équivalent à $7$ divise $9N_p$.
    $\quad$
    e.
    $\begin{align*} N_p \equiv 0 \text{ mod } 7&\ssi 9N_p\equiv 0 \text{ mod } 7 \\
    &\ssi 10^p-1 \equiv 0 \text{ mod } 7 \\
    &\ssi 10^p \equiv 1 \text{ mod } 7\\
    &\ssi p \equiv 0 \text{ mod } 6
    \end{align*}$
    Donc $N_p$ est divisible par $7$ si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
    $\quad$

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à $1$ n’est jamais un carré parfait

  1. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n\equiv \ldots ~[10]&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
    \hline
    n^2=\ldots ~[10]&0&1&4&9&6&5&6&9&4&1\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Le chiffre des unités de $n^2$ se termine par le chiffre $1$ si, et seulement si, le chiffre des unités de $n$ se termine par $1$ ou par $9$.
    Or $9\equiv -1$ mod $10$
    Cela signifie donc qu’il existe un entier naturel $m$ tel que $n=10m+1$ ou $n=10m-1$.
    $\quad$
    c. Si $n=10m+1$ alors $n^2=100m^2+20m+1 \equiv 1$ mod $20$.
    Si $n=10m-1$ alors $n^2=100m^2-20m+1\equiv 1$ mod $20$.
    Dans tous les cas $n^2\equiv 1$ mod $20$.
    $\quad$
  2. Si $n\pg 2$ alors $N_p=\underbrace{11\ldots 1}_{p-2 \text{ fois}}00+11=100\displaystyle \sum_{k=2}^{k=p-1}10^{k-2}+11 \equiv 11$ mod $20$
    $\quad$
  3. D’après la question B.1.c. si $n^2 \equiv 1$ mod $10$ alors $n^2 \equiv 1$ mod $20$.
    Or $N_p\equiv 1$ mod $10$ et $N_p \equiv 11$ mod $20$.
    Donc $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.

Énoncé

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