Exercice 1 

Partie I

1. La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions continues sur $R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} u'(x)+u(x)&=\e^{-x}-x\e^{-x}+x\e^{-x} \\
   &=\e^{-x}\end{align*}$
   La fonction $u$ est donc une solution de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
2. $y’+y=0\ssi y’=-y$.
   L’ensemble solution de $(E’)$ est donc $\acco{x\in \mapsto k\e^{-x},~\text{pour tout } k\in \R}$.
   $\quad$
3. L’ensemble solution de $(E)$ est donc $\acco{x\in \mapsto k\e^{-x}+x\e^{-x},~\text{pour tout } k\in \R}$ qu’on peut également définir par $\acco{x\in \mapsto (x+k)\e^{-x},~\text{pour tout } k\in \R}$.
   $\quad$
4. Il s’agit d’un problème de Cauchy. Il a donc une unique solution.
   On cherche la valeur de $\alpha$ telle que :
   $\begin{align*}
   g(0)=2&\ssi (0+k)\e^{0}=2 \\
   &\ssi k=2\end{align*}$
   L’unique solution de $(E)$ vérifiant $g(0)=2$ est donc la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(x+2)\e^{-x}$.
   $\quad$

Partie II

1. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=-\e^{-x}<0$.
   La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $\R$.
   La fonction $h$ est par conséquent représentée en trait plein.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également dire que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Sa courbe représentative n’a donc aucun point en dessous de l’axe des abscisses et ne peut pas, ainsi, être représentée par la courbe en pointillés.
   $\quad$
2. Les deux courbes sont sécantes en un point $A$ d’abscisse $x$.
   On a donc :
   $\begin{align*}(k+x)\e^{-x}=\e^{-x} &\ssi (k+x)\e^{-x}-\e^{-x}=0 \\
   &\ssi (k+x-1)\e^{-x} =0\\
   &\ssi k+x-1=0 \qquad \text{car } \e^{-x}\neq 0 \\
   &\ssi x=1-k\end{align*}$
   $\quad$
   $f_k(x)=0\ssi x+k=0\ssi x=-k$
   Ainsi, le point d’intersection de $C_k$ avec l’axe des abscisses et $A$ ont des abscisses séparées d’une unité.
   En reportant cette unité de proche en proche, on constate que, graphiquement, $k=2$.
   $\quad$
   La courbe $C$ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;\e^{0}\right)$ c’est-à-dire au point de coordonnées $(0;1)$.
   $\quad$
   On a ainsi déterminé l’unité sur chacun des axes.
   $\quad$
   
   $\quad$

Exercice 2

Partie I

1. a. La fonction $F_1$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
   $\begin{align*}
   F_1′(x)&=\e^x+(x-1)\e^x \\
   &=x\e^x\\
   &=f_1(x)\end{align*}$
   $F_1$ est une primitive de la fonction $f_1$.
   $\quad$
   b. Par conséquent :
   $\begin{align*} I_1&=\int_0^1 f_1(x)\dx \\
   &=\left[F_1\right]_0^1 \\
   &=F_1(1)-F_1(0) \\
   &=0-(-1) \\
   &=1\end{align*}$
   $\quad$
2. Soit $n\in \N^*$. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ dérivables et dont les dérivées sont continues sur $[0;1]$ définies par :
   $$\begin{array}{lll}u(x)=x^{n+1}&\phantom{123456}&u'(x)=(n+1)x^n\\
   v(x)=\e^x&&v'(x)=\e^x\end{array}$$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} I_{n+1}&=\int_0^1 x^{n+1}\e^x\dx \\
   &=\left[x^{n+1}\e^x\right]_0^1-(n+1)\int_0^1 x^n\e^x\dx \\
   &=e-(n+1)I_n\end{align*}$
   $\quad$
3. On a donc $I_2=e-2I_1$ soit $I_2=e-2$.
   $\quad$
4. La fonction mystère renvoie une liste contenant les $5$ premières valeurs de $I_n$.
   $\quad$

Partie II

1. a. $I_n$ est l’aire du domaine compris entre $C_n$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
   $\quad$
   b. Il semblerait donc que $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} 0\pp x\pp 1&\ssi 0\pp \e^{x}\pp \e\\
   &\ssi 0\pp x^n\e^{x} \pp \e x^n\end{align*}$
   On intègre cette inégalité sur l’intervalle $[0;1]$.
   Par croissance de l’intégrale on obtient : $0 \pp I_n \pp \e\ds \int_0^1 x^n\dx$.
   $\quad$
3. On a :
   $\begin{align*}
   \int_0^1 x^n\dx &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 \\
   &=\dfrac{1}{n+1}\end{align*}$
   Par conséquent $0\pp I_n\pp \dfrac{1}{n+1}$.
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
   D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie 1

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)p_A(B) \\
   &=0,8\times 0,6\\
   &=0,48\end{align*}$
   La probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2 est donc égale à $0,48$.
   $\quad$
3. $\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*}p(B)&=p(A)p_A(B)+p\left(\conj{A}\right)p_{\conj{A}}(B) \\
   &=0,48+0,2\times 0,1\\
   &=0,5\end{align*}$
   La probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2 est égale à $0,5$.
   $\quad$
4. L’univers de $X_1$ est $\acco{0;1}$.
   $p\left(X_1=0\right)=0,2$ et $p\left(X_1=1\right)=0,8$.
   Ainsi, l’espérance de $X_1$ est :
   $\begin{align*}E\left(X_1\right)&=0\times p\left(X_1=0\right)+1\times p\left(X_1=1\right) \\
   &=0,8\end{align*}$
   $\quad$
   L’univers de $X_2$ est $\acco{0;1}$.
   $p\left(X_2=0\right)=0,5$ et $p\left(X_2=1\right)=0,5$.
   Ainsi, l’espérance de $X_2$ est :
   $\begin{align*}E\left(X_2\right)&=0\times p\left(X_2=0\right)+1\times p\left(X_2=1\right) \\
   &=0,5\end{align*}$
   $\quad$
   Par linéarité de l’espérance :
   $\begin{align*} E(X)&=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right) \
   &=1,3\end{align*}$
   En moyenne, le candidat aura $1,3$ point.
   $\quad$
5. a.
   $\begin{align*} p(X=0)&=p\left(\left(X_1=0\right)\cap \left(X_2=0\right)\right) \\
   &=p\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
   &=p\left(\conj{A}\right)p_{\conj{A}}\left(\conj{B}\right) \\
   &=0,2\times 0,9\\
   &=0,18\end{align*}$
   $\begin{align*} p(X=2)&=p\left(\left(X_1=1\right)\cap \left(X_2=1\right)\right) \\
   &=p(A\cap B)\\
   &=0,48\end{align*}$
   $\left((X=0),(X=1),(X=2)\right)$ est un système complet d’événements finis.
   Par conséquent
   $\begin{align*} p(X=1)&=1-p(X=0)-p(X=2)\\
   &=1-0,18-0,48\\
   &=0,34\end{align*}$
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} E\left(X^2\right)&=0^2\times p(X=0)+1^2\times p(X=1)+2^2\times p(X=2)\\
   &=0,34+4\times 0,48 \\
   &=2,26\end{align*}$
   D’après la formule de Kœnig-Huygens
   $\begin{align*}V(X)&=E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2 \\
   &=2,26-1,3^2\\
   &=0,57\end{align*}$
   $\quad$
   c. On a $E\left(X_1^2\right)=1^2\times 0,8=0,8$
   D’après la formule de Kœnig-Huygens
   $\begin{align*} V\left(X_1\right)&=E\left(X_1^2\right)-\left(E\left(X_1\right)\right)^2 \\
   &=0,8-0,8^2 \\
   &=0,16\end{align*}$
   $\quad$
   On a également $E\left(X_2^2\right)=1^2\times 0,5=0,5$
   D’après la formule de Kœnig-Huygens
   $\begin{align*} V\left(X_2\right)&=E\left(X_2^2\right)-\left(E\left(X_2\right)\right)^2 \\
   &=0,5-0,5^2 \\
   &=0,25\end{align*}$
   $\quad$
   Ainsi :
   $V\left(X_1\right)+V\left(X_2\right)=0,41\neq V(X)$.
   Les variables $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes (car $A$ et $B$ ne le sont pas) ; ce n’est donc pas surprenant que les deux quantités ne soient pas égales.
   $\quad$

Partie II

1. On répète $8$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{3}{4}$.
   $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=\dfrac{3}{4}$.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} p(Y=8)&=\dbinom{8}{8}\times \left(1-\dfrac{3}{4}\right)^0\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^8 \\
   &=\dfrac{3^8}{4^8}\end{align*}$
   $\quad$
3. On a donc : $E(Y)=8\times \dfrac{3}{4}=6$ et $V(Y)=8\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{2}$.
   $\quad$

Partie III

1. Par linéarité :
   $\begin{align*} E(Z)&=E(X)+E(Y) \\
   &=1,3+6\\
   &=7,3\end{align*}$
   $\begin{align*} V(Z)&=V(X+Y)\\
   &=V(X)+V(Y)\qquad \text{(indépendance)} \\
   &=0,57+1,5 \\
   &=2,07\end{align*}$
   $\quad$
2. a. On utilise une nouvelle fois la linéarité de l’espérance :
   $\begin{align*} E\left(M_n\right)&=\dfrac{1}{n}\left(E\left(Z_1\right)+\ldots +E\left(Z_n\right)\right) \\
   &=\dfrac{1}{n}\times n\times E(Z) \qquad \text{(même loi)} \\
   &=E(Z)\\
   &=7,3\end{align*}$
   $\quad$
   b. 
   $\begin{align*} V\left(M_n\right)&=\dfrac{1}{n^2}V\left(Z_1+\ldots+Z_n\right) \\
   &=\dfrac{1}{n^2}\left(V\left(Z_1\right)+\ldots+V\left(Z_n\right)\right) \qquad \text{(indépendance)} \\
   &=\dfrac{1}{n^2}\times nV(Z) \qquad \text{(même loi)} \\
   &=\dfrac{V(Z)}{n} \\
   &=\dfrac{2,07}{n}\end{align*}$
   Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$ :
   $\begin{align*} \sigma\left(M_n\right)\pp 0,5&\ssi \sqrt{\dfrac{2,07}{n}}\pp 0,5 \\
   &\ssi \dfrac{2,07}{n} \pp 0,25 \\
   &\ssi n\pg \dfrac{2,07}{0,25} \\
   &\ssi n\pg 8,28\end{align*}$
   L’écart-type de $M_n$ est inférieur ou égal à $0,5$ si, et seulement si, $n\pg 9$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} p\left(6,3\pp M_n\pp 8,3\right)&=p\left(-1\pp M_n-E\left(M_n\right)\pp 1\right)) \\
   &=p\left(\abs{M_n-E\left(M_n\right)} \pp 1\right) \\
   &=1-p\left(\abs{M_n-E\left(M_n\right)}>1\right) \\
   &\pg 1-\dfrac{V\left(M_n\right)}{1^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \\
   &\pg 1-0,5^2 \qquad (*) \\
   &\pg 0,75
   \end{align*}$
   $(*)$ car $\sigma\left(M_n\right) \pp 0,5 \ssi V\left(M_n\right)\pp 0,5^2 \ssi -V\left(M_n\right) \pg -0,5^2$
   $\quad$

Exercice 4

1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
   $\quad$
   Prenons $\vec{n}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$.
   On a alors $\vec{n}.\vect{AB}=0+0+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AG}=0-1+1=0$.
   $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABG)$. Il est donc normal au plan $(ABC)$.
   Réponse c
   $\quad$
   Remarque : Dans ce genre de question, il faut essayer de “deviner” la bonne réponse pour ne tester, finalement, que elle.
   $\vect{AB}$ ne possède qu’une composante non nulle. Un bon candidat pour $\vec{n}$ devra donc avoir, par conséquent, cette composante nulle. On exclut donc les réponses a et b.
   $\vect{AG}$ ne possède aucune composante nulle. Par conséquent, un vecteur qui lui est orthogonal ne peut pas avoir deux composantes nulles. Cela exclut donc d.
   $\quad$
2. Dans le triangle $AEF$ on a :
   – $I$ est le milieu de $[EF]$
   – $J$ est le milieu de $[EA]$
   Méthode 1 :
   D’après le théorème des milieux, $(IJ)$ est parallèle à $(AF)$.
   Méthode 2 :
   $\dfrac{EJ}{EA}=\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{EI}{EF}=\dfrac{1}{2}$
   D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(IJ)$ et $(AF)$ sont parallèles.
   Remarque : Le théorème des milieux est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.
   $\quad$
   $\begin{align*} \vect{DG}&=\vect{DC}+\vect{CG} \\
   &=\vect{AB}+\vect{BF} \\
   &=\vect{AF}\end{align*}$
   Ainsi $(IJ)$ est également parallèle à $(DG)$.
   Réponse a
   $\quad$
   Autre méthode :
   La droite $(IJ)$ est incluse dans le plan $(ABE)$. Les points $A$, $B$ et $F$ appartiennent à ce plan. Pour qu’une droite passant par un de ces points soit également parallèle à $(IJ)$ il faut donc qu’elle soit, elle aussi, incluse dans $(ABE)$. Ce n’est pas les cas des propositions b, c et d.
   $\quad$
3. $\left(\vect{AB};\vect{CG}\right)$ est, par exemple, une base du plan $(ABF)$
   $\left(\vect{AB};\vect{AC};\vect{AD}\right)$ est, par exemple, une base du plan $(ABC)$
   $\left(\vect{CA};\vect{CG};\vect{CE}\right)$ est, par exemple, une base du plan $(ACG)$
   Réponse c
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*}
   \vect{AG}&=\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CG} \\
   &=\vect{AB}+\vect{AD}+\vect{BF} \\
   &=\vect{AB}+\vect{AD}+\vect{AJ}\end{align*}$
   De plus les vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{AD}$ et $\vect{AJ}$ sont orthogonaux.
   Réponse b
   $\quad$
5. Le repère $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ est orthonormé.
   L’aire de $ABFE$ est égale à :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{(AE+BF)\times AB}{2} \\
   &=\dfrac{(2+1)\times 1}{2} \\
   &=\dfrac{3}{2}\text{ u.a.}\end{align*}$
   Le volume de $ABFEDCGH$ est donc égal à :
   $\begin{align*} \mathscr{V}&=\mathscr{A}\times BC \\
   &=\dfrac{3}{2}\times 1\\
   &=\dfrac{3}{2} \text{ u.v.}\end{align*}$
   Réponse c
   $\quad$
   Remarque : Si on ne se rappelle plus de l’aire d’un trapèze, on peut remarquer, ici, qu’on a un carré et un triangle isocèle dont les aires sont respectivement $1^2$ et $\dfrac{1\times 1}{2}$.
   On peut également penser que le prisme droit est composé d’un cube et de la moitié d’un cube. Le volume est alors égale à $1^3 \times \left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$.
   $\quad$

Exercice 5

1. Méthode 1 : sans justifier rigoureusement
   $0,1$ appartient à $[0;1]$ donc $\sin(x)=0,1$ admet exactement une solution sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ , une unique solution sur $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ et aucune solution sur $[\pi;2\pi]$ puisque sur cet intervalle $\sin(x)\pp 0$.
   $\quad$
   Méthode 2 : en justifiant toutes les étapes.
   $\bullet$ La fonction $\sin$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$. De plus $\sin(0)=0$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ et $0,1\in [0;1]$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $\sin(x)=0,1$ admet une unique solution sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
   $\bullet$ La fonction $\sin$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$. De plus $\sin(\pi)=0$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ et $0,1\in [0;1]$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $\sin(x)=0,1$ admet une unique solution sur $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$.
   $\bullet$ Pour tout $x\in[\pi;2\pi]$ on a $\sin(x)\pp 0<0,1$. L’équation $\sin(x)=0,1$ n’admet donc aucune solution sur cet intervalle.
   $\quad$
   L’équation $\sin(x)=0,1$ admet donc exactement deux solutions sur $[0;2\pi]$.
   Réponse c
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable deux fois sur $[0;\pi]$ en tant que somme de fonctions deux fois dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout $x\in [0;\pi]$ on a :
   $f'(x)=1+\cos(x)$ et $f\dsec(x)=-\sin(x)$.
   Or $\sin(x)\pg 0$ sur $[0;\pi]$ par conséquent $f\dsec(x)\pp 0$ sur cet intervalle.
   $f$ est donc concave sur $[0;\pi]$.
   Réponse b
   $\quad$
3. Il y a $50\times 49\times 48$ façons de tirer ces boules en tenant compte de l’ordre des numéros.
   Il y a $3!$ façons d’ordonner ces nombres.
   Il y a donc $\dfrac{50\times 49\times 48}{3!}$ tirages possibles sans tenir compte de l’ordre des numéros.
   Réponse d
   $\quad$
4. À chaque lancer il y a $2$ possibilités et on effectue $10$ lancers.
   Il y a donc $2^{10}$ listes ordonnées possibles.
   Remarque : On effectue une $10-$liste à $2$ éléments.
   Réponse b
   $\quad$
5. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p$.
   La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de « pile » suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{1}{2}$.
   Ainsi
   $\begin{align*} p(X\pp 2)&=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2) \\
   &=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\dbinom{n}{1}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}+\dbinom{n}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} \\
   &=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{n(n-1)}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\\
   &=\left(1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{align*}$
   Réponse d
   $\quad$

Exercice 6

1. Calculons les premiers termes de la suite.
   $u_0=1$
   $u_1=\dfrac{u_0}{1+2u_0}=\dfrac{1}{3}$
   $u_2=\dfrac{u_1}{1+2u_1}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{5}$
   $u_3=\dfrac{u_2}{1+2u_2}=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{1+\dfrac{2}{5}}=\dfrac{1}{7}$
   $u_4=\dfrac{u_3}{1+2u_3}=\dfrac{\dfrac{1}{7}}{1+\dfrac{2}{7}}=\dfrac{1}{9}$
   Affirmation 1 vraie
   $\quad$
2. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{1}{2n+1}$
   Initialisation : $u_0=1$ et $\dfrac{1}{2\times 0+1}=1$ donc $P(1)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{u_n}{1+2u_n} \\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{2n+1}}{1+\dfrac{2}{2n+1}}\\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{2n+1}}{\dfrac{2n+1+2}{2n+1}}\\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{2n+1}}{\dfrac{2n+3}{2n+1}}\\
   &=\dfrac{1}{2n+3} \\
   &=\dfrac{1}{2(n+1)+1}\end{align*}$
   Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=\dfrac{1}{2n+1}$.
   Affirmation 2 vraie
   $\quad$
3. $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2n+1}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
   Il existe donc un entier $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$ on ait $u_n\pp 10^{-10}$.
   Affirmation 3 fausse
   $\quad$

 

Exercice 7

1. a. $f_{0,5}$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivable sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f_{0,5}'(x)&=1+0,5\times (-1)\e^{-x} \\
   &=1-0,5\e^{-x}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $\quad$
   $\begin{align*} f_{0,5}'(x)>0&\ssi 1-0,5\e^{-x}>0 \\
   &\ssi -0,5\e^{-x}>-1 \\
   &\ssi \e^{-x}<2 \\
   &\ssi -x<\ln(2) \qquad \text{(croissance de la fonction $\ln$)}\\
   &\ssi x>-\ln(2) \\
   &\ssi x>\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\end{align*}$
   La fonction $f_{0,5}$ est donc strictement décroissante sur $\left]0;\ln(0,5)\right]$ et strictement croissante sur $\left[\ln(0,5);+\infty\right[$.
   $f_{0,5}$ admet un minimum en $\ln(0,5)$.
   $\quad$
2. Soit $k$ un réel strictement positif.
   $\begin{align*} f_k\left(\ln(k)\right)&=\ln(k)+k\e^{-\ln(k)} \\
   &=\ln(k)+\dfrac{k}{\e^{\ln(k)}} \\
   &=\ln(k)+\dfrac{k}{k}\\
   &=\ln(k)+1\end{align*}$
   $\quad$
3. Ainsi, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ ont pour coordonnées $\left(\ln(k);\ln(k)+1\right)$  et appartiennent donc à la droite d’équation $y=x+1$.
   Ainsi $A_{0,5}$, $A_1$ et $A_k$ sont alignés.
   L’affirmation est vraie.
   $\quad$

Exercice 8

1. L’appel $\texttt{liste(6)}$ renvoie une liste contenant les $6$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
   On a $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=4$, $u_3=13$, $u_4=40\neq 42$.
   Affirmation 1 fausse
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{1}{2}\times 3^n-\dfrac{1}{2}$.
   Initialisation : $u_0=0$ et $\dfrac{1}{2}\times 3^0-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$. Donc $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=3u_n+1 \\
   &=3\left(\dfrac{1}{2}\times 3^n-\dfrac{1}{2}\right)+1 \\
   &=\dfrac{1}{2}\times 3^{n+1}-\dfrac{3}{2}+1\\
   &=\dfrac{1}{2}\times 3^{n+1}-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   Donc $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$ on a $u_n=\dfrac{1}{2}\times 3^{n}-\dfrac{1}{2}$.
   Affirmation 2 vraie
   $\quad$
3. Soit $n\in \N$.
   $\begin{align*}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{2}\times 3^{n+1}-\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{2}\times 3^{n+1}-\dfrac{1}{2}\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}\times 3^n(3-1) \\
   &=3^n\end{align*}$
   Affirmation 3 vraie
   $\quad$

Le positionnement des épreuves d’enseignement de spécialité au mois de juin modifie la liste des contenus sur lesquels les élèves sont susceptibles d’être interrogés.

À compter de la session 2024, les sujets s’appuieront sur l’ensemble du programme de spécialité du cycle terminal.

Ce document a pour objectif de guider les enseignants dans la formation de leurs élèves de première et terminale de voie générale en spécialité Mathématiques. Il présente huit exemples d’exercices dans lesquels figurent des contenus et des capacités susceptibles d’être évalués lors de l’épreuve du baccalauréat. Cette liste vient compléter l’ensemble des exercices proposés lors des sessions précédentes du baccalauréat

Exercice 1       

L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

On considère l’équation différentielle $$(E):~y’+y=\e^{-x}$$

1. Soit $u$ la fonction définie sur $R$ par $u(x)=x\e^{-x}$.
   Vérifier que la fonction $u$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
2. On considère l’équation différentielle $(E’) ∶~y’+y=0$.
   Résoudre l’équation différentielle $(E’)$ sur $\R$.
   $\quad$
3. En déduire toutes les solution de l’équation différentielle $(E)$ sur $\R$.
   $\quad$
4. Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $g(0)=2$.
   $\quad$

Partie II

Dans cette partie, $k$ est un nombre réel fixé que l’on cherche à déterminer.

On considère la fonction $f_k$ définie sur $\R$ par $$f_k(x)=(x+k)\e^{-x}$$
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $$h(x)=\e^{-x}$$

On note $C_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère orthogonal et $C$ la courbe représentative de la fonction $h$.

On a représenté sur le graphique en annexe les courbes $C_k$ et $C$ sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.

1. Sur le graphique en annexe à rendre avec la copie, l’une des courbes est en traits pointillés, l’autre est en trait plein. Laquelle est la courbe $C$ ?
   $\quad$
2. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ et placer sur l’annexe à rendre avec la copie l’unité sur chacun des axes du graphique.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on désigne par $f_n$ la fonction définie sur $[0 ; 1]$ par : $$f_n(x)=x^n\e^x$$
On note $C_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère $\Oij$ du plan.
On désigne par $\left(I_n\right)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ par : $$I_n=\int_0^1 x^n\e^x\dx$$

1. a. On désigne par $F_1$ la fonction définie sur $[0 ; 1] $par :
   $$F_1(x)=(x-1)\e^x$$
   Vérifier que $F_1$ est une primitive de la fonction $f_1$.
   $\quad$
   b. Calculer $I_1$.
   $\quad$
2. À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation pour tout $n$ supérieur ou égal à $1$, $$I_{n+1}=\e-(n+1)I_n$$
   $\quad$
3. Calculer $I_2$.
   $\quad$
4. On considère la fonction $\text{mystere}$ écrite dans le langage Python :
   $$\begin{array}{l}
   \text{from math import e # la constante d’Euler e} \\
   \\
   \text{def mystere(n) :}\\
   \quad \text{a = 1} \\
   \quad \text{L = [a]}\\
   \quad \text{for i in range(1,n):}\\
   \qquad \text{a = e – (i+1)*a}\\
   \qquad \text{L.append(a)} \\
   \quad \text{return L}
   \end{array}$$
   À l’aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l’appel $\text{mystere(5)}$.
   $\quad$

Partie II

1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_{10}$, $C_{20}$, $C_{30}$.
   $\quad$
   
   $\quad$
   a. Donner une interprétation graphique de $I_n$.
   $\quad$
   b. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $\left(I_n\right)$ ?
   $\quad$
2. Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à $1$, $$0\pp I_n \pp \e \int_0^1 x^n\dx$$
   $\quad$
3. En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que :

• Un candidat pris au hasard a une probabilité $0,8$ de répondre correctement à la question Q1.
• Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité $0,6$ de répondre correctement à Q2 ; s’il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité $0,1$ de répondre correctement à Q2.

On prend un candidat au hasard et on note :

• $A$ l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q1 » ;
• $B$ l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ».

On note $\conj{A}$ et $\conj{B}$ les événements contraires de $A$ et de $B$.

1. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.
   $\quad$
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.
   $\quad$
3. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.
   $\quad$

On note :

• $X_1$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;
• $X_2$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;
• $X$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire $X=X_1+X_2$.

4. Déterminer l’espérance de $X_1$ et de $X_2$. En déduire l’espérance de $X$. Donner une interprétation de l’espérance de $X$ dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
5. On souhaite déterminer la variance de $X$.
   a. Déterminer $P(X = 0)$ et $P(X = 2)$. En déduire $P(X = 1)$.
   $\quad$
   b. Montrer que la variance de $X$ vaut $0,57$.
   $\quad$
   c. A-t-on $V(X) = V\left(X_1\right) + V\left(X_2\right)$ ? Est-ce surprenant ?
   $\quad$

Partie II

Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.

Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité $\dfrac{3}{4}$ de répondre correctement, indépendamment des autres questions.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.

1. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   $\quad$
2. Donner la valeur exacte de $P(Y = 8)$.
   $\quad$
3. Donner l’espérance et la variance de $Y$.
   $\quad$

Partie III

On suppose que les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : $Z = X+Y$.

1. Calculer l’espérance et la variance de $Z$.
   $\quad$
2. Soit $n$ un nombre entier strictement positif.
   Pour $i$ entier variant de $1$ à $n$, on note $Z_i$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la note de l’élève numéro $i$ à l’examen.
   On admet que les variables aléatoires $Z_1,~Z_2,~\ldots~,~Z_n$ sont identiques à $Z$ et indépendantes.
   On note $M_n$ la variable aléatoire qui, à un  échantillon de $n$ élèves, associe la moyenne de
   leurs $n$ notes, c’est-à-dire $$M_n=\dfrac{Z_1+Z_2+\ldots+Z_n}{n}$$
   a. Quelle est l’espérance de $M_n$ ?
   $\quad$
   b. Quelles sont les valeurs de $n$ telles que l’écart type de $M_n$ soit inférieur ou égal à $0,5$ ?
   $\quad$
   c. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que $6,3 \pp M_n \pp 8,3$ est supérieure ou égale à $0,75$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Les questions sont indépendantes.

On considère le prisme droit $ABFEDCGH$ tel que $AB = AD$.
Sa base $ABFE$ est un trapèze rectangle en $A$, vérifiant $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.

On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ tel que : $\vec{i}=\vect{AB}~;~\vec{j}=\vect{AD}~;~\vec{k}=\vect{AJ}$.

1. On donne les coordonnées de quatre vecteurs dans la base $\left(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$. Lequel est un vecteur normal au plan $(ABG)$?
   a. $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
   b. $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$
   c. $\vec{n}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$
   d. $\vec{n}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
   $\quad$
2. Parmi les droites suivantes, laquelle est parallèle à la droite $(IJ)$ ?
   a. $(DG)$
   b. $(BD)$
   c. $(AG)$
   d. $(FG)$
   $\quad$
3. Quels vecteurs forment une base de l’espace ?
   a. $\left(\vect{AB}~;~\vect{CG}\right)$
   b. $\left(\vect{AB}~;~\vect{AC}~;~\vect{AD}\right)$
   c. $\left(\vect{DA}~;~\vect{DC}~;~\vect{DG}\right)$
   d. $\left(\vect{CA}~;~\vect{CG}~;~\vect{CE}\right)$
   $\quad$
4. Une décomposition du vecteur $\vect{AG}$ comme somme de plusieurs vecteurs deux à deux orthogonaux est :
   a. $\vect{AG}=\vect{AB}+\vect{HG}$
   b. $\vect{AG}=\vect{AB}+\vect{AD}+\vect{AJ}$
   c. $\vect{AG}=\vect{AB}+\vect{BJ}+\vect{JG}$
   d. $\vect{AG}=\vect{AD}+\vect{DG}+\vect{HG}$
   $\quad$
5. Le volume du prisme droit $ABFEDCGH$ est égal à :
   a. $\dfrac{5}{8_{}}$
   b. $\dfrac{8}{5_{}}$
   c. $\dfrac{3}{2_{}}$
   d. $2$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Les questions sont indépendantes.

1. Sur l’intervalle $[0; 2\pi]$ , l’équation $\sin(x) = 0,1$ admet :
   a. zéro solution
   b. une solution
   c. deux solutions
   d. quatre solutions
   $\quad$
2. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; \pi]$ par $f(x)=x+\sin(x)$. On admet que $f$ est deux fois dérivable.
   a. La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[0 ; \pi]$
   b. La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[0 ; \pi]$
   c. La fonction $f$ admet sur l’intervalle $[0 ; \pi]$ un unique point d’inflexion
   d. La fonction $f$ admet sur l’intervalle $[0 ; \pi]$ exactement deux points d’inflexion
   $\quad$
3. Une urne contient cinquante boules numérotées de $1$ à $50$. On tire successivement trois boules dans cette urne, sans remise. On appelle « tirage » la liste non ordonnée des numéros des trois boules tirées. Quel est le nombre de tirages possibles, sans tenir compte de l’ordre des numéros?
   a. $50^3$
   b. $1\times 2\times 3$
   c. $50 \times 49 \times 48$
   d. $\dfrac{50\times 49\times 48}{1\times 2\times 3}$
   $\quad$
4. On effectue dix lancers d’une pièce de monnaie. Le résultat d’un lancer est « pile » ou « face ». On note la liste ordonnée des dix résultats.
   Quel est le nombre de listes ordonnées possibles ?
   a. $2 \times 10$
   b. $2^{10}$
   c. $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 10$
   d. $\dfrac{1\times 2\times 3\times \ldots\times 10}{1\times 2}$
   $\quad$
5. On effectue $n$ lancers d’une pièce de monnaie équilibrée. Le résultat d’un lancer est « pile » ou « face ». On considère la liste ordonnée des $n$ résultats.
   Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux fois «pile » dans cette liste ?
   a. $\dfrac{n(n-1)}{2}$
   b. $\dfrac{n(n-1)}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
   c. $1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}$
   d. $\left(1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}\right)\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 6

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\begin{cases} u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+2u_n} \text{ pour tout entier naturel }n\\u_0=1\end{cases}$

• Affirmation 1 : « $u_4 =\dfrac{1}{9}$.»
  $\quad$
• Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{2n+1}$.»
  $\quad$
•  Affirmation 3 : « La suite numérique $\left(u_n\right)$ est minorée par $10^{-10}$.»
  $\quad$

$\quad$

Exercice 7

On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par $f_k(x)=x+k\e^{-x}$, où $k$ est un réel strictement positif.

1. On s’intéresse dans cette question au cas $k= 0,5$, donc à la fonction $f_{0,5}$ définie sur $\R$ par $$f_{0,5}(x)=x+0,5\e^{-x}$$
   a. Montrer que la dérivée de $f_{0,5}$ notée $f_{0,5}’$ vérifie $f_{0,5}'(x)=1-0,5\e^{-x}$.
   $\quad$
   b. Montrer que la fonction $f_{0,5}$ admet un minimum en $\ln(0,5)$.
   $\quad$

Soit $k$ un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction $f_k$.

2. Montrer que pour tout réel positif $k$, $f_k \left(\ln(k)\right)=\ln(k)+1$.

On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On note $A_k$ le point de la courbe $\mathcal{C_k}$ d’abscisse $\ln(k)$.

On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathcal{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

3. Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
   $\bullet$ Affirmation : « Pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_{0,5}$, $A_1$ et $A_k$ sont alignés. »
   $\quad$

 

$\quad$

Exercice 8

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=3u_n+1$ pour tout entier naturel $n$.

1. On considère la fonction $\text{calcul}$ écrite dans le langage Python qui renvoie la valeur de $u_n$.
   $$\begin{array}{l}
   \color{green}{\textbf{def }} \color{black}{\text{calcul(n):}} \\
   \quad \text{u = }\color{green}{\text{0}} \\
   \quad \textbf{for } \text{i }\color{green}{\textbf{in }\text{range}} \color{black}{\text{(n):}} \\
   \qquad \text{u = }\color{green}{\text{3 }}\color{black}{\text{ *  u + }}\color{green}{\text{1}} \\
   \quad \color{green}{\textbf{return }}\color{black}{\text{u}}\end{array}$$
   On considère par ailleurs la fonction liste écrite dans le langage Python : $$\begin{array}{l}
   \color{green}{\textbf{def }} \color{black}{\text{liste(n):}} \\
   \quad \text{l = [ ]}\\
   \quad \textbf{for } \text{i }\color{green}{\textbf{in }\text{range}} \color{black}{\text{(n):}} \\
   \qquad \text{l.append( calcul(i) )}\\
   \quad \color{green}{\textbf{return }}\color{black}{\text{l}}\end{array}$$
   Affirmation 1 : « l’appel $\text{liste(6)}$ renvoie la liste $[0, 1, 4, 13, 42, 121]$. »
   $\quad$
2. Affirmation 2 : « pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{2}\times 3^n-\dfrac{1}{2}$. »
   $\quad$
3. Affirmation 3 : « pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n$ est une puissance de $3$. »
   $\quad$

$\quad$