Exercice 1

Partie A – Durée d’attente

1. a. La variable aléatoire $D_1$ suit la loi exponentielle de paramètre $0,6$.
   Par conséquent $E\left(D_1\right)=\dfrac{1}{0,6}\approx 1,667$
   Le temps d’attente moyen est d’environ $1,667$ minutes soit environ $1$minute $40,02$ secondes.
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $\begin{align*} P\left(D_1\pp 5\right)&=1-\e^{-0,6\times 5} \\
   &=1-\e^{-3}\\
   &\approx 0,950
   \end{align*}$
   La probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à $5$ minutes est environ $0,950$.
   $\quad$
2. a. La variable aléatoire $D_2$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
   $\begin{align*} P\left(D_2\pp 4\right)=0,798 &\ssi 1-\e^{-4\lambda}=0,798 \\
   &\ssi -\e^{-4\lambda}=0,798-1\\
   &\ssi \e^{-4\lambda}=0,202 \\
   &\ssi -4\lambda = \ln (0,202) \\
   &\ssi \lambda =\dfrac{\ln(0,202)}{-4}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $P\left(D_2\pg 5\right)=\e^{-0,4\times 5} \approx 0,135 > 0,1$.
   On peut donc pas considérer que moins de $10\%$ des clients mobile choisis au hasard attendent plus de $5$ minutes avant de joindre un opérateur.
   $\quad$

Partie B – Obtention d’un opérateur

1. On appelle :
   – $I$ l’événement “L’appel provient d’un client Internet”;
   – $M$ l’événement “l’appel provient d’un client mobile”;
   – $A$ le client a joint un opérateur de l’assistance téléphonique.
   On obtient ainsi l’arbre pondéré suivant :
   
   D’après la formule des probabilités totale, on a :
   $\begin{align*} p(A)&=p(I\cap A)+p(M\cap A) \\
   &=0,7\times 0,95+0,3\times 0,87 \\
   &=0,926
   \end{align*}$
   La probabilité que le client joigne un opérateur est $0,926$.
   $\quad$
2. On a : $p\left(\conj{A}\right)=1-0,926=0,074$
   $\begin{align*} p_{\conj{A}}(M)&=\dfrac{p\left(\conj{A}\cap M\right)} {p\left(\conj{A}\right)} \\
   &=\dfrac{0,3\times 0,13}{0,074}\\
   &\approx 0,527
   \end{align*}$
   et
   $\begin{align*} p_{\conj{A}}(I)&=\dfrac{p\left(\conj{A}\cap I\right)} {p\left(\conj{A}\right)} \\
   &=\dfrac{0,7\times 0,05}{0,074}\\
   &\approx 0,473
   \end{align*}$
   On constate donc que $p_{\conj{A}}(M) > p_{\conj{A}}(I)$.
   Il est donc plus probable que ce soit un client mobile.
   $\quad$

Partie C

On a $n=1~303 \pg 30$ et $p=0,85$ donc $np=1~107,55\pg 5$ et $n(1-p)=195,45\pg 5$

Un intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{1~303}&=\left[0,85-1,96\sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{1~303}};0,85+1,96\sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{1~303}}\right] \\
&\approx [0,830;0,869]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{1~150}{1~303} \notin I_{1~303}$.
Cela remet en cause l’annonce de la société au risque de $5\%$.
Le taux de satisfaction de l’échantillon est cependant supérieur à celui annoncé par la société.
$\quad$

 

Exercice 2

1. a. On considère le triangle rectangle obtenu dans la 3ème figure et on applique le théorème de Pythagore.
   On obtient ainsi :
   $\begin{align*} R^2=h^2+\ell^2 &\ssi \ell^2=R^2-h^2 \\
   &\ell^2=400-h^2
   \end{align*}$.
   L’aire du disque de base est $\mathscr{A}=\pi\ell^2=\pi\left(400-h^2\right)$.
   Ainsi $V(h)=\dfrac{\mathscr{A}h}{3}=\dfrac{\pi\left(400-h^2\right)h}{3}$
   $\quad$
   b. La fonction $V$ est dérivable sur l’intervalle $[0;20]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} V'(h)&=\dfrac{\pi}{3}\left(-2h\times h+\left(400-h^2\right)\right) \\
   &=\dfrac{\pi}{3}\left(-2h^2+400-h^2\right) \\
   &=\dfrac{\pi}{3}\left(-3h^2+400\right)
   \end{align*}$
   Le signe de $V'(h)$ ne dépend que de celui de $-3h^2+400$.
   $\begin{align*} -3h^2+400&=-3\left(h^2-\dfrac{400}{3}\right)\\
   &=-3\left(h-\dfrac{20}{\sqrt{3}}\right)\left(h+\dfrac{20}{\sqrt{3}}\right)\end{align*}$
   Donc $-3h^2+400=0 \ssi h=\dfrac{20}{\sqrt{3}}$ ou $h=-\dfrac{20}{\sqrt{3}}$.
   $h-\dfrac{20}{\sqrt{3}}>0 \ssi h>\dfrac{20}{\sqrt{3}}$
   $h+\dfrac{20}{\sqrt{3}}>0 \ssi h>-\dfrac{20}{\sqrt{3}}$
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   
   La valeur $\dfrac{20}{\sqrt{3}}$ rend le volume maximum.
   Et le volume maximal est :
   $\begin{align*}V_{max}&=V\left(\dfrac{20}{\sqrt{3}}\right) \\
   &\dfrac{\pi}{3}\left(400-\dfrac{400}{3}\right)\times \dfrac{20}{\sqrt{3}} \\
   &=\dfrac{\pi}{3}\times \dfrac{800}{3}\times \dfrac{20}{\sqrt{3}} \\
   &=\dfrac{16~000\pi}{9\sqrt{3}}
   \end{align*} $
   $\quad$
   c. Le rayon du cercle de base est donc, d’après les calculs faits à la question 1.a avec $h=\dfrac{20}{\sqrt{3}}$:
   $\begin{align*} \ell&=\sqrt{400-h^2} \\
   &=\sqrt{400-\dfrac{400}{3}} \\
   &=\sqrt{\dfrac{800}{3}} \\
   &=\dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
   \end{align*}$
   Le périmètre de ce cercle est $P=2\pi\times \dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
   Le secteur angulaire, de la 2ème figure, associé à ce cercle a un angle égale à $2\pi-\alpha$.
   La longueur de cet arc de cercle est donc $R(2\pi-\alpha)$.
   On cherche alors de $\alpha$ telle que :
   $\begin{align*} R(2\pi-\alpha)=2\pi\times \dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}} &\ssi 20(2\pi-\alpha)=2\pi\times \dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
   &\ssi 2\pi-\alpha=\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
   &\ssi \alpha = 2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
   \end{align*}$
   Ainsi une valeur en degré cet angle est :
   $\left(2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\times \dfrac{180}{\pi} \approx 66$°
   $\quad$
2. Si on reprend les calculs précédents sans choisir de valeur pour $R$ on obtient :
   $\ell^2=R^2-h^2$ soit $\ell=\sqrt{R^2-h^2}$
   $h_{max}=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$ donc $\ell=\sqrt{R^2-\dfrac{R^2}{3}}=\dfrac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
   $P_{max}=2\pi\times \dfrac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
   On cherche alors de $\alpha$ telle que :
   $\begin{align*} R(2\pi-\alpha)=2\pi\times \dfrac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} &\ssi  2\pi-\alpha=\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
   &\ssi \alpha = 2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
   \end{align*}$
   Donc $\alpha$ ne dépend pas du rayon du disque en carton.

 

 

Exercice 3

1. Les segments $[AH]$, $[HF]$, $[FC]$, $[AC]$ et $[AF]$ sont des diagonales des carrés correspondant à des faces du cube. Ils ont donc tous la même longueur.
   Le tétraèdre $ACFH$ est donc régulier.
   On peut par conséquent inscrire le tétraèdre associé à la molécule de méthane dans un cube $ABCDEFGH$ en positionnant les atomes d’hydrogène sur les sommes $A$, $C$, $F$ et $H$.
   On obtient :
   
2. L’atome de carbone doit être à égale distance des atomes d’hydrogène.
   Or le centre du cube $\Omega$ est à égale distance de tous les sommets du cube en particulier des sommets $A, C, F$ et $H$.
   L’atome de carbone est donc au centre du cube.
   $\quad$
3. Dans le repère proposé on a $A(0;0;0)$, $C(1;1;0)$ et $\Omega(0,5;0,5;0,5)$.
   Ainsi $\vect{\Omega C}(0,5;0,5;-0,5)$ et $\vect{\Omega A}(-0,5;-0,5;-0,5)$.
   $\Omega C=\sqrt{0,5^2+0,5^2+(-0,5)^2}=\sqrt{0,75}$
   $\Omega A=\sqrt{(-0,5)^2+(-0,5)^2+(-0,5)^2}=\sqrt{0,75}$
   D’une part $\vect{\Omega A}.\vect{\Omega C}=-0,25-0,25+0,25=-0,25$
   D’autre part
   $\begin{align*} \vect{\Omega A}.\vect{\Omega C}&=\Omega A\times \Omega C\times \cos\left(\vect{\Omega A},\vect{\Omega C}\right) \\
   &=\sqrt{0,75}\times \sqrt{0,75}\times \cos \widehat{A\Omega C} \\
   &=0,75\times \cos \widehat{A\Omega C}
   \end{align*}$
   Par conséquent
   $\begin{align*} -0,25=0,75 \times \cos \widehat{A\Omega C} &\ssi \cos \widehat{A\Omega C}=\dfrac{-0,25}{0,75} \\
   &\ssi \cos \widehat{A\Omega C}=\dfrac{-0,25}{0,75} \\
   &\ssi \cos \widehat{A\Omega C}=-\dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   Donc $\widehat{A\Omega C} \approx 109,5$

 

 

Exercice 4

Partie A – Cas général

1. $k$ et $m$ étant positif la fonction $t \to -\dfrac{k}{m}t$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
   La fonction exponentielle étant croissante sur $\R$, la fonction $t \to \e^{-\frac{k}{m}t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
   Par conséquent la fonction $t \to 1-\e^{-\frac{k}{m}t}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty$.
   On en déduit donc que la fonction $v$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   $\quad$
2. La fonction $v$ étant strictement croissante sur $[0;+\infty[$, la goutte ne ralentit pas au cours de sa chute.
   $\quad$
3. $k$ et $m$ étant positif, on a $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{k}{m}t=-\infty$
   Or $\lim\limits_{T \to -\infty} \e^T=0$
   Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-\frac{k}{m}t}=0$
   Par conséquent $\lim\limits_{t \to +\infty} v(t)=9,91\dfrac{m}{k}$.
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*} v\left(\dfrac{5m}{k}\right)&=9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\e^{-\dfrac{k}{m}\times \dfrac{5m}{k}}\right) \\
   &=9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\e^{-5}\right)
   \end{align*}$
   Or $1-\e^{-5} \approx 0,993$.
   Donc au bout d’une durée de chute égale à $\dfrac{5m}{k}$ la vitesse de la goutte dépasse bien $99\%$ de sa vitesse limite.
   $\quad$

Partie B

1. $v(t)=9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(1-\e^{-\dfrac{3,9}{6}t}\right)$.
   On veut donc résoudre :
   $\begin{align*} v(t)=15&\ssi 9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(1-\e^{-\dfrac{3,9}{6}t}\right)=15 \\
   &\ssi 1-\e^{-\dfrac{3,9}{6}t}=\dfrac{15\times 3,9}{9,81 \times 6} \\
   &\ssi 1-\e^{-0,65t}=\dfrac{58,5}{58,86} \\
   &\ssi \e^{-0,65t}=1-\dfrac{58,5}{58,86} \\
   &\ssi -0,65t=\ln\left(1-\dfrac{58,5}{58,86}\right) \\
   &\ssi t=\dfrac{\ln\left(1-\dfrac{58,5}{58,86}\right) }{-0,65}
   \end{align*}$
   Donc $t\approx 7,8$ seconde.
   La goutte s’est détachée de son nuage il y a environ $7,8$ s
   $\quad$
2. Sa vitesse moyenne est donc :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{7,8}\displaystyle \int_0^{7,8}v(t)\dt \\
   &=\dfrac{1}{7,8}\left[9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(t+\dfrac{6}{3,9}\e^{-0,65t}\right)\right]_0^{7,8} \\
   &=\dfrac{1}{7,8}\left(9,81\times \dfrac{6}{3,9}\left(7,8+\dfrac{6}{3,9}\e^{-5,07}-\dfrac{6}{3,9}\right)\right) \\
   &\approx 12,1
   \end{align*}$
   La vitesse moyenne de cette goutte sur cette intervalle de temps est d’environ $12,1$ m.s$^{-1}$.
   $\quad$

 

 

Exercice 4

Partie A

1. Il y a $15,9\%$ de O dans le texte codé. La lettre E a donc été codé par O d’après le tableau des fréquences des lettres dans un texte écrit en français.
   Il y a $9,4\%$ de E dans le texte codé. La lettre A a donc été codé par E d’après le tableau des fréquences des lettres dans un texte écrit en français.
   $\quad$
2. E, associé au nombre $4$ a été codé en O, associé au nombre $14$ : donc $4a+b \equiv 14~~[26]$.
   A, associé au nombre $0$ a été codé en E, associé au nombre $4$ : donc $0+b \equiv 4~~[26]$ soit $b \equiv 4~~[26]$.
   $\quad$
   $a$ et $b$ sont donc solutions du système $\begin{cases}4a+b\equiv 14~~[26] \\b\equiv 4~~[26] \end{cases}$
   $\quad$
3. $\begin{cases}4a+b\equiv 14~~[26] \\b\equiv 4~~[26] \end{cases} \ssi \begin{cases}4a\equiv 10~~[26] \\b\equiv 4~~[26] \end{cases}$
   Donc $b=4$
   Faisons un tableau de distinction des cas pour $a$.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   a&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
   \hline
   4a&0\phantom{0}&4\phantom{0}&8\phantom{0}&12&16&20&24&28&32&36&40&44&48\\
   \hline
   4a\text{ mod }26&0&4&8&12&16&20&24&2&6&10&14&18&22\\
   \hline
   \end{array}$
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   a&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\
   \hline
   4a&52&56&60&64&68&72&76&80&84&88&92&96&100\\
   \hline
   4a\text{ mod }26&0&4&8&12&16&20&24&2&6&10&14&18&22\\
   \hline
   \end{array}$
   Donc $a=9$ ou $a=22$.
   Les couples solutions sont donc $(9;4)$ et $(22;4)$.
   $\quad$

Partie B

1. a. K est associé au nombre $10$ : $22\times 10+4=224\equiv 16~~[26]$.
   Donc K est codé en Q.
   X est associé au nombre $23$ : $22 \times 23+4=510\equiv 16~~[26]$.
   Donc X est codé en Q.
   $\quad$
   b. Deux lettres différentes sont codés par la même lettre. Ce codage n’est donc pas envisageable.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} m\equiv 9n+4~~[26] &\ssi 3m\equiv 27n+12~~[26] \\
   &\ssi 3m \equiv n+12~~[26] \\
   &\ssi 3m+14\equiv n+26~~[26]\\
   &\ssi 3m+14\equiv n~~[26]
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. D’après la question précédente si la lettre associé au nombre $n$ a été codé en la lettre associé au nombre $m$ alors $n\equiv 3m+14~~[26]$
   A est associé au nombre $0$ : $3\times 0+14=14\equiv 14~~~[26]$. Donc $O$ a été codé en A.
   Q est associé au nombre $16$ : $3\times 16+14=62\equiv 10~~~[26]$. Donc $K$ a été codé en Q.
   Si le mot codé est AQ alors le mot initial était OK.
   $\quad$

Exercice 1    6 points

La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mobile. Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. En cas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d’assistance téléphonique: le client doit d’abord signaler s’il est client Internet ou s’il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur.

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

Partie A – Durée d’attente 

1. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client Internet lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur.
   Une étude permet de modéliser cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire $D_1$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,6$.
   a. Quelle est la durée d’attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d’assistance ?
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à $5$ minutes.
   $\quad$
2. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client mobile lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire $D_2$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, $\lambda$ étant un réel strictement positif.
   a. Sachant que $P\left(D_2\pp 4\right) = 0,798$, déterminer la valeur de $\lambda$.
   $\quad$
   b. En prenant $\lambda = 0,4$, peut-on considérer que moins de $10\%$ des clients mobile choisis au hasard attendent plus de $5$ minutes avant de joindre un opérateur?
   $\quad$

Partie B – Obtention d’un opérateur

Si la durée d’attente avant l’obtention d’un opérateur dépasse $5$ minutes, l’appel prend automatiquement fin. Sinon, l’appelant obtient un opérateur.

On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d’assistance.

On admet que la probabilité que l’appel émane d’un client Internet est $0,7$.

De plus, d’après la partie A, on prend les données suivantes :

• Si l’appel provient d’un client Internet alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à $0,95$.
• Si l’appel provient d’un client mobile alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à $0,87$.

1. Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur.
   $\quad$
2. Un client se plaint que son appel a pris fin après $5$ minutes d’attente sans avoir obtenu d’opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile?
   $\quad$

Partie C – Enquête de satisfaction

La société annonce un taux de satisfaction de $85\%$ pour ses clients ayant appelé et obtenu un opérateur.

Une association de consommateurs souhaite vérifier ce taux et interroge $1~303$ personnes. Parmi celles-ci, $1~150$ se disent satisfaites. Que pensez-vous du taux de satisfaction annoncé par la société ?

$\quad$

Exercice 2    5 points

Dans un disque en carton de rayon $R$ , on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure $\alpha$ radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle $\alpha$ pour obtenir un cône de volume maximal.

On appelle $\ell$ le rayon de la base circulaire de ce cône et $h$ sa hauteur.

On rappelle que :

• le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire $\mathscr{A}$ et de hauteur $h$ est $\dfrac{1}{3}\mathscr{A}h$.
• la longueur d’un arc de cercle de rayon $r$ et d’angle $\theta$, exprimé en radians, est $r\theta$.

1. On choisit $R = 20$ cm.
   a. Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur $h$, est $V(h) = \dfrac{1}{3}\pi\left(400-h^2\right)h$.
   $\quad$
   b. Justifier qu’il existe une valeur de $h$ qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.
   $\quad$
   c. Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de $\alpha$ au degré près.
   $\quad$
2. L’angle $\alpha$ dépend-il du rayon $R$ du disque en carton ?
   $\quad$

Exercice 3    4 points

Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH$_4$ de la façon suivante :

• Les noyaux d’atomes d’hydrogène occupent les positions des quatre sommets d’un tétraèdre régulier.
• Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d’hydrogène.

L’objectif est de déterminer une mesure de l’angle entre deux liaisons carbone- hydrogène.

Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

1. Justifier qu’on peut inscrire ce tétraèdre dans un cube $ABCDEFGH$ en positionnant deux atomes d’hydrogène sur les sommets $A$ et $C$ du cube et les deux autres atomes d’hydrogène sur deux autres sommets du cube.
   Représenter la molécule dans le cube donné en annexe.
   Dans la suite de l’exercice, on pourra travailler dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
   $\quad$
2. Démontrer que l’atome de carbone est au centre $\Omega$ du cube.
   $\quad$
3. Déterminer l’arrondi au dixième de degré de la mesure de l’angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène, c’est-à-dire l’angle $\widehat{A\Omega C}$.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On s’intéresse à la chute d’une goutte d’eau qui se détache d’un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d’établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m.s$^{-1}$, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute $t$ est donnée par la fonction $v$ définie ainsi :
pour tout réel positif ou nul $t$, $v(t) = 9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\e^{-\frac{k}{m}t}\right)$ ; la constante $m$ est la masse de la goutte en milligramme et la constante $k$ est un coefficient strictement positif lié au frottement de l’air.

On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A – Cas général

1. Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d’eau.
   $\quad$
2. La goutte ralentit -elle au cours de sa chute ?
   $\quad$
3. Montrer que $\lim\limits_{t\to +\infty}v(t)=9,81\dfrac{m}{k}$. Cette limite s’appelle vitesse limite de la goutte.
   $\quad$
4. Un scientifique affirme qu’au bout d’une durée de chute égale à $\dfrac{5m}{k}$, la vitesse de la goutte dépasse $99\%$ de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ?
   $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on prend $m = 6$ et $k = 3,9$.

À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est $15$ m.s$^{-l}.$

1. Depuis combien de temps la goutte s’est -elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse au dixième de seconde.
   $\quad$
2. En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s’est détachée du nuage et l’instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m.s$^{-1}$.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

\textbf{Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité}

Les parties A et B sont indépendantes.

Une personne a mis au point le procédé de cryptage suivant :

• À chaque lettre de l’alphabet, on associe un entier n comme indiqué ci-dessous :
  $$\begin{array}{l}
  \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
  \hline
  \phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
  \hline
  \end{array} \\
  \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
  \hline
  13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
  \end{array}\end{array}$$

• On choisit deux entiers $a$ et $b$ compris entre $0$ et $25$.
• Tout nombre entier $n$ compris entre $0$ et $25$ est codé par le reste de la division euclidienne de $an+ b$ par $26$.

Le tableau suivant donne les fréquences $f$ en pourcentage des lettres utilisées dans un texte écrit en français.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre}&A &B &C &D &E &F &G &H &I &J&K &L &M\\
\hline
\text{Fréquence}&9,42&1,02&2,64&3,38&15,87&0,94&1,04&0,77&8,41&0,89&0,00&5,33&3,23\\
\hline
\hline
\text{Lettre}&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
\hline
\text{Fréquence}&7,14&5,13&2,86&1,06&6,46&7,90&7,26&6,24&2,15&0,00&0,30&0,24&0,32\\
\hline
\end{array}$

Partie A 

Un texte écrit en français et suffisamment long a été codé selon ce procédé. L’analyse fréquentielle du texte codé a montré qu’il contient $15,9\%$ de $O$ et $9,4\%$ de $E$.
On souhaite déterminer les nombres $a$ et $b$ qui ont permis le codage.

1. Quelles lettres ont été codées par les lettres $O$ et $E$ ?
   $\quad$
2. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont solutions du système $$\begin{cases}4a + b\equiv 14~~[26] \\b \equiv 4~~[26] \end{cases}$$
   $\quad$
3. Déterminer tous les couples d’entiers $(a,b)$ ayant pu permettre le codage de ce texte.
   $\quad$

Partie B

1. On choisit $a = 22$ et $b = 4$.
   a. Coder les lettres $K$ et $X$.
   $\quad$
   b. Ce codage est-il envisageable?
   $\quad$
2. On choisit $a = 9$ et $b = 4$.
   a. Montrer que pour tous entiers naturels $n$ et $m$, on a :$$m \equiv 9 n + 4~~[26]\ssi n\equiv 3 m + 14~~[26]$$
   b. Décoder le mot $AQ$.
   $\quad$