Exercice 1

Partie A

1. $f(0)=0\times \e^{-0}=0\times 1 = 0$
   $f(x)=-(-x)\e^{-x}$
   $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{x\to+\infty} -x=-\infty \\
   \lim\limits_{X \to -\infty}X\e^X=0\end{array}\right\}$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$
   La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$
   La fonction exponentielle est strictement positive.
   Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$.
   Or $1-x>0 \ssi x<1$ et $1-x=0\ssi x=1$
   On en déduit donc que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   De plus $f(1)=1\times \e^{-1}=\dfrac{1}{\e}$.
   $\quad$
2. $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
   $F'(x)=-1\times \e^{-x}-(-x-1)\e^{-x}=(-1+x+1)\e^{-x}=x\e^{-x}=f(x)$.
   La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B

1. On veut résoudre l’équation $f(x)=ax \ssi x\e^{-x}=ax \ssi x\e^{-x}-ax=0\ssi x\left(\e^{-x}-a\right)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $x=0$ ou $\e^{-x}-a=0$
   Or $\e^{-x}-a=0\ssi \e^{-x}=a \ssi -x=\ln a \ssi x=-\ln a$
   La droite $D_a$ et la courbe $\mathscr{C}_f$ ont donc un unique point d’intersection distinct de l’origine d’abscisse $x_M=-\ln a$.
   $\quad$
2. $\mathscr{H}_a$ est l’aire du domaine compris entre la droite $D_a$, la courbe $\mathscr{C}_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=-\ln a$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} \mathscr{H}_a&=\displaystyle \int_0^{-\ln a} \left(f(x)-ax\right) \dx \\
   &=\left[(-x-1)\e^{-x}-\dfrac{ax^2}{2}\right]_0^{-\ln a} \\
   &=\left(\ln a-1\right)\e^{\ln a}-\dfrac{a\left(\ln a\right)^2}{2}-(-1)\e^0 \\
   &=\left(\ln a-1\right)\times a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1\\
   &=a\ln a-a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1\\
   &=a\ln a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1-a
   \end{align*}$
   $\quad$
3. La fonction $\mathscr{H}$ est continue (car dérivable) sur l’intervalle $]0;1]$ et strictement décroissante sur cet intervalle.
   De plus $\mathscr{H}(0)=1>0,5$ et $\mathscr{H}(1)=0<0,5$. Or $0,5\in]0;1[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $\mathscr{H}(x)=0,5$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
   $\quad$
4. Les valeurs $A$ et $B$ sont, respectivement, un minorant et un majorant de $\alpha$ d’amplitude inférieure ou égale à $10^{-p}$.
   $\quad$
5. A l’aide de la calculatrice, on obtient l’encadrement $0,06< \alpha<0,07$ d’amplitude $0,01$.
   $\quad$

Exercice 2

1. La durée de vie moyenne est de quatre ans. Donc $E(T)=4=\dfrac{1}{\lambda}$ Par conséquent $\lambda =\dfrac{1}{4}=0,25$.
   On veut calculer $P_{(T\pg 3)}(T\pg 2+3)=P(T\pg 2)$ (durée de vie sans vieillissement)
   Or $P(T \pg 2)=\e^{-0,25 \times 2}=\e^{-0,5}\approx 0,61$
   L’affirmation est donc fausse.
   $\quad$
2. $z^3-3z^2+3z=0\ssi z\left(z^2-3z+3\right)=0 \ssi z=0$ ou $z^2-3z+3=0$
   On calcule le discriminant de $z^2-3z+3=0$
   $\Delta = (-3)^-3\times 4= -3<0$
   L’équation du second degré possède donc deux solutions complexes $z_1=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{3+\ic\sqrt{3}}{2}$.
   Les solutions de l’équation $z^3-3z^2+3z=0$ sont donc $0$, $\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\ic\sqrt{3}}{2}$.
   On appelle respectivement $O$, $A$ et $B$ les points d’affixes  $0$, $\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\ic\sqrt{3}}{2}$.
   $OA=\left|z_A\right| = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}$
   $OB=\left|z_B\right|=\left|\conj{z_A}\right|=\sqrt{3}$
   $AB=\left|z_B-z_A\right|=\left|\ic \sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$.
   Le triangle $OAB$ est donc équilatéral.
   L’affirmation est donc vraie.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

On a $n=34 \pg 30$, $p=0,5$ donc $np=17 \pg 5$ et $n(1-p)=17 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence du thème A à l’examen est donc

$\begin{align*} I_{34}&=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{34}};0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{34}}\right] \\
&\approx [0,331;0,669]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{22}{34}\approx 0,647 \in I_{34}$.

On ne peut donc pas rejeter, au seuil de $95\%$ l’affirmation faite.
$\quad$

Partie B

On appelle $S$ l’événement “l’étudiant a suivi le stage” et $A$ l’événement “l’élève a traité le thème A”. On obtient ainsi l’arbre pondéré suivant :

On veut calculer $p_{\overline{A}}(S)$

D’après la formule des probabilités totales on a :

$\begin{align*} p\left(\overline{A}\right)&=p\left(S\cap \conj{A}\right)+p\left(\conj{S}\cap \conj{A}\right) \\
&=0,2\times \dfrac{1}{6}+0,8\times 0,3 \\
&=\dfrac{41}{150}
\end{align*}$

Par conséquent :

$\begin{align*} p_{\overline{A}}(S)&=\dfrac{p\left(\overline{A}\cap S\right)}{p\left(\conj{A}\right)} \\
&=\dfrac{0,2 \times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{41}{150}} \\
&=\dfrac{5}{41} \\
&\approx 0,122
\end{align*}$
$\quad$

Partie C

On a :

$\begin{align*} P(T\pp 235) = 0,98 &\ssi P(T-225 \pp 235 -225) = 0,98 \\
&\ssi P(T-225 \pp 10)=0,98 \\
&\ssi P\left(\dfrac{T-225}{\sigma}\pp \dfrac{10}{\sigma}\right)=0,98
\end{align*}$

La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-225}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
Or, d’après la calculatrice, $P(Z\pp k)=0,98$ si $ k\approx 2,05$

Par conséquent $\dfrac{10}{\sigma} \approx 2,05$ soit $\sigma \approx 4,9$.

$\quad$

 

Exercice 4

Montrons par récurrence sur $n$ que $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.

Initialisation : $u_0=0$ et $\dfrac{0}{0+1}=0$. La propriété est donc vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2-u_n} \\
&=\dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\
&=\dfrac{n+1}{n+2}
\end{align*}$

La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{n}{n+1}$

D’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n}=1$.

Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

$\quad$

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}7\\-4\\1\end{pmatrix}$
   $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}$
   $\dfrac{7}{2} \neq \dfrac{-4}{3}$
   Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires et définissent donc bien un plan.
   $\quad$
   b. $\vec{n}.\vect{AB}=5\times 7+16\times (-4)+29\times 1 =0$
   $\vec{n}.\vect{AC}=5\times 2+16\times 3+29\times (-2) =0$
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. C’est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme :
   $5x+16y+29z+d=0$.
   Le point $A(-1;-1;0)$ appartient au plan $(ABC)$.
   Par conséquent $-5-16+d=0 \ssi d=21$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $5x+16y+29z+21=0$.
   $\quad$
2. a. $\vect{AB}.\vect{AC}=14-12-2=0$.
   Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
   Regardons s’il est également isocèle.
   $AB=\sqrt{49+16+1}=\sqrt{66}$
   $AC=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}\neq AB$.
   Le triangle $ABC$ n’est donc pas isocèle.
   $\quad$
   b. L’aire du triangle $ABC$ est donc :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2}\\
   &=\dfrac{\sqrt{66}\times \sqrt{17}}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{1~122}}{2}
   \end{align*}$
   $\quad$
3. a. Regardons si les coordonnées du point $S(13;37;54)$ vérifient l’équation cartésienne du plan $(ABC)$.
   $5\times 13+16\times 37+29\times 54+21=2~244\neq 0$.
   Le point $S$ n’appartient donc pas au plan $(ABC)$ : les points $A,B,C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
   b. La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.
   Un représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ est donc :
   $\begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \qquad t\in \R \\z=54+29t\end{cases}$
   Les coordonnées du point $H$, point d’intersection du plan $(ABC)$ et de la droite $(\Delta)$ sont donc solution du système :
   $\begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\5x+16y+29z+21=0\end{cases}$
   $\ssi \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\5(13+5t)+16(37+16t)+29(54+29t)+21=0\end{cases}$
   $\ssi \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\65+25t+592+256t+1~566+841t+21=0\end{cases} $
   $\ssi \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\1~122t+2~244=0\end{cases} $
   $\ssi \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\t=-2\end{cases} $
   $\ssi \begin{cases} t=-2\\x=3\\y=5 \\z=-4\end{cases} $
   Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3;5;-4)$.
   $\quad$
4. Calculons tout d’abord $SH=\sqrt{(3-13)^2+(37-5)^2+(-4-54)^2}=\sqrt{4~488}$
   Le volume du tétraèdre $SABC$ est donc :
   $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{\mathscr{A}\times SH}{3} \\
   &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1122}}{2}\times \sqrt{4~488}}{3}\\
   &=374
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 1    5 points

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0; +\infty[$ par $$f(x) = x\e^{- x}$$ et on note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Partie A

1. Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous.
   $\quad$
2. Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0; +\infty[$ par $$F(x) = (-x-1)\e^{- x}$$
   Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B

Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d’équation $y = ax$ et $M$ le point d’intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathscr{C}_f$. On note $x_M$ l’abscisse du point $M$.
On note $\mathscr{H}(a)$ l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c’est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathscr{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$.
Le but de cette partie est d’établir l’existence et l’unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathscr{H}(a) = 0,5$ puis d’étudier un algorithme.

1. Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathscr{C}_f$ ont un unique point d’intersection $M$ distinct de l’origine.
   $\quad$

On admet dans la suite de l’exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = -\ln a$ et que la courbe $\mathscr{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l’intervalle $[0;-\ln (a)]$.

2. Montrer que $\mathscr{H}(a) = a \ln (a)-\dfrac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1-a$.
   $\quad$
3. Soit la fonction $\mathscr{H}$ définie sur $]0;1]$ par $\mathscr{H}(x) = x \ln (x)-\dfrac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1-x$.
   On admet que $\mathscr{H}$ est dérivable sur $]0;1]$ et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.
   
   Justifier qu’il existe un unique réel $\alpha \in ]0;1[$ tel que $\mathscr{H}(\alpha) = 0,5$.
   $\quad$
4. On considère l’algorithme présenté ci-dessous.
   VARIABLES :
   $\quad$ $A$, $B$ et $C$ sont des nombres ;
   $\quad$& $p$ est un entier naturel.
   INITIALISATION :
   $\quad$ Demander la valeur de $p$
   $\quad$ $A$ prend la valeur $0$
   $\quad$ $B$ prend la valeur $1$
   TRAITEMENT :
   $\quad$ Tant que $B-A > 10^{-p}$
   $\qquad$ $C$ prend la valeur $(A + B)/2$
   $\qquad$ Si $\mathscr{H}(C) > 0,5$
   $\qquad \quad$ Alors $A$ prend la valeur de $C$
   $\qquad \quad$ Sinon $B$ prend la valeur de $C$
   $\qquad$ Fin de la boucle Si
   $\quad$ Fin de la boucle Tant que
   SORTIE :
   $\quad$ Afficher $A$ et $B$.
   $\quad$
   Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ?
   $\quad$
5. Donner un encadrement d’amplitude $0,01$ de $\alpha$.
   $\quad$

Exercice 2    3 points

Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Les deux questions sont indépendantes l’une de l’autre.

1. La durée de vie $T$ (exprimée en années) d’un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$.
   On sait qu’un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans.
   La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu’il a déjà fonctionné trois ans est d’environ $0,39$ à $0,01$ près.
   $\quad$
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal $\Ouv$.
   L’équation $z^3-3z^2+3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral.
   $\quad$

Exercice 3    4 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Des étudiants d’une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme.

Partie A

Sur les $34$ sujets de l’examen déjà posés, $22$ portaient sur le thème A.
Peut-on rejeter au seuil de $95\%$ l’affirmation suivante : “il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l’examen”?
$\quad$

Partie B

Le thème A reste pour beaucoup d’étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème.
Lors de l’examen, on a constaté que s’il y a un exercice portant sur le thème A :

• $30\%$ des étudiants n’ayant pas suivi le stage ne traitent pas l’exercice;
• $\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l’ont traité.

On sait de plus que $20\%$ des étudiants participent au stage.
Lors des résultats de l’examen, un étudiant s’exclame : “Je n’ai pas du tout traité le thème A”.
Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près.
$\quad$

Partie C

On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d’espérance $\mu = 225$ et d’écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$.
La probabilité qu’un étudiant finisse son examen en moins de $235$ minutes est de $0,98$.
Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près.
$\bigg($ On pourra, par exemple, introduire la variable aléatoire $Z = \dfrac{T-225}{\sigma}\bigg)$.
$\quad$

Exercice 4    3 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$\begin{cases} u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}\text{ pour tout entier naturel }n \pg 0\end{cases}$$

On obtient à l’aide d’un tableur les premiers termes de cette suite:

Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O;I,J,K)$.
On considère les points $$A(-1;-1;0),B(6;-5;1),C(1;2;-2)\text{ et }S(13;37;54)$$

1. a. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
   $\quad$
   b. Prouver que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   $\quad$
   c. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
   $\quad$
2. a. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
   $\quad$
   b. Démontrer que la valeur exacte de l’aire du triangle $ABC$ est, en unités d’aire, $\dfrac{\sqrt{1~122}}{2}$.
   $\quad$
3. a. Prouver que les points $A, B, C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
   b. La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan $(ABC)$ passant par le point $S$ coupe le plan $(ABC)$ en un point noté $H$.
   Déterminer les coordonnées du point $H$.
   $\quad$
4. Déterminer le volume du tétraèdre $SABC$.
   On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :
   $$\dfrac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur} }{3}$$
   $\quad$