Bac S – Asie – Juin 2017

Métropole – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : étude d’un cas particulier

  1. La fonction $C$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme composée et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} C'(t) &=12\left(-\left(-\dfrac{7}{80}\right)\e^{-\frac{7}{80}t}\right) \\
    &=\dfrac{21}{20}\e^{-\frac{7}{80}t}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive, on a $C'(t)>0$ pour tout réel $t$ positif.
    La fonction $C$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{7}{80}t=-\infty \\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{7}{80}t}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=12\neq 15$
    Le traitement de ce patient n’est donc pas efficace.
    $\quad$

Partie B : étude de fonctions

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme composée, sommet et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=105\times \dfrac{-x\times\left(-\dfrac{3}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}\right)-\left(1-\e^{-\frac{3}{40}x}\right)}{x^2} \\
    &=105\times \dfrac{\dfrac{3x}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}+\e^{-\frac{3}{40}x}-1}{x^2} \\
    &=\dfrac{105g(x)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. D’après le tableau de variation de la fonction $g$ on sait que $g(x)\pp 0$ pour tout réel $x$ positif.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)\pp 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;80]$.
    $f(1)=105\left(1-\e^{-\frac{3}{40}}\right)\approx 7,59 >5,9$
    $f(80)=\dfrac{105}{80}\left(1-\e^{-6}\right) \approx 1,31<5,9$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=5,9$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;80]$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 8,1$
    $\quad$

Partie C : détermination d’un traitement adéquat

  1. a. $C(6)=\dfrac{105}{a}\left(1-\e^{-\frac{3a}{40}}\right)=f(a)$
    $\quad$
    b. D’après la question B.3. on en déduit que $a\approx 8,1$ l.m$^{-1}$.
    $\quad$
  2. On a donc $C(t)=\dfrac{d}{8,1}\left(1-\e^{-\frac{8,1}{80}t}\right)$.
    $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{8,1}{80}t=-\infty \\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{8,1}{80}t}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=\dfrac{d}{8,1}$
    On veut que le plateau soit égal à $15$
    $\ssi \dfrac{d}{8,1}=15$
    $\ssi 121,5$ µmol.h$^{-1}$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. On peut écrire dans la cellule $B3$ la formule $=A3/(2*A2+4)*B2$
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que $u_n=0,5^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    b. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$, $v_0=1$ et $0,5^0=1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $v_n=0,5^n$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=(n+2)u_{n+1} \\
    &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2n+4}u_n \\
    &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2(n+2)}u_n\\
    &=\dfrac{n+1}{2}u_n\\
    &=0,5v_n \\
    &=0,5^{n+1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=0,5^n$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{v_n}{n+1}=\dfrac{0,5^n}{n+1}$
    $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n=0$.
    De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
    Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On appelle :
    $\bullet$ $T$ l’événement “le dé choisi est truqué”;
    $\bullet$ $S$ l’événement “on obtient $6$”.
    On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(T\cap S)+p\left(\conj{T}\cap S\right) \\
    &=0,5\times 0,5+0,5\times \dfrac{1}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S(T)&=\dfrac{p(T\cap S)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,5}{\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{3}{4}\\
    &\neq \dfrac{2}{3}
    \end{align*}$
    Affirmation 1 fausse.
    $\quad$
  2. On a $z_M=2\e^{-\ic \frac{\pi}{3}}=1-\ic\sqrt{3}$
    $\begin{align*} z_N&=\dfrac{3-\ic}{2+\ic} \\
    &=\dfrac{(3-\ic)(2-\ic)}{2^2+1^2} \\
    &=\dfrac{5-5\ic}{5}\\
    &=1-\ic
    \end{align*}$
    L’affixe du vecteur $\vect{MN}$ est donc :
    $\begin{align*} z_{\vect{MN}}&=z_n-z_M\\
    &=1-\ic-\left(1-\ic\sqrt{3}\right) \\
    &=\left(\sqrt{3}-1\right)\ic
    \end{align*}$
    Le vecteur $\vect{MN}$ est donc colinéaire à un vecteur directeur de l’axe des ordonnées.
    Affirmation 2 vraie.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(1;0;2)$.
    $\vect{AB}(2;-1;-1)$ et $\vect{AC}(6;0;-3)$
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont clairement pas colinéaires.
    $\vec{u}.\vect{AB}=2+0-2=0$
    $\vect{u}.\vect{AC}=6+0-6=0$
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    La droite $d$ est ainsi orthogonale au plan $(ABC)$.
    Affirmation 3 vraie.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vec{u}(1;0;2)$ dirige la droite $d$ et le vecteur $\vec{v}(2;1;3)$ dirige la droite $\Delta$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Donc les droites $d$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
    Regardons si les droites sont sécantes.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\end{cases} \quad ,k\in\R$.
    On veut résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 1+t=1+2k\\2=4+k\\3+2t=1+3k\end{cases} &\ssi \begin{cases} t=2k\\k=-2\\2+2t=3k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=-2\\t=-4\\2-8=-6 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=-2\\t=-4\\-6=-6\end{cases}\end{align*}$
    Les deux droites sont donc sécantes en $D(-3;2;-5)$.
    Elles sont par conséquent coplanaires.
    Affirmation 4 fausse.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : valeur exacte de l’intégrale $\boldsymbol{I}$

  1. $I$ est l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{1+x}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \displaystyle I&=\int_0^1\dfrac{1}{1+x}\dx \\
    &=\big[\ln(1+x)\big]_0^1 \\
    &=\ln(2)-\ln(1) \\
    &=\ln(2)
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B : estimation de la valeur de $J$

  1. Variables
    $\quad$ $n,c,f,i,x,y$ sont des nombres
    Traitement
    $\quad$ Lire la valeur de $n$
    $\quad$ $c$ prend la valeur $0$
    $\quad$ pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
    $\qquad$ $x$ prend une valeur aléatoire entre $0$ et $1$
    $\qquad$ $y$ prend la valeur une valeur aléatoire entre $0$ et $1$
    $\qquad$ Si $\dfrac{1}{1+x^2}\pg y$ alors
    $\qquad$ $\quad$ $c$ prend la valeur $c+1$
    $\qquad$ Fin si
    $\quad$ Fin pour
    $\quad$ $f$ prend la valeur $\dfrac{c}{n}$
    Sortie
    $\quad$ Afficher $f$
    $\quad$
  2. On a $n=1~000 \pg 30$ et $f=0,781$ donc $nf=781 \pg 5$ et $n(1-f)=219\pg 5$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$, est donc :
    $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,781-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,781+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,749;0,813]
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    Donc son amplitude est $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc résoudre :
    $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,02 \ssi \sqrt{n}=100 \ssi n=10~000$
    $\quad$

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Question préliminaire

$\begin{align*} P(T>a)&=\displaystyle 1-P(\pp a) \\
&1-\int_0^a \lambda\e^{-\lambda t}\dt \\
&=1-\left[-\e^{-\lambda t}\right]_0^a \\
&=1+\e^{-\lambda a}-1\\
&=\e^{-\lambda a}
\end{align*}$

Partie A : étude d’un exemple

  1. On veut calculer $P(T\pg 180)=\e^{-\frac{180}{2~800}}$ $=\e^{-\frac{9}{140}}$ $\approx 0,938$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $P_{(T\pg 180)}(T \pg 180+180) = P(T\pg 180)$ $\approx 0,938$ car la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
    $\quad$

Partie B : contrôle de la durée de vie moyenne

On a $n=400 \pg 30$ et $p=0,94$ donc $np=376 \pg 5$ et $n(1-p)=24 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,94-1,96\sqrt{\dfrac{0,94\times 0,06}{400}};0,94+1,96\sqrt{\dfrac{0,94\times 0,06}{400}}\right] \\
&\approx [0,916;0,964]
\end{align*}$
$32$ lampes sont en panne; cela signifie donc que $368$ ont une durée de vie supérieure à $180$ heures.
La fréquence observée est donc $f=\dfrac{368}{400}=0,92 \in I_{400}$
Ces tests ne remettent donc pas, au risque de $5\%$, la proportion annoncée par le fabricant.
$\quad$

Partie C : dans une salle de spectacle

  1. $P(X>445)=0,5-P(440<X<445) \approx 0,247$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  2. À l’aide de la touche Inverser loi normale de la calculatrice, on trouve la valeur de $a$ telle que $P(X>a)>0,95 \ssi P(X\pp a)<0,05$ et on obtient $a\approx 427,993$.
    On doit donc prévoir un stock d’au moins $500-427=73$ lampes pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à $95\%$.
    $\quad$

 

Ex 5 spé

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : ligne de transmission

  1. a. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$
    Son déterminant est : $1\times (-1)-1\times 1=-1-1=-2\neq 0$
    La matrice $P$ est donc inversible.
    L’inverse de la matrice $P$ est alors :
    $$P^{-1}=\begin{pmatrix}0,5&0,5\\0,5&-0,5\end{pmatrix}$$
    $\quad$
    b. On a $DP^{-1}=\begin{pmatrix}0,5&0,5\\p-0,5&0,5-p\end{pmatrix}$
    Donc $PDP^{-1}=\begin{pmatrix}0,5+p-0,5&0,5+0,5-p\\0,5+0,5-p&0,5-0,5+p\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}p&1-p\\1-p&p\end{pmatrix}$ $=A$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$
    D’après la question précédente, la propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.
    $\begin{align*} A^{n+1}&=AA^n\\
    &=PDP^{-1}PD^nP^{-1}\\
    &=PDD^nP^{-1}\\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $A^n=PDP^{-1}$.
    $\quad$
    d. D’après le logiciel de calcul formel on a :
    $A_n=\begin{pmatrix}p_n\\q_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{(2p-1)^n+1}{2}\\\dfrac{-(2p-1)^n+1}{2}\end{pmatrix}$
    Donc $q_n=\dfrac{1-(2p-1)^n}{2}$
    $\quad$
  2. On a $q_n=\dfrac{1-0,96^n}{2}$
    On veut donc trouver la plus grande valeur de l’entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} \dfrac{1-0,96^n}{2} \pp 0,25 &\ssi 1-0,96^n\pp 0,5 \\
    &-0,96^n \pp -0,5\\
    &0,96^n\pg 0,5 \\
    &n\ln(0,96) \pg \ln(0,5)\\
    &n\pp \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,96)}
    \end{align*}$
    Ainsi $n \pp 16$
    On peut donc aligner au maximum $16$ lignes de transmission.
    $\quad$

Partie B : étude d’un code correcteur, le code de Hamming $\boldsymbol{(7,4)}$

  1. a. $c_1$, $c_2$ et $c_3$ sont des restes de division euclidienne par $2$. Leurs valeurs ne peuvent donc être que $0$ ou $1$.
    $\quad$
    b. $b_2+b_3+b_4=1$. Or $1\equiv 1~~[2]$ donc $c_1=1$
    $b_1+b_3+b_4=2$. Or $2\equiv 0~~[2]$ donc $c_2=0$
    $b_1+b_2+b_4=2$ donc $c_3=0$
    Ainsi la clé de contrôle associée au mot $1001$ est $100$.
    $\quad$
  2. $\bullet$ $c_1$ ne dépend pas de $b_1$ donc la valeur de $c_1$ est inchangée.
    $\bullet$ Si $b_1=0$ alors $b_1$ prend la valeur $1$
    $\quad$ Si $c_2=0$ alors $c_2$ prend la valeur $0+1$ modulo $2$ soit $1$
    $\quad$ Si $c_2=1$ alors $c_2$ prend la valeur $1+1$ modulo $2$ soit $0$
    $\phantom{\bullet$}$ Si $b_1=1$ alors $b_1$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Si $c_2=0$ alors $c_2$ prend la valeur $0-1$ modulo $2$ soit $1$
    $\quad$ Si $c_2=1$ alors $c_2$ prend la valeur $1-1$ modulo $2$ soit $0$
    Dans tous les cas $c_2$ a été modifié.
    $\bullet$ Si $b_1=0$ alors $b_1$ prend la valeur $1$
    $\quad$ Si $c_3=0$ alors $c_3$ prend la valeur $0+1$ modulo $2$ soit $1$
    $\quad$ Si $c_3=1$ alors $c_3$ prend la valeur $1+1$ modulo $2$ soit $0$
    $\phantom{\bullet$}$ Si $b_1=1$ alors $b_1$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Si $c_3=0$ alors $c_3$ prend la valeur $0-1$ modulo $2$ soit $1$
    $\quad$ Si $c_3=1$ alors $c_3$ prend la valeur $1-1$ modulo $2$ soit $0$
    Dans tous les cas $c_3$ a été modifié.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &b_1&b_2&b_3&b_4&c_1&c_2&c_3&\text{Aucun}\\
    \hline
    c_1&J&F&F&F&F&J&J&J\\
    \hline
    c_2&F&J&F&F&J&F&J&J\\
    \hline
    c_3&F&F&J&F&J&J&F&J\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. Si aucun bit n’est modifié alors :
    $c_1+b_2+b_3+b_4\equiv 0~~[2] \quad (1)$
    $c_2+b_1+b_3+b_4\equiv 0~~[2] \quad (2)$
    $c_3+b_1+b_2+b_4\equiv 0~~[2] \quad (3)$
    En revanche si un bit reçu est erroné alors
    L’une des sommes précédentes est égale à $1$ modulo $2$.
    On est donc en mesure de signaler une erreur.
    Si les sommes $(2)$ et $(3)$ sont égales à $(1)$ modulo $2$ alors l’erreur est sur $b_1$.
    On peut faire les mêmes raisonnements pour $b_2$ et $b_3$.
    Si les trois sommes sont égales à $1$ modulo $2$ alors l’erreur est sur $b_4$.
    Si seule la somme $(1)$ est égale à $1$ modulo $2$ alors l’erreur est sur $c_1$.
    On peut faire un raisonnement similaire pour $c_2$ et $c_3$.
    Dans tous les cas on peut diagnostiquer l’erreur et la corriger.
    $\quad$
  5. $A=0100010$
    Alors $c_1+b_2+b_3+b_4\equiv 1~~[2]$
    $c_2+b_1+b_3+b_4\equiv 1~~[2]$
    $c_3+b_1+b_2+b_4\equiv 1~~[2]$
    L’erreur porte donc sur $b_4$ et le message corrigé est $0101010$
    $\quad$
    $B=1101001$
    Alors $c_1+b_2+b_3+b_4\equiv 0~~[2]$
    $c_2+b_1+b_3+b_4\equiv 0~~[2]$
    $c_3+b_1+b_2+b_4\equiv 0~~[2]$
    Le message ne comporte pas d’erreur de transmission.

Énoncé obl

Télécharger (PDF, 151KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.

 

Énoncé spé

Télécharger (PDF, 105KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.