Exercice 1

Partie A : étude d’un cas particulier

1. La fonction $C$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme composée et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} C'(t) &=12\left(-\left(-\dfrac{7}{80}\right)\e^{-\frac{7}{80}t}\right) \\
   &=\dfrac{21}{20}\e^{-\frac{7}{80}t}
   \end{align*}$
   La fonction exponentielle étant strictement positive, on a $C'(t)>0$ pour tout réel $t$ positif.
   La fonction $C$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{7}{80}t=-\infty \\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{7}{80}t}=0$
   Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=12\neq 15$
   Le traitement de ce patient n’est donc pas efficace.
   $\quad$

Partie B : étude de fonctions

1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme composée, sommet et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
   $\begin{align*} f'(x)&=105\times \dfrac{-x\times\left(-\dfrac{3}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}\right)-\left(1-\e^{-\frac{3}{40}x}\right)}{x^2} \\
   &=105\times \dfrac{\dfrac{3x}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}+\e^{-\frac{3}{40}x}-1}{x^2} \\
   &=\dfrac{105g(x)}{x^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. D’après le tableau de variation de la fonction $g$ on sait que $g(x)\pp 0$ pour tout réel $x$ positif.
   Par conséquent, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)\pp 0$.
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
   $\quad$
3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;80]$.
   $f(1)=105\left(1-\e^{-\frac{3}{40}}\right)\approx 7,59 >5,9$
   $f(80)=\dfrac{105}{80}\left(1-\e^{-6}\right) \approx 1,31<5,9$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=5,9$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;80]$.
   D’après la calculatrice $\alpha \approx 8,1$
   $\quad$

Partie C : détermination d’un traitement adéquat

1. a. $C(6)=\dfrac{105}{a}\left(1-\e^{-\frac{3a}{40}}\right)=f(a)$
   $\quad$
   b. D’après la question B.3. on en déduit que $a\approx 8,1$ l.m$^{-1}$.
   $\quad$
2. On a donc $C(t)=\dfrac{d}{8,1}\left(1-\e^{-\frac{8,1}{80}t}\right)$.
   $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{8,1}{80}t=-\infty \\ \lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty}\e^{-\frac{8,1}{80}t}=0$
   Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t)=\dfrac{d}{8,1}$
   On veut que le plateau soit égal à $15$
   $\ssi \dfrac{d}{8,1}=15$
   $\ssi d= 121,5$ µmol.h$^{-1}$.
   $\quad$

 

Exercice 2

1. On peut écrire dans la cellule $B3$ la formule $=A3/(2*A2+4)*B2$
   $\quad$
2. a. Il semblerait que $u_n=0,5^n$ pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
   b. Montrons cette propriété par récurrence.
   Initialisation : Si $n=0$, $v_0=1$ et $0,5^0=1$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $v_n=0,5^n$
   $\begin{align*} v_{n+1}&=(n+2)u_{n+1} \\
   &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2n+4}u_n \\
   &=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2(n+2)}u_n\\
   &=\dfrac{n+1}{2}u_n\\
   &=0,5v_n \\
   &=0,5^{n+1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=0,5^n$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{v_n}{n+1}=\dfrac{0,5^n}{n+1}$
   $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n=0$.
   De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
   Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. On appelle :
   $\bullet$ $T$ l’événement “le dé choisi est truqué”;
   $\bullet$ $S$ l’événement “on obtient $6$”.
   On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
   
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(S)&=p(T\cap S)+p\left(\conj{T}\cap S\right) \\
   &=0,5\times 0,5+0,5\times \dfrac{1}{6} \\
   &=\dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   On veut calculer :
   $\begin{align*} p_S(T)&=\dfrac{p(T\cap S)}{p(S)} \\
   &=\dfrac{0,5\times 0,5}{\dfrac{1}{3}} \\
   &=\dfrac{3}{4}\\
   &\neq \dfrac{2}{3}
   \end{align*}$
   Affirmation 1 fausse.
   $\quad$
2. On a $z_M=2\e^{-\ic \frac{\pi}{3}}=1-\ic\sqrt{3}$
   $\begin{align*} z_N&=\dfrac{3-\ic}{2+\ic} \\
   &=\dfrac{(3-\ic)(2-\ic)}{2^2+1^2} \\
   &=\dfrac{5-5\ic}{5}\\
   &=1-\ic
   \end{align*}$
   L’affixe du vecteur $\vect{MN}$ est donc :
   $\begin{align*} z_{\vect{MN}}&=z_n-z_M\\
   &=1-\ic-\left(1-\ic\sqrt{3}\right) \\
   &=\left(\sqrt{3}-1\right)\ic
   \end{align*}$
   Le vecteur $\vect{MN}$ est donc colinéaire à un vecteur directeur de l’axe des ordonnées.
   Affirmation 2 vraie.
   $\quad$
3. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(1;0;2)$.
   $\vect{AB}(2;-1;-1)$ et $\vect{AC}(6;0;-3)$
   Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont clairement pas colinéaires.
   $\vec{u}.\vect{AB}=2+0-2=0$
   $\vect{u}.\vect{AC}=6+0-6=0$
   Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
   La droite $d$ est ainsi orthogonale au plan $(ABC)$.
   Affirmation 3 vraie.
   $\quad$
4. Le vecteur $\vec{u}(1;0;2)$ dirige la droite $d$ et le vecteur $\vec{v}(2;1;3)$ dirige la droite $\Delta$.
   Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Donc les droites $d$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
   Regardons si les droites sont sécantes.
   Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $\begin{cases} x=1+2k\\y=4+k\\z=1+3k\end{cases} \quad ,k\in\R$.
   On veut résoudre le système :
   $\begin{align*} \begin{cases} 1+t=1+2k\\2=4+k\\3+2t=1+3k\end{cases} &\ssi \begin{cases} t=2k\\k=-2\\2+2t=3k\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} k=-2\\t=-4\\2-8=-6 \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} k=-2\\t=-4\\-6=-6\end{cases}\end{align*}$
   Les deux droites sont donc sécantes en $D(-3;2;-5)$.
   Elles sont par conséquent coplanaires.
   Affirmation 4 fausse.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A : valeur exacte de l’intégrale $\boldsymbol{I}$

1. $I$ est l’aire du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{1+x}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} \displaystyle I&=\int_0^1\dfrac{1}{1+x}\dx \\
   &=\big[\ln(1+x)\big]_0^1 \\
   &=\ln(2)-\ln(1) \\
   &=\ln(2)
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B : estimation de la valeur de $J$

1. Variables
   $\quad$ $n,c,f,i,x,y$ sont des nombres
   Traitement
   $\quad$ Lire la valeur de $n$
   $\quad$ $c$ prend la valeur $0$
   $\quad$ pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
   $\qquad$ $x$ prend une valeur aléatoire entre $0$ et $1$
   $\qquad$ $y$ prend la valeur une valeur aléatoire entre $0$ et $1$
   $\qquad$ Si $\dfrac{1}{1+x^2}\pg y$ alors
   $\qquad$ $\quad$ $c$ prend la valeur $c+1$
   $\qquad$ Fin si
   $\quad$ Fin pour
   $\quad$ $f$ prend la valeur $\dfrac{c}{n}$
   Sortie
   $\quad$ Afficher $f$
   $\quad$
2. On a $n=1~000 \pg 30$ et $f=0,781$ donc $nf=781 \pg 5$ et $n(1-f)=219\pg 5$.
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$, est donc :
   $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,781-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,781+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
   &\approx [0,749;0,813]
   \end{align*}$
   $\quad$
3. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
   Donc son amplitude est $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
   On veut donc résoudre :
   $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,02 \ssi \sqrt{n}=100 \ssi n=10~000$
   $\quad$

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Question préliminaire

$\begin{align*} P(T>a)&=\displaystyle 1-P(\pp a) \\
&1-\int_0^a \lambda\e^{-\lambda t}\dt \\
&=1-\left[-\e^{-\lambda t}\right]_0^a \\
&=1+\e^{-\lambda a}-1\\
&=\e^{-\lambda a}
\end{align*}$

Partie A : étude d’un exemple

1. On veut calculer $P(T\pg 180)=\e^{-\frac{180}{2~800}}$ $=\e^{-\frac{9}{140}}$ $\approx 0,938$
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $P_{(T\pg 180)}(T \pg 180+180) = P(T\pg 180)$ $\approx 0,938$ car la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
   $\quad$

Partie B : contrôle de la durée de vie moyenne

On a $n=400 \pg 30$ et $p=0,94$ donc $np=376 \pg 5$ et $n(1-p)=24 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,94-1,96\sqrt{\dfrac{0,94\times 0,06}{400}};0,94+1,96\sqrt{\dfrac{0,94\times 0,06}{400}}\right] \\
&\approx [0,916;0,964]
\end{align*}$
$32$ lampes sont en panne; cela signifie donc que $368$ ont une durée de vie supérieure à $180$ heures.
La fréquence observée est donc $f=\dfrac{368}{400}=0,92 \in I_{400}$
Ces tests ne remettent donc pas, au risque de $5\%$, la proportion annoncée par le fabricant.
$\quad$

Partie C : dans une salle de spectacle

1. $P(X>445)=0,5-P(440<X<445) \approx 0,247$ d’après la calculatrice.
   $\quad$
2. À l’aide de la touche Inverser loi normale de la calculatrice, on trouve la valeur de $a$ telle que $P(X>a)>0,95 \ssi P(X\pp a)<0,05$ et on obtient $a\approx 427,993$.
   On doit donc prévoir un stock d’au moins $500-427=73$ lampes pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à $95\%$.
   $\quad$

 

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : ligne de transmission

1. a. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$
   Son déterminant est : $1\times (-1)-1\times 1=-1-1=-2\neq 0$
   La matrice $P$ est donc inversible.
   L’inverse de la matrice $P$ est alors :
   $$P^{-1}=\begin{pmatrix}0,5&0,5\\0,5&-0,5\end{pmatrix}$$
   $\quad$
   b. On a $DP^{-1}=\begin{pmatrix}0,5&0,5\\p-0,5&0,5-p\end{pmatrix}$
   Donc $PDP^{-1}=\begin{pmatrix}0,5+p-0,5&0,5+0,5-p\\0,5+0,5-p&0,5-0,5+p\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}p&1-p\\1-p&p\end{pmatrix}$ $=A$
   $\quad$
   c. Initialisation : Si $n=1$
   D’après la question précédente, la propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PD^nP^{-1}$.
   $\begin{align*} A^{n+1}&=AA^n\\
   &=PDP^{-1}PD^nP^{-1}\\
   &=PDD^nP^{-1}\\
   &=PD^{n+1}P^{-1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $A^n=PDP^{-1}$.
   $\quad$
   d. D’après le logiciel de calcul formel on a :
   $A_n=\begin{pmatrix}p_n\\q_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{(2p-1)^n+1}{2}\\\dfrac{-(2p-1)^n+1}{2}\end{pmatrix}$
   Donc $q_n=\dfrac{1-(2p-1)^n}{2}$
   $\quad$
2. On a $q_n=\dfrac{1-0,96^n}{2}$
   On veut donc trouver la plus grande valeur de l’entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} \dfrac{1-0,96^n}{2} \pp 0,25 &\ssi 1-0,96^n\pp 0,5 \\
   &-0,96^n \pp -0,5\\
   &0,96^n\pg 0,5 \\
   &n\ln(0,96) \pg \ln(0,5)\\
   &n\pp \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,96)}
   \end{align*}$
   Ainsi $n \pp 16$
   On peut donc aligner au maximum $16$ lignes de transmission.
   $\quad$

Partie B : étude d’un code correcteur, le code de Hamming $\boldsymbol{(7,4)}$

1. a. $c_1$, $c_2$ et $c_3$ sont des restes de division euclidienne par $2$. Leurs valeurs ne peuvent donc être que $0$ ou $1$.
   $\quad$
   b. $b_2+b_3+b_4=1$. Or $1\equiv 1~~[2]$ donc $c_1=1$
   $b_1+b_3+b_4=2$. Or $2\equiv 0~~[2]$ donc $c_2=0$
   $b_1+b_2+b_4=2$ donc $c_3=0$
   Ainsi la clé de contrôle associée au mot $1001$ est $100$.
   $\quad$
2. $\bullet$ $c_1$ ne dépend pas de $b_1$ donc la valeur de $c_1$ est inchangée.
   $\bullet$ Si $b_1=0$ alors $b_1$ prend la valeur $1$
   $\quad$ Si $c_2=0$ alors $c_2$ prend la valeur $0+1$ modulo $2$ soit $1$
   $\quad$ Si $c_2=1$ alors $c_2$ prend la valeur $1+1$ modulo $2$ soit $0$
   $\phantom{\bullet$}$ Si $b_1=1$ alors $b_1$ prend la valeur $0$
   $\quad$ Si $c_2=0$ alors $c_2$ prend la valeur $0-1$ modulo $2$ soit $1$
   $\quad$ Si $c_2=1$ alors $c_2$ prend la valeur $1-1$ modulo $2$ soit $0$
   Dans tous les cas $c_2$ a été modifié.
   $\bullet$ Si $b_1=0$ alors $b_1$ prend la valeur $1$
   $\quad$ Si $c_3=0$ alors $c_3$ prend la valeur $0+1$ modulo $2$ soit $1$
   $\quad$ Si $c_3=1$ alors $c_3$ prend la valeur $1+1$ modulo $2$ soit $0$
   $\phantom{\bullet$}$ Si $b_1=1$ alors $b_1$ prend la valeur $0$
   $\quad$ Si $c_3=0$ alors $c_3$ prend la valeur $0-1$ modulo $2$ soit $1$
   $\quad$ Si $c_3=1$ alors $c_3$ prend la valeur $1-1$ modulo $2$ soit $0$
   Dans tous les cas $c_3$ a été modifié.
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   &b_1&b_2&b_3&b_4&c_1&c_2&c_3&\text{Aucun}\\
   \hline
   c_1&J&F&F&F&F&J&J&J\\
   \hline
   c_2&F&J&F&F&J&F&J&J\\
   \hline
   c_3&F&F&J&F&J&J&F&J\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
4. Si aucun bit n’est modifié alors :
   $c_1+b_2+b_3+b_4\equiv 0~~[2] \quad (1)$
   $c_2+b_1+b_3+b_4\equiv 0~~[2] \quad (2)$
   $c_3+b_1+b_2+b_4\equiv 0~~[2] \quad (3)$
   En revanche si un bit reçu est erroné alors
   L’une des sommes précédentes est égale à $1$ modulo $2$.
   On est donc en mesure de signaler une erreur.
   Si les sommes $(2)$ et $(3)$ sont égales à $(1)$ modulo $2$ alors l’erreur est sur $b_1$.
   On peut faire les mêmes raisonnements pour $b_2$ et $b_3$.
   Si les trois sommes sont égales à $1$ modulo $2$ alors l’erreur est sur $b_4$.
   Si seule la somme $(1)$ est égale à $1$ modulo $2$ alors l’erreur est sur $c_1$.
   On peut faire un raisonnement similaire pour $c_2$ et $c_3$.
   Dans tous les cas on peut diagnostiquer l’erreur et la corriger.
   $\quad$
5. $A=0100010$
   Alors $c_1+b_2+b_3+b_4\equiv 1~~[2]$
   $c_2+b_1+b_3+b_4\equiv 1~~[2]$
   $c_3+b_1+b_2+b_4\equiv 1~~[2]$
   L’erreur porte donc sur $b_4$ et le message corrigé est $0101010$
   $\quad$
   $B=1101001$
   Alors $c_1+b_2+b_3+b_4\equiv 0~~[2]$
   $c_2+b_1+b_3+b_4\equiv 0~~[2]$
   $c_3+b_1+b_2+b_4\equiv 0~~[2]$
   Le message ne comporte pas d’erreur de transmission.

Exercice 1    5 points

Un protocole de traitement d’une maladie, chez l’enfant, comporte une perfusion longue durée d’un médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;+ \infty[$ par : $$C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1-\e^{-\frac{a}{80} t}\right)$$ où
$C$ désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre,
$t$ le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure,
$d$ le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure,
$a$ un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.
Le paramètre $a$ est spécifique à chaque patient.

En médecine, on appelle “plateau” la limite en $+ \infty$ de la fonction $C$.

Partie A : étude d’un cas particulier

La clairance $a$ d’un certain patient vaut $7$, et on choisit un débit $d$ égal à $84$.
Dans cette partie, la fonction $C$ est donc définie sur $[0;+ \infty[$ par : $C(t) = 12\left(1-\e^{-\frac{7}{80} t}\right)$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur $[0;+ \infty[$.
   $\quad$
2. Pour être efficace, le plateau doit être égal à $15$. Le traitement de ce patient est-il efficace ?
   $\quad$

Partie B : étude de fonctions

1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+ \infty[$ par : $f(x) = \dfrac{105}{x} \left(1-\e^{-\frac{3}{40}x}\right)$.
   Démontrer que, pour tout réel $x$ de $]0;+ \infty[$, $f'(x) = \dfrac{105g(x)}{x^2}$, où $g$ est la fonction définie sur $[0;+ \infty[$ par : $g(x) = \dfrac{3x}{40}\e^{-\frac{3}{40}x}\ + \e^{-\frac{3}{40}x}-1$.
   $\quad$
2. On donne le tableau de variation de la fonction $g$ :
   
   En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
   On ne demande pas les limites de la fonction $f$.
   $\quad$
3. Montrer que l’équation $f(x) = 5,9$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;80]$.
   En déduire que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
   Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.
   $\quad$

Partie C : détermination d’un traitement adéquat

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d’être efficace, c’est-à-dire au plateau d’être égal à $15$.
Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance $a$ de ce patient. À cette fin, on règle provisoirement le débit $d$ à $105$, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.
On rappelle que la fonction $C$ est définie sur l’ intervalle $[0;+ \infty[$ par : $C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1-\e^{-\frac{a}{80} t}\right)$.

1. On cherche à déterminer la clairance a d’un patient. Le débit est provisoirement réglé à $105$.
   a. Exprimer en fonction de $a$ la concentration du médicament $6$ heures après le début de la perfusion.
   $\quad$
   b. Au bout de $6$ heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang; elle est égale à $5,9$ micromole par litre.
   Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce patient.
   $\quad$
2. Déterminer la valeur du débit $d$ de la perfusion garantissant l’efficacité du traitement.
   $\quad$

Exercice 2    3 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par: $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right)u_n$.

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier naturel $n$, $v_n=(n+1)u_n$.

1. La feuille de calcul ci-dessous présente les valeurs des premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, arrondies au cent-millième.
   Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $B3$ de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ ?
   
2. a. Conjecturer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   b. Démontrer cette conjecture.
   $\quad$
3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$

Exercice 3    4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. On dispose de deux dés, identiques d’aspect, dont l’un est truqué de sorte que le $6$ apparaît avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$. On prend un des deux dés au hasard, on le lance, et on obtient $6$.
   Affirmation 1 : la probabilité que le dé lancé soit le dé truqué est égale à $\dfrac{2}{3}$.
   $\quad$
2. Dans le plan complexe, on considère les points $M$ et $N$ d’affixes respectives $z_{M} = 2\e^{-\ic\frac{\pi}{3}}$ et $z_{N} = \dfrac{3 -\ic}{2 +\ic}$.
   Affirmation 2 : la droite $(MN)$ est parallèle à l’axe des ordonnées.
   $\quad$

Dans les questions 3. et 4., on se place dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace et l’on considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x =1+ t\\y= 2\\z= 3+2t\end{cases}, t \in \R$.

3. On considère les points $A$, $B$ et $C$ avec $A(-2;2;3)$, $B(0;1;2)$ et $C(4;2;0)$.
   On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
   Affirmation 3 : la droite $d$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
   $\quad$
4. On considère la droite $\Delta$ passant par le point $D(1;4;1)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(2;1;3)$.
   Affirmation 4 : la droite $d$ et la droite $\Delta$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$

Exercice 4    3 points

L’objet du problème est l’étude des intégrales $I$ et $J$ définies par : $$I = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\dx\quad \text{ et }\quad J = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\dx$$

Partie A : valeur exacte de l’intégrale $\boldsymbol{I}$

1. Donner une interprétation géométrique de l’intégrale $I$.
   $\quad$
2. Calculer la valeur exacte de $I$.
   $\quad$

Partie B : estimation de la valeur de $\boldsymbol{J}$

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $g(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$.

On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On a donc : $J = \displaystyle\int_0^1 g(x)\dx$.
Le but de cette partie est d’évaluer l’intégrale $J$ à l’aide de la méthode probabiliste décrite ci-après.
On choisit au hasard un point $M(x;y)$ en tirant de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ au hasard selon la loi uniforme sur $[0;1]$.
On admet que la probabilité $p$ qu’un point tiré de cette manière soit situé sous la courbe $C_g$ est égale à l’intégrale $J$.
En pratique, on initialise un compteur $c$ à $0$, on fixe un entier naturel $n$ et on répète $n$ fois le processus suivant :

• on choisit au hasard et indépendamment deux nombres $x$ et $y$, selon la loi uniforme sur $[0;1]$ ;
• si $M(x;y)$ est au-dessous de la courbe $C_g$ on incrémente le compteur $c$ de $1$.

On admet que $f=\dfrac{c}{n}$ est une valeur approchée de $J$. C’est le principe de la méthode dite de Monte-Carlo.

La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$.
$100$ points ont été placés aléatoirement dans le carré.
Les disques noirs correspondent aux points sous la courbe, les disques blancs aux points au-dessus de la courbe.
Le rapport du nombre de disques noirs par le nombre total de disques donne une estimation de l’aire sous la courbe.

 

1. Recopier et compléter l’algorithme ci-après pour qu’il affiche une valeur approchée de $J$.
   Variables
   $\quad$ $n$, $c$, $f$, $i$, $x$, $y$ sont des nombres
   Traitement
   $\quad$ Lire la valeur de $n$
   $\quad$ $c$ prend la valeur $\ldots\ldots$
   $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $\ldots\ldots$ faire
   $\qquad$ $x$ prend une valeur aléatoire entre $0$ et $1$
   $\qquad$ $y$ prend $\ldots\ldots$
   $\qquad$ Si $\ldots\ldots$ alors
   $\qquad$ $\ldots\ldots$ prend la valeur $\ldots\ldots$
   $\qquad$ Fin si
   $\quad$ Fin pour
   $f$ prend la valeur $\ldots\ldots$
   Sortie
   $\quad$ Afficher $f$
   $\quad$
2. Pour $n = 1~000$, l’algorithme ci-dessus a donné pour résultat : $f = 0,781$.
   Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$, de la valeur exacte de $J$.
   $\quad$
3. Quelle doit-être, au minimum, la valeur de $n$ pour que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$, ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$ ?
   $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Question préliminaire

Soit $T$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ désigne un réel strictement positif.
On rappelle que, pour tout réel $a$ positif, on a : $P( T \pp a) = \displaystyle\int_0^{a}\lambda \e^{-\lambda t}\dt$.
Démontrer que, pour tout réel $a$ positif, $P(T > a) = \e^{-\lambda a}$.

Dans la suite de l’exercice, on considère des lampes à led dont la durée de vie, exprimée en jour, est modélisée par une variable aléatoire $T$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{2~800}$.

Les durées seront données au jour près, et les probabilités au millième près

Partie A : étude d’un exemple

1. Calculer la probabilité qu’une lampe fonctionne au moins $180$ jours.
   $\quad$
2. Sachant qu’une telle lampe a déjà fonctionné $180$ jours, quelle est la probabilité qu’elle fonctionne encore au moins $180$ jours?
   $\quad$

Partie B : contrôle de la durée de vie moyenne

Le fabricant de ces lampes affirme que, dans sa production, la proportion de lampes qui ont une durée de vie supérieure à $180$ heures est de $94\%$.
Un laboratoire indépendant qui doit vérifier cette affirmation fait fonctionner un échantillon aléatoire de $400$ lampes pendant $180$ jours.
On suppose que les lampes tombent en panne indépendamment les unes des autres.
Au bout de ces $180$ jours, $32$ de ces lampes sont en panne.
Au vu des résultats des tests, peut-on remettre en cause, au seuil de $95\%$, la proportion annoncée par le fabricant ?

Partie C : dans une salle de spectacle

Pour éclairer une salle de spectacle, on installe dans le plafond $500$ lampes à led.
On modélise le nombre de lampes fonctionnelles après $1$ an par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 440$ et d’écart-type $\sigma = 7,3$.

1. Calculer $P (X > 445)$, la probabilité que plus de $445$ lampes soient encore fonctionnelles après un an.
   $\quad$
2. Lors de l’installation des lampes dans le plafond, la direction de la salle veut constituer un stock de lampes.
   Quelle doit-être la taille minimale de ce stock pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à $95\%$ ?
   $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes

Un bit est un symbole informatique élémentaire valant soit $0$, soit $1$.

Partie A : ligne de transmission

Une ligne de transmission transporte des bits de données selon le modèle suivant :

• elle transmet le bit de façon correcte avec une probabilité $p$ ;
• elle transmet le bit de façon erronée (en changeant le $1$ en $0$ ou le $0$ en $1$) avec une probabilité $1-p$.

On assemble bout à bout plusieurs lignes de ce type, et on suppose qu’elles introduisent des erreurs de façon indépendante les unes des autres.

On étudie la transmission d’un seul bit, ayant pour valeur $1$ au début de la transmission.
Après avoir traversé $n$ lignes de transmission, on note :

• $p_n$ la probabilité que le bit reçu ait pour valeur $1$ ;
• $q_n$ la probabilité que le bit reçu ait pour valeur $0$.

On a donc $p_0 = 1$ et $q_0 = 0$.
On définit les matrices suivantes :
$$A = \begin{pmatrix}p& 1-p\\1-p&p\end{pmatrix}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n\end{pmatrix} \quad P = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$

On admet que, pour tout entier $n$, on a : $X_{n+1} = AX_n$ et donc, $X_n = A^n X_0$.

1. a. Montrer que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$.
   $\quad$
   b. On pose : $D = \begin{pmatrix} 1&0\\0 & 2p-1\end{pmatrix}$.
   Vérifier que : $A = PDP^{-1}$.
   $\quad$
   c. Montrer que, pour tout entier $n \pg 1$, $$A^n = PD^n P^{-1}.$$
   $\quad$
   d. En vous appuyant sur la copie d’écran d’un logiciel de calcul formel donnée ci-dessous, déterminer l’expression de $q_n$ en fonction de $n$.
   
2. On suppose dans cette question que $p$ vaut $0,98$. On rappelle que le bit avant transmission a pour valeur $1$. On souhaite que la probabilité que le bit reçu ait pour valeur $0$ soit inférieure ou égale à $0,25$. Combien peut-on, au maximum, aligner de telles lignes de transmission ?
   $\quad$

Partie B : étude d’un code correcteur, le code de Hamming $\boldsymbol{(7, 4)}$

On rappelle qu’un bit est un symbole informatique élémentaire valant soit $0$, soit $1$.

On considère un “mot” formé de $4$ bits que l’on note $b_1$, $b_2$, $b_3$ et $b_4$.
Par exemple, pour le mot “$1101$”, on a $b_1 = 1$, $b_2 = 1$, $b_3 = 0$ et $b_4 = 1$.
On ajoute à cette liste une clé de contrôle $c_1c_2c_3$ formée de trois bits :

• $c_1$ est le reste de la division euclidienne de $b_2 + b_3 + b_4$ par $2$ ;
• $c_2$ est le reste de la division euclidienne de $b_1 + b_3 + b_4$ par $2$ ;
• $c_3$ est le reste de la di vision euclidienne de $b_1 + b_2 + b_4$ par $2$.

On appelle alors “message” la suite de $7$ bits formée des $4$ bits du mot et des $3$ bits de contrôle.

1. Préliminaires
   a. Justifier que $c_1$, $c_2$ et $c_3$ ne peuvent prendre comme valeurs que $0$ ou $1$.
   $\quad$
   b. Calculer la clé de contrôle associée au mot $1001$.
   $\quad$
2. Soit $b_1b_2b_3b_4$ un mot de $4$ bits et $c_1c_2c_3$ la clé associée.
   Démontrer que si on change la valeur de $b_1$ et que l’on recalcule la clé, alors :
   $\checkmark$ la valeur de $c_1$ est inchangée ;
   $\checkmark$ la valeur de $c_2$ est modifiée ;
   $\checkmark$ la valeur de $c_3$ est modifiée.
   $\quad$
3. On suppose que, durant la transmission du message, au plus un des $7$ bits a été transmis de façon erronée. À partir des quatre premiers bits du message reçu, on recalcule les $3$ bits de contrôle, et on les compare avec les bits de contrôle reçus.
   Sans justification, recopier et compléter le tableau ci-dessous. La lettre $F$ signifie que le bit de contrôle reçu ne correspond pas au bit de contrôle calculé, et $J$ que ces deux bits sont égaux.
   
4. Justifier rapidement, en vous appuyant sur le tableau, que si un seul bit reçu est erroné, on peut dans tous les cas déterminer lequel, et corriger l’erreur.
   $\quad$
5. Voici deux messages de $7$ bits : $$A = 0100010 \quad \text{et} \quad B = 1101001$$
   On admet que chacun d’eux comporte au plus une erreur de transmission.
   Dire s’ils comportent une erreur, et la corriger le cas échéant.
   $\quad$