Exercice 1

1. Une probabilité est comprise entre $0$ et $1$.
   Or $2,7\times 10^0=2,7>1$ et $2,7\times 10^7>1$.
   Réponse A
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*}\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{4}&=\dfrac{3}{5}-\dfrac{7}{10}\\
   &=\dfrac{6}{10}-\dfrac{7}{10} \\
   &=-\dfrac{1}{10}\end{align*}$
   Réponse A
   $\quad$
3. On a $\dfrac{60-80}{80}=-0,25$.
   Il s’agit donc d’une réduction de $25\%$.
   Réponse B
   $\quad$
4. Il s’agit d’une homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$.
   Réponse C
   $\quad$
5. On ordonne les nombres de la série dans l’ordre croissant. On obtient $$3-5-8-10-11-12-14-17-20$$
   Il s’agit d’une série de $9$ nombres. $\dfrac{9}{2}=4,5$.
   La médiane est donc le cinquième nombre, soit $11$.
   Réponse C
   $\quad$

Exercice 2

1. a.
   $\begin{align*}78&=2\times 39 \\
   &=2\times 3\times 13
   \end{align*}$
   $51=3\times 17$.
   $\quad$
   b. Le plus grand diviseur commun à $39$, $78$ et $51$ est $3$.
   Il peut donc préparer au maximum $3$ paniers identiques.
   $\quad$
   c. $\dfrac{39}{3}=13$ $\quad$ $\dfrac{78}{3}=26$ et $\dfrac{51}{3}=17$.
   Il y a aura donc $13$ salades, $26$ carottes et $17$ aubergines par panier.
   $\quad$
2. a. $51=3\times 13+12$
   $12$ aubergines ne seront pas utilisées.
   $\quad$
   b. Il doit cueillir au minimum $1$ aubergine supplémentaire pour pouvoir toutes les utiliser car $12+1=13$.
   Chaque panier contiendra $4$ aubergines.
   $\quad$
3. $110=8\times 13+6$ et $125=9\times 13+8$.
   Il peut donc cueillir au maximum $9\times 13=117$ tomates. Chaque panier contiendra alors $9$ tomates.
   $\quad$

Exercice 3

1. $E$ appartient à $[BD]$. De plus $BD=4,3$ m et $BE=AC=2,5$ m.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} DE&=BD-BE\\
   &=4,3-2,5 \\
   &=1,8\end{align*}$.
   Ainsi $DE=1,8$ m.
   $\quad$
2. Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ on a :
   $\sin \widehat{DFE}=\dfrac{DE}{DF}$.
   Ainsi
   $\begin{align*} DF&=\dfrac{DE}{\sin \widehat{DFE}} \\
   &=\dfrac{1,8}{\sin(30)} \\
   &=3,6\end{align*}$
   Donc $DF=3,6$ m.
   $\quad$
3. Surface du toit de la terrasse : $12\times 3,6=43,2$ m$^2$.
   $\dfrac{43,2}{6}=7,2$.
   Il doit donc acheter $8$ rouleaux de laine de roche.
   $\quad$
4. Dans le triangle $CDE$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore :
   $\begin{align*} CD^2&=CE^2+DE^2 \\
   &=8^2+1,8^2 \\
   &=64+3,24\\
   &=67,24\end{align*}$
   Par conséquent $CD=\sqrt{67,24}=8,2$ m.
   $\quad$
5. Surface du toit de la partie habitable : $12\times 8,2=98,4$ m$^2$.
   Volume de ouate de cellulose nécessaire $98,4\times 0,1=9,84$ m$^3$.
   Masse de ouate de cellulose nécessaire $9,84\times 40=393,6$ kg.

Exercice 4

1. Les droites $(PN)$ et $(VM)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(DM)$.
   Elles sont donc parallèles.
   $\quad$
2. Dans les triangles $DNP$ et $DMV$ on a :
   – $(PN)$ et $(VM)$ sont parallèles ;
   – $N$ appartient à $[DM]$ et $P$ appartient à $[DV]$.
   D’après le théorème de Thalès :
   $\dfrac{DP}{DV}=\dfrac{DN}{DM}=\dfrac{PN}{VM}$
   Donc $\dfrac{3}{3,8}=\dfrac{PN}{0,741}$
   Ainsi $PN=\dfrac{3\times 0,741}{3,8}$ d’où $PN=0,585$ km.
   Fabienne se trouve alors à $585$ m d’altitude.
   $\quad$
3. $\dfrac{3}{2}=1,5$.
   Sa vitesse moyenne est égale à $1,5$ km/h.
   $\quad$
4. Elle a donc parcouru $0,8$ km à la vitesse de $1,2$ km/h.
   $\dfrac{0,8}{1,2}=\dfrac{2}{3}$
   Elle a par conséquent parcouru cette distance en $\dfrac{2}{3}$ h soit $40$ min.
   Fabienne a donc mis $2$h $40$ min pour effectuer le trajet $DV$.
   Elle a dépassé la durée de l’aller-simple estimée.
   $\quad$

Exercice 5

1. a. $f$ n’est pas représentée par une droite. Ce n’est donc pas une fonction affine.
   $\quad$
   b. On obtient :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \boldsymbol{x}&-3&-2&-1&0&1&2\\
   \hline
   \boldsymbol{f(x)}&0&-3&-4&-3&0&5\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   c. La bonne formule est $\text{=(B1+3)*(B1-1)}$.
   Les deux autres formules ne s’annulent pas en $1$ (par exemple).
   $\quad$
2. a. $g(-2)=2\times (-2)+1=-3$.
   L’image de $-2$ par la fonction $g$ est $-3$.
   $\quad$
   b. $g(3)=2\times 3+1=7$.
   $\quad$
   c. On résout $g(x)=2$ soit $2x+1=2$ d’où $2x=1$.
   L’antécédente de $2$ par la fonction $g$ est donc $\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
   d. $g$ est une fonction affine. Elle est représentée par une droite $(d)$.
   $g(-2)=-3$ et $g(3)=7$.
   Elle passe donc par les points de coordonnées $(-2;-3)$ et $(3;7)$.
   $\quad$
   
   $\quad$
3. a. On a :
   $\begin{align*} f(x)&=(x+3)(x-1)\\
   &=x^2-x+3x-3\\
   &=x^2+2x-3\end{align*}$
   $\quad$
   b. On doit résoudre l’équation :
   $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi x^2+2x-3=2x+1\\
   &\ssi x^2=4 \end{align*}$
   Les solutions sont donc $-2$ et $2$.
   $\quad$

 

Exercice 6

1. a. Les angles $\widehat{CBA}$ et $\widehat{XBC}$ sont supplémentaires.
   Par conséquent $\widehat{XBC}=180-120=60$°.
   $\quad$
   b. On peut écrire :
   Répéter 6 fois et tourner de $60$°
   $\quad$
2. a. On trace $5$ hexagones réguliers.
   $\quad$
   b. Les côtés du premier hexagone mesurent $32$ unités.
   $\quad$
   c. Les côtés du premier hexagone mesurent $32\times 1,5=48$ unités.
   $\quad$
   d. On repart toujours du même point pour tracer les hexagones.
   On a donc obtenu le dessin 3.
   $\quad$

Exercice 1     QCM (15 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

1. D’après des chercheurs, la probabilité qu’une personne subisse une attaque mortelle par un requin au cours de sa vie, est de …
   Réponse A : $2,7\times 10^{-7}$
   Réponse B : $2,7\times 10^{0}$
   Réponse C : $2,7\times 10^{7}$
   $\quad$
2. $\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{4}=\ldots$
   Réponse A : $-\dfrac{1}{10}$
   Réponse B : $\dfrac{2}{10}$
   Réponse C : $\dfrac{7}{20}$
   $\quad$
3. Sur un site, un pantalon est vendu $60$ € au lieu de $80$ €.
   Le pourcentage de réduction est …
   Réponse A : $20\%$
   Réponse B : $25\%$
   Réponse C : $75\%$
   $\quad$
4. $ABCD$ est un parallélogramme de centre $E$
   $\quad$
   
   $\quad$
   L’homothétie de centre $A$ qui transforme $B$ en $F$ …
   Réponse A : a pour rapport $2$.
   Réponse B : transforme $G$ en $D$.
   Réponse C : transforme $C$ en $E$.
   $\quad$
5. La médiane de la série ci-dessous est … $$11-17-8-14-3-20-5-10-12$$
   Réponse A : $3$
   Réponse B : $5$
   Réponse C : $11$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     Paniers de légumes (18 points)

José, un agriculteur vivant dans la commune du Mont-Dore, veut préparer des paniers de légumes bio pour ses clients.

Il a déjà récolté $39$ salades, $78$ carottes et $51$ aubergines.
Il veut que tous les paniers aient la même composition et utiliser tous les légumes.

La décomposition de $39$ en produit de facteurs premiers est : $3\times 13$.

1. a. Décomposer en facteurs premiers les nombres $78$ et $51$.
   $\quad$
   b. En déduire le nombre de paniers maximum que José peut préparer.
   $\quad$
   c. Combien de salades, de carottes et d’aubergines y aurait-il dans chaque panier ?
   $\quad$

Finalement, José décide de préparer $13$ paniers.

2. a. Combien d’aubergines ne seront pas utilisées ? Justifier votre réponse.
   $\quad$
   b. Combien doit-il cueillir au minimum d’aubergines supplémentaires pour pouvoir toutes les utiliser ?
   $\quad$

José souhaite que ses $13$ paniers contiennent également des tomates.
Il estime qu’il en a entre $110$ et $125$ prêtes à être récoltées.

3. Combien doit-il en cueillir au maximum pour éviter les pertes et pour que chaque panier ait toujours la même composition ?
   Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     Isolation (18 points)

Matthieu souhaite isoler la toiture de sa maison. Il compte utiliser de la laine de roche pour le toit de sa terrasse et de la ouate de cellulose pour le toit de la partie habitable.

Pour savoir quelles quantités de matériaux acheter, il doit effectuer des calculs.
Il a noté sur un plan de sa maison ci-dessous (vue de profil), toutes les mesures qu’il connait :

1. Justifier que $DE = 1,8$ m.
   $\quad$
2. Montrer que la longueur $DF$ du toit de la terrasse est égale à $3,6$ m.
   Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
   $\quad$
   

On considère que :

• le toit de la terrasse est un rectangle de longueur $12$ m et de largeur $3,6$ m ;
• un rouleau de laine de roche couvre $6$ m$^2$.

3. Déterminer le nombre de rouleaux de laine de roche qu’il doit acheter pour le toit de sa terrasse.
   $\quad$
4. Montrer que la longueur $CD$ du toit de la partie habitable est égale à $8,2$ m.
   Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
   $\quad$

On considère que :

• le toit de la partie habitable est un rectangle de longueur $12$ m et de largeur $8,2$ m ;
• Matthieu souhaite installer de la ouate de cellulose sur une épaisseur de $10$ cm ;
• la densité de la ouate de cellulose est de $40$ kg/m$^3$.

5. Déterminer la masse, en kg, de ouate de cellulose qu’il doit acheter pour le toit de la partie habitable.
   Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4    Les roches de la Ouaïème (13 points)

A quelques kilomètres au nord du village de Hienghène, se trouve une des plus belles randonnées de Nouvelle-Calédonie appelée « les roches de la Ouaïème ».

Le départ se situe au niveau de la mer près d’une plage de sable blanc. Le sentier grimpe le long d’un versant de montagne et atteint un point de vue imprenable sur le Mont Panié et le lagon.

Voici quelques informations pratiques sur cette randonnée : $$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Durée estimée (Aller simple)}& 2 \text{ h} 30 \text{ min} \\ \hline
\text{Distance (Aller simple)}& 3,8 \text{ km}\\\hline
\text{Altitude}& \text{min : $0$ m / max : $741$ m} \\\hline\end{array}$$

On considère que la pente de la montagne est rectiligne.
On a schématisé le parcours $[DV]$ de la randonnée par la figure ci-dessous :

Fabienne s’est engagée sur ce parcours en partant du point $D$.
Au bout de $2$ heures, elle arrive au panneau $P$ indiquant qu’elle a déjà parcouru $3$ km.

1. Justifier que les droites $(PN)$ et $(VM)$ sont parallèles.
   $\quad$
2. Déterminer à quelle altitude $PN$ se trouve Fabienne lorsqu’elle se situe au panneau $P$.
   Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
   $\quad$
3. À quelle vitesse moyenne, en km/h, a-t-elle parcouru le trajet $[DP]$ ?$\quad$

Sur la fin du parcours $[PV]$, Fabienne marche à une vitesse moyenne de $1,2$ km/h.
On rappelle que la durée de l’aller simple est estimée à $2$ h $30$ min.

4. A-t-elle dépassé cette durée ?
   Justifier en faisant apparaître les différentes étapes.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5    Fonctions (20 points)

1. a. La fonction $f$, dont la représentation graphique est en annexe est-elle une fonction affine ? Justifier votre réponse.
   $\quad$
   b. À l’aide de ce graphique, compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ sur l’annexe.
   $\quad$
   Parmi les trois formules suivantes, l’une correspond à l’expression de la fonction $f$.
   Elle a été saisie dans la cellule $\text{B2}$ puis étendue dans la cellule $\text{C2}$ du tableau de l’annexe.
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   \quad=\color{blue}{\text{B1}}\color{black}{+3}\quad&~=(\color{blue}{\text{B1}}\color{black}{+3})*(\color{blue}{\text{B1}}\color{black}{-1)}~&=~~\text{SOMME}(\color{blue}{\text{B1}}\color{black}{:}\color{red}{\text{G1}}\color{black}{)}~~\\
   \hline
   \end{array}$$
   c. Noter la bonne formule sur votre copie.
   $\quad$
2. On considère la fonction affine $g$ définie par $g(x) = 2x + 1$.
   a. Calculer l’image de $-2$ par la fonction $g$.
   $\quad$
   b. Calculer $g(3)$.
   $\quad$
   c. Déterminer l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
   $\quad$
   d. Tracer, sur le graphique de l’annexe, la représentation graphique de la fonction $g$.
   $\quad$
3. L’expression de la fonction $f$ ci-dessus est $f(x) = (x + 3)(x-1)$.
   a. Développer et réduire l’expression $(x + 3)(x-1)$.
   $\quad$
   b. Pour quelle(s) valeur(s) de $x$, a-t-on $f(x)=g(x)$ ?
   $\quad$

Annexe

Question 1. et 2.d.

Question 1.b.

$\quad$

Exercice 6    Hexagone régulier (16 points)

Un hexagone régulier est un polygone à $6$ côtés de même longueur et dont tous les angles mesurent $120$°. Les hexagones réguliers se retrouvent fréquemment dans la nature, notamment dans les ruches d’abeilles.

1. a. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ dans la figure ci-dessous.
   $\quad$
   
   Les points $A$, $B$ et $X$ sont alignés.
   $\quad$
   b. Sur l’annexe, compléter les deux informations manquantes du bloc Hexagone pour qu’il trace un hexagone régulier.
   $\quad$

Rappel : s’orienter à $90$° permet au lutin de se déplacer vers la droite.

2. On considère le script ci-dessous qui utilise le bloc Hexagone de l’annexe :
   $\quad$
   
   $\quad$
   a. Combien d’hexagones réguliers ce script trace-t-il ?
   $\quad$
   b) Quelle est la longueur des côtés du $1^{\text{er}}$ hexagone régulier tracé ?
   $\quad$
   c) Quelle est la longueur des côtés du $2^{\text{ème}}$ hexagone régulier tracé ?
   $\quad$
   d) Parmi les dessins ci-dessous, lequel correspond à ce script ?
   $\quad$
   

$\quad$

Annexe :