On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

• $z= \conj{z}$ $\ssi a + \ic b = a-\ic b \ssi \ic b = -\ic b \ssi b = 0 \ssi z$ est un nombre réel.
• $z = -\conj{z} \ssi a + \ic b = -a +\ic b \ssi a = -a \ssi a= 0 \ssi z$ est un imaginaire pur.

On utilise les formes algébriques de $z$ et $z’$.
$z= a+\ic b$ et $z’ = a’+\ic b’$ où $a$, $b$, $a’$ et $b’$ sont des nombres réels.

1. $\quad$
   $$\begin{align*} \conj{z +z’} &= \conj{a + \ic b + a’ + \ic b’}\\
   &= \conj{a+a’+\ic(b + b’)} \\
   &= a+a’-\ic (b+b’)\\
   & = a-\ic b + a’-\ic b’ \\
   &= \conj{z} + \conj{z’}
   \end{align*}$$
2. On a d’une part :
   $\conj{z \times z’} = \conj{(a+\ic b)(a’-\ic b’)} = \conj{aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)} = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b)$
   et d’autre part :
   $\conj{z}\times \conj{z’} = (a-\ic b)(a’-\ic b’) = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b) = \conj{z \times z’}$
3. Nous allons démontrer ce résultat par récurrence.
   Initialisation : Si $n= 0$ alors $\conj{z^n} = \conj{1} = \conj{z}^n$
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $\conj{z^n} = \conj{z}^n$
   $$\conj{z^{n+1}} = \conj{z^n \times z} = \conj{z^n} \times \conj{z} = \conj{z}^n \times \conj{z} = \conj{z}^{n+1}$$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tous entiers naturels $n$ on a $\conj{z^n} = \conj{z}^n$.
4. $z\conj{z} = (a+\ic b)(a-\ic b) = a^2 + b^2 + \ic ba-\ic ab = a^2+b^2$
5. Si $z \ne 0$, on a $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{\conj{z}}{\conj{z}} = \dfrac{\conj{z}}{z\conj{z}}=\dfrac{\conj{z}}{a^2+b^2}$.
   Par conséquent $\conj{\left( \dfrac{1}{z} \right)} = \dfrac{z}{a^2+b^2}$.
   On a également $\dfrac{1}{\conj{z}} = \dfrac{1}{\conj{z}} \times \dfrac{z}{z}=\dfrac{z}{z\conj{z}} = \dfrac{z}{a^2+b^2} = \conj{\left( \dfrac{1}{z} \right)}$
   $\quad$
   $\conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)} = \conj{\dfrac{1}{z} \times z’} = \conj{\left( \dfrac{1}{z} \right)} \times \conj{z’} = \dfrac{1}{\conj{z}} \times \conj{z’} = \dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}$

On considère $z = a + \ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
$z + \conj{z} = a + \ic b + a-\ic b = 2a$. Donc $\Re \e(z)=a = \dfrac{z + \conj{z}}{2}$.
$z-\conj{z} = a+\ic b-a+\ic b = 2\ic b$. Donc $\Im \text{m}(z)=b = \dfrac{z-\conj{z}}{2\ic}$.

Les cas $\Delta >0$ et $\Delta=0$ ont déjà été démontrés en 1S.
On va donc démontrer le cas $\Delta<0$.

$$\begin{align*}
az^2+bz+c &= a\left(z^2+\dfrac{b}{a}z + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2 – \left(\dfrac{b}{2a} \right)^2 + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{b^2 -4ac}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{\Delta}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{\ic^2(-\Delta)}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2 – \left(\dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)^2 \right) \\
&= a\left(z + \dfrac{b}{2a} – \dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)\left(z + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)
\end{align*}$$

L’équation $az^2+bz+c = 0$ possède alors deux solutions $z_1 = \dfrac{-b-\ic \sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \conj{z_1}$

1. Le vecteur nul a pour coordonnées $(0;0)$.
   Son affixe est donc $0+0\ic = 0$.
2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. L’écriture algébrique d’un nombre complexe étant unique on obtient ainsi la propriété.
3. Les coordonnées de $\vect{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.
   Par conséquent :
   $$\begin{align*} z_{\vect{AB}} &= x_B-x_A + \ic\left( y_B-y_A \right) \\
   & = x_B + \ic y_B – \left(x_A + \ic y_A \right) \\
   & = z_B – z_A
   \end{align*}$$
4. On a $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
   Donc $z_I=x_I+\ic y_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$.
5. On considère le nombre complexe $z=a+\ic b$ et son image $M$. On appelle $M’$ le point d’affixe $\conj{z}$.
   Les coordonnées de $M$ sont $(a;b)$ et celles de $M’$ sont $(a;-b)$.
   Donc ces 2 points sont bien symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

On note $z = a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$ où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.

1. $\left| \conj{z} \right| = |a – \ic b| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |z|$
   $|-z| = |-a-\ic b| = \sqrt{(-a)^2+(-b)^2} = |z|$
2. $\quad$
   $$\begin{align*} \left|zz’\right| &= \left|aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)\right| \\
   & = \sqrt{(aa’-bb)^2+(ab’+a’b)^2}\\
   &= \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2-2aba’b’+(ab’)^2+(a’b)^2+2aba’b’} \\
   & = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} \end{align*}$$
   $|z|\times \left|z’\right| = \sqrt{a^2 + b^2} \times \sqrt{a’^2+b’^2} = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} = |zz’|$
3. $\left|\dfrac{z}{z’} \right|^2 = \dfrac{z}{z’} \times \conj{\left(\dfrac{z}{z’} \right)} = \dfrac{z\conj{z}}{z’\conj{z’}} = \dfrac{|z|^2}{|z’|^2}$

Nous allons montrer ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ alors $|z^n|=|1| = |z|^n$
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $|z^n| = |z|^n$
$|z^{n+1}| = |z\times z^n| = |z| \times |z^n| = |z| \times |z|^n = |z|^{n+1}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $|z^n| = |z|^n$.

On utilise la forme algébrique du nombre complexe $z=a+ib$.

1. On note $\arg(z) = \theta$ et $\arg(-z) = \theta’$.
   $-z=-a-\ic b$.
   On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{-a}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
   Donc $\theta’ = \theta + \pi + 2k\pi$
2. On note $\arg(z) = \theta$ et $\arg\left(\conj{z} \right) = \theta’$.
   $\conj{z}=a-\ic b$.
   On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = \cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
   Donc $\theta’ = -\theta + 2k\pi$

1. On utilise la forme algébrique de $z=a+ib$ et $z’=a’+\ic b’$, où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.
   On appelle $\theta = \arg(z)$ , $\theta’ = \arg(z’)$ et $\alpha = \arg(zz’)$.
   $zz’ = aa’-bb’ + \ic (ab’+a’b)$
   Donc $\cos \alpha = \dfrac{aa’-bb’}{\left|zz’\right|} = \dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\cos \theta’ – |z|\sin \theta \left|z’\right|\sin \theta’}{|z|\times \left|z’\right|}$
   Par conséquent $\cos \alpha= \cos \theta\cos \theta’ – \sin \theta \sin \theta’ = \cos \left(\theta + \theta’\right)$
   On a également $\sin \alpha= \dfrac{ab’+a’b}{\left|zz’\right|}=\dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\sin \theta’+\left|z’\right|\cos \theta’ |z|\sin \theta}{|z| \times \left|z’\right|}$.
   Par conséquent $\sin \alpha = \cos \theta \sin \theta’ + \sin \theta \cos \theta’=\sin\left(\theta+\theta’\right)$.
   Donc $\alpha = \theta + \theta’ + 2k\pi$.
2. On peut écrire $z = \dfrac{z}{z’} \times z’$
   Donc $\arg(z) = \arg\left(\dfrac{z}{z’} \right) + \arg(z’)~~(2\pi)$ soit $\arg\left( \dfrac{z}{z’} \right) =\arg(z)-\arg(z’)~~(2\pi)$
3. On obtient ce résultat à l’aide d’une récurrence qu’on initialise à $1$ (à faire en exercice).

On considère le point $C$ d’affixe $z_B-z_A$.
On a alors $\arg\left(z_B-z_A\right) = \left(\vec{u},\vect{OC}\right) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$

$$\begin{align*}
\arg \left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) &= \arg (z_B-z_A)-\arg(z_D-z_C) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right)-\left(\vec{u},\vect{CD}\right) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right) + \left(\vect{CD},\vec{u}\right) \\
&= \left(\vect{CD},\vect{AB}\right)~~(2\pi) \end{align*}$$

On ne va démontrer ici que la première et la troisième propriété :

$$\begin{align*}
\e^{\ic \theta} \times \e^{\ic \theta’} &= \left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\times \left(\cos \theta’+\ic \sin \theta’\right) \\
&= \cos \theta \cos \theta’ -\sin \theta\sin \theta’+\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
& = \cos \left(\theta+\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta+\theta’\right) \\
&=\e^{\ic(\theta+\theta’)}
\end{align*}$$

$\quad$

$$\begin{align*}
\dfrac{\e^{\ic \theta}}{\e^{\ic \theta’}} &=\dfrac{\cos \theta+\ic \sin \theta}{\cos \theta’+\ic \sin \theta’} \\
&=\dfrac{\left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\left(\cos \theta’-\ic \sin \theta’\right)}{\cos^2 \theta’+\ic \sin^2 \theta’} \\
&=\cos \theta \cos \theta’+\sin \theta\sin \theta’ -\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
& = \cos \left(\theta-\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta-\theta’\right) \\
&=\e^{\ic(\theta-\theta’)}
\end{align*}$$

1. $\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta + \cos \theta – \ic \sin \theta = 2\cos \theta$
   Donc $\cos \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta}}{2}$
2. $\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta – \cos \theta + \ic \sin \theta = 2\ic \sin \theta$
   Donc $\sin \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta}}{2\ic }$