TS – Asie – Juin 2014

Asie – Juin 2014

Bac S – Mathématiques – Correction

Vous trouverez l’énoncé de ce sujet ici.

Exercice 1

Question 1

La droite $\mathscr{D}_1$ passe par le point $A(1;-1;1)$ et a comme vecteur directeur $\vec {u}(2;-1;1)$

Si on regarde les systèmes proposés, les vecteurs associés aux systèmes a. et d. ne sont pas colinéaires à $\vec{u}$.

Si on prend le système b. avec $t=1$ alors $x=1$ mais $y=0$.

Ce ne peut donc être que le système d.

Vérifions que les coordonnées de $A$ vérifient le système.

Si on prend $t=-1$ alors : $x=1$, $y=-1$ et $z=-1$. Ce qu’on voulait.

Réponse c

$~$

Question 2

Un vecteur directeur de $\mathscr{D}_2$ est $\vec{v}(1;-1;-2)$.
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;1;-1)$.

Calculons $\vec{n}.\vec{u} = 2 – 1 + 2 = 3$. On peut donc rejeter les propositions a. et b.

La droite et le plans sont sécants.

Regardons si $E$ appartient au plan et à la droite.

Pour $\mathscr{P}$ : $\dfrac{2}{3} – \dfrac{7}{3} – \dfrac{10}{3} + 5 = -5 + 5 = 0$.
Pour $\mathscr{D}$ : Si $t=-\dfrac{2}{3}$ alors $x=\dfrac{1}{3}$, $y=-\dfrac{7}{3}$ et $z=\dfrac{10}{3}$.

Réponse c

$~$

Question 3

On a $\vec{AB}(0;2;2)$ et $\vec{AC}(-1;4;2)$. Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires.
$\vec{n}.\vec{AB} = 0+2-2 = 0$ $\quad$ et $\quad$ $\vec{n}.\vec{AC} = -2+4-2 = 0$.

Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires. Les $2$ plans sont donc parallèles.

Regardons si $A$ appartient à $\mathscr{P}$ : $2 – 1 + 1 + 5 = 7 \ne 0$.

Donc les plans sont strictement parallèles.
Réponse d

$~$

Question 4

$\vec{AB}.\vec{AC} = 0+8+4 =12= AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$

Or $AB = \sqrt{8}$ et $AC = \sqrt{21}$

Donc $\cos \widehat{BAC} = \dfrac{12}{\sqrt{21 \times 8}} = \dfrac{\sqrt{42}}{7}$.

Par conséquent $\widehat{BAC} \approx 22,2°$

Réponse a

$~$

Exercice 2

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $Z$ correspond au changement de variable $\dfrac{X – µ}{\sigma}$.
    Elle suit donc la loi normale centrée réduite.
    $~$
  2. b. Par définition $P(X \le µ) = 0,5$
    $~$
  3.  $P(37,9 \le X \le 53,1) =  P(µ-2\sigma \le X \le µ + 2\sigma) \approx 0,95$
    $~$

Partie B

  1. a. On sait que $P_M(S) = 0,9$ et $P(M) = 0,01$
    Par conséquent :
    $$\begin{align} P_M(S) &= \dfrac{P(M \cap S)}{P(M)} \\\\
    P(M \cap S) &= P_M(S) \times P(M) \\\\
    &= 0,9 \times 0,01 \\\\
    & = 0,009
    \end{align}$$
    $~$
    b. On calcule donc :
    $$P_S(M) = \dfrac{P(S \cap M)}{P(S)} =  \dfrac{0,009}{0,3} = 0,03$$
  2. a. $P(H) = P(X > \alpha) = 1 – P(X \le \alpha) $ $= 1 – 0,995 = 0,005$
    $~$
    b. On veut donc calculer : $ P_\bar{H}(M) = \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})}$
    Or $P_H(M) = \dfrac{P(H \cap M)}{P(H)}$ soit $P(H \cap M) = 0,6 \times 0,005 = 0,003$.
    Par conséquent, d’après la formule des probabilités totales, on a :
    $$\begin{align} P(\bar{H} \cap M) + P(H \cap M) &= P(M) \\\\
    \Leftrightarrow P(\bar{H} \cap M) & = 0,01 – 0,003 \\\\
    &= 0,007
    \end{align}$$
    On obtient donc :
    $$\begin{align} P_\bar{H}(M) &= \dfrac{P(\bar{H} \cap M)}{P(\bar{H})} \\\\
    & = \dfrac{0,007}{0,995} \\\\
    & \approx 0,007
    \end{align}$$

Partie C

  1. $n = 1000 \ge 30$, $np =  1000 \times 0,01 = 10 \ge 5$ et $n(1-p) = 990 \ge 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{1000}& = \left[0,01 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{1000}};0,01 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,01 \times 0,99}}{\sqrt{1000}} \right] \\\\
    &\approx [0,003;0,017]
    \end{align}$$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{14}{1000} = 0,014 \in I_{1000}$.
    On ne peut donc pas dire que le gêne a une influence sur la maladie.

$~$

Exercice 3

  1. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x) = \text{e}^{2x} + 2(x-1)\text{e}^{2x}-1 = (2x – 1)\text{e}^{2x} – 1$
    $f'(0) = -1 – 1 = -2$
    $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (2x-1) = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^{2x} =+ \infty$
    Donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) =+ \infty$
    $~$
  2. $f\prime \prime(x)=2\text{e}^{2x} + 2(2x-1)\text{e}^{2x} $ $= 4x\text{e}^{2x}$.
    $~$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout $x \ge 0$ on $f\prime \prime (x) \ge 0$.
    Cela signifie donc que la fonction est $f’$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    De plus $f'(0) = -1 – 1 = -2$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) = \infty$. $0\in]-2;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire des valeurs intermédiaires), l’équation $f'(x) = 0$ possède une unique solution $x_0$.
    $~$
  4. a. On en déduit donc que :
    – sur $[0;x_0]$ ,$f'(x) \le 0$ donc $f$ est décroissante
    – sur $[x_0;+\infty[$, $f'(x) \ge 0$ donc $f$ est croissante
    $~$
    $f(0) = -2$. Or $f$ est décroissante sur $[0,x_0]$.
    Par conséquent, pour tout $x\in[0,x_0]$, $f(x) < 0$.
    $~$
    b. $f(2) = \text{e}^{4} – 3 > 0$
    $~$
    Sur l’intervalle $[x_0;+\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante.
    $f(x_0) < 0$ et $f(2) > 0$.
    $0\in [f(x_0);f(2)]$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x) = 0$ admet donc une unique solution sur $[x_0;+\infty[$.
    $~$
    D’après la question précédente, on sait que, pour tout $x \in [0;x_0]$, $f(x) < 0$.
    Par conséquent l’équation $f(x)=0$ ne possède qu’une seule solution sur $\R_+^*$.
    $~$
    La calculatrice nous donne alors $\alpha \approx 1,20$.
    $~$
  5. $~$
    $$\begin{align} I &= \int_0^1 \left(\text{e}^{ax}+\text{e}^{-ax} \right) \text{d}x \\\\
    &= \left[ \dfrac{\text{e}^{ax}}{a} – \dfrac{\text{e}^{-ax}}{a} \right]_0^1 \\\\
    &= \dfrac{\text{e}^{a} – \text{e}^{-a}}{a} \\\\
    &=\dfrac{\text{e}^{1,2}-\text{e}^{-1,2}}{1,2}
    \end{align}$$

$~$

Exercice 4

candidats ayant choisi la spécialité mathématiques

Partie A

  1. Le plus petit nombre premier est $2$.
    Par conséquent $E > 2+1 \ge 2$
    On a $E – p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n = 1$
    Si $p_i$ divise $E$, puisqu’il divise également le produit $p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_n$ il divise alors $1$.
    Ce qui est impossible.
    Il est donc premier avec chacun des nombres $p_1$, $p_2$,…,$p_n$.
    $~$
  2. On en déduit donc que $E$ est un nombre premier différents de tous les $p_i$.
    Ce qui est contraire à l’hypothèse qu’on avait faite.
    L’ensemble des nombres premiers est donc infini.

Partie B

  1. a.
    $k$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
    $M_k$ $3$ $7$ $15$ $31$ $63$ $127$ $255$ $511$ $1023$

    b. Dansle tableau, si $k$ est premier ($2$,$3$,$5$ et $7$) on constate que $M_k$ l’est aussi.

$~$

  1. a. La somme correspond à la somme des termes d’un suite géométrique de premier terme égale à $1$ et de raison $2^p$.
    On a donc :
    $$1+2^p+(2^p)^2+\ldots+(2^p)^{q-1} = \dfrac{1 – (2^p)^q}{1 – 2^p} = \dfrac{(2^p)^q-1}{2^p-1}$$
    $~$
    b. Cela signifie donc que :
    $$(2^p-1)(1+2^p+\ldots+(2^p)^{q-1}) = (2^p)^q-1$$
    On a donc écrit $(2^p)^q-1$ en un produit de facteur dont l’un est $2^p-1$.
    Il est donc divisible par ce nombre.
    $~$
    c. Si $k$ est un entier supérieur ou égal à 2 non premier alors il existe $2$ entiers $p$ et $q$ tels que $k=pq$.
    Par conséquent $M_k = 2^k-1=(2^p)^q-1$ est divisible par $2^p-1$ d’après la question précédente.
    $M_k$ n’est donc pas premier.
    $~$
  2. a. $M_11 = 2^11 – 1 = 2047 = 23 \times 89$
    Il n’est donc pas premier.
    $~$
    b. On a trouvé un nombre premier $k$ pour lequel $M_k$ n’est pas premier. La conjecture est donc fausse.
    $~$

Partie C

  1. $u_{5-2} = u_3 = 37634 = 31 \times 1214 \equiv 0 [31]$
    Le test de Lucas-Lehmer fonctionne pour $M_5$
    $~$
  2. Variables :
    $\quad$ $u$,$M$,$n$ et $i$ sont des entiers naturels.
    Initialisation :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $4$
    Traitement :
    $\quad$ Demander un entier $n \ge 3$
    $\quad$ $M$ prend la valeur $2^n-1$
    $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n-2$ faire
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $u^2-2$
    $\quad$ Fin Pour
    $\quad$ Si $M$ divise $u$ alors afficher “$M$ est un nombre premier”
    $\qquad$ sinon afficher “$M$ n’est pas un nombre premier”

Exercice 4

candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques
  1. Pour tout $x \in [0;1]$, $1+x^n > 0$. Par conséquent sur cet intervalle, $f_n(x) > 0$.
    Par conséquent $I_n$ correspond à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe, délimité par les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.
    Graphiquement, on constate que cette aire devient de plus en plus grande. On peut donc conjecturer que la suite $I_n$ est croissante et tend vers l’aire du carré de côté $1$ soit $1$ u.a.
    $\quad$
  2. $\begin{align*}
    I_1 &= \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\mathrm{d}x \\\\
    & = \left[\ln(1+x)\right]_0^1 \\\\
    & = \ln 2
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\begin{align*} 0 \le x \le 1 & \Leftrightarrow 0 \le x^n \le 1 \\\\
    & \Leftrightarrow 1 \le 1 + x^n \le 2 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{1+x^n} \le 1 \\\\
    \end{align*}$
    On a donc $\dfrac{1}{1 + x^n} \le 1$
    $\quad$
    b. Puisque sur $[0;1]$ on a $f_n(x) \le 1$ alors on a :
    $\displaystyle \int_0^1 f_n(x)\mathrm(d)x \le \int_0^1 1 \mathrm{d}x$
    $\Leftrightarrow I_n \le \left[x\right]_0^1$
    $\Leftrightarrow I_n \le 1$
    $\quad$
  4. $\left(1-x^n\right)\left(1+x^n\right) = 1 – \left(x^n\right)^2$.
    Or $0 \le x  \le 1$ par conséquent $0 \le x^n \le 1$ d’où $0 \le \left(x^n\right)^2 \le 1$ et $0 \le 1 – \left(x^n\right)^2 \le 1$.
    Donc $\left(1-x^n\right)\left(1+x^n\right) \le 1$ soit $1-x^n \le \dfrac{1}{1+x^n}$
    $\quad$
  5. $\begin{align*} \displaystyle \int_0^n \left(1-x^n\right)\mathrm{d}x &= \left[x – \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 \\\\
    & = 1 – \dfrac{1}{n+1} – 0\\\\
    & = \dfrac{n}{n+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  6. On a donc, puisque $1-x^n \le 0$ sur $[0;1]$, $\displaystyle \int_0^1 (1-x^n)\mathrm{d}x \le I_n \le 1$
    Soit $\dfrac{n}{n+1} \le I_n \le 1$.
    Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$ d’après la limite des termes de plus haut degré.
    Par conséquent, d’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 1$.
    $\quad$
  7. a. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    k & x & I \\\\
    \hline
    0&0&0,2 \\\\
    \hline
    1&0,2&0,392 \\\\
    \hline
    2&0,4& 0,565 \\\\
    \hline
    3&0,6&0,712\\\\
    \hline
    4&0,8&0,834\\\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On majore, dans cet algorithme, l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$ par la somme des aires des rectangles de dimension $\dfrac{1}{p}$ et $f\left(\dfrac{k}{p}\right)$.
    Quand on fait tendre $p$ vers $+\infty$, la somme des aires des rectangles converge vers $I_n$.