Exercice 1

1. Une probabilité est comprise entre $0$ et $1$.
   Or $2,7\times 10^0=2,7>1$ et $2,7\times 10^7>1$.
   Réponse A
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*}\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{4}&=\dfrac{3}{5}-\dfrac{7}{10}\\
   &=\dfrac{6}{10}-\dfrac{7}{10} \\
   &=-\dfrac{1}{10}\end{align*}$
   Réponse A
   $\quad$
3. On a $\dfrac{60-80}{80}=-0,25$.
   Il s’agit donc d’une réduction de $25\%$.
   Réponse B
   $\quad$
4. Il s’agit d’une homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$.
   Réponse C
   $\quad$
5. On ordonne les nombres de la série dans l’ordre croissant. On obtient $$3-5-8-10-11-12-14-17-20$$
   Il s’agit d’une série de $9$ nombres. $\dfrac{9}{2}=4,5$.
   La médiane est donc le cinquième nombre, soit $11$.
   Réponse C
   $\quad$

Exercice 2

1. a.
   $\begin{align*}78&=2\times 39 \\
   &=2\times 3\times 13
   \end{align*}$
   $51=3\times 17$.
   $\quad$
   b. Le plus grand diviseur commun à $39$, $78$ et $51$ est $3$.
   Il peut donc préparer au maximum $3$ paniers identiques.
   $\quad$
   c. $\dfrac{39}{3}=13$ $\quad$ $\dfrac{78}{3}=26$ et $\dfrac{51}{3}=17$.
   Il y a aura donc $13$ salades, $26$ carottes et $17$ aubergines par panier.
   $\quad$
2. a. $51=3\times 13+12$
   $12$ aubergines ne seront pas utilisées.
   $\quad$
   b. Il doit cueillir au minimum $1$ aubergine supplémentaire pour pouvoir toutes les utiliser car $12+1=13$.
   Chaque panier contiendra $4$ aubergines.
   $\quad$
3. $110=8\times 13+6$ et $125=9\times 13+8$.
   Il peut donc cueillir au maximum $9\times 13=117$ tomates. Chaque panier contiendra alors $9$ tomates.
   $\quad$

Exercice 3

1. $E$ appartient à $[BD]$. De plus $BD=4,3$ m et $BE=AC=2,5$ m.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} DE&=BD-BE\\
   &=4,3-2,5 \\
   &=1,8\end{align*}$.
   Ainsi $DE=1,8$ m.
   $\quad$
2. Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ on a :
   $\sin \widehat{DFE}=\dfrac{DE}{DF}$.
   Ainsi
   $\begin{align*} DF&=\dfrac{DE}{\sin \widehat{DFE}} \\
   &=\dfrac{1,8}{\sin(30)} \\
   &=3,6\end{align*}$
   Donc $DF=3,6$ m.
   $\quad$
3. Surface du toit de la terrasse : $12\times 3,6=43,2$ m$^2$.
   $\dfrac{43,2}{6}=7,2$.
   Il doit donc acheter $8$ rouleaux de laine de roche.
   $\quad$
4. Dans le triangle $CDE$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore :
   $\begin{align*} CD^2&=CE^2+DE^2 \\
   &=8^2+1,8^2 \\
   &=64+3,24\\
   &=67,24\end{align*}$
   Par conséquent $CD=\sqrt{67,24}=8,2$ m.
   $\quad$
5. Surface du toit de la partie habitable : $12\times 8,2=98,4$ m$^2$.
   Volume de ouate de cellulose nécessaire $98,4\times 0,1=9,84$ m$^3$.
   Masse de ouate de cellulose nécessaire $9,84\times 40=393,6$ kg.

Exercice 4

1. Les droites $(PN)$ et $(VM)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(DM)$.
   Elles sont donc parallèles.
   $\quad$
2. Dans les triangles $DNP$ et $DMV$ on a :
   – $(PN)$ et $(VM)$ sont parallèles ;
   – $N$ appartient à $[DM]$ et $P$ appartient à $[DV]$.
   D’après le théorème de Thalès :
   $\dfrac{DP}{DV}=\dfrac{DN}{DM}=\dfrac{PN}{VM}$
   Donc $\dfrac{3}{3,8}=\dfrac{PN}{0,741}$
   Ainsi $PN=\dfrac{3\times 0,741}{3,8}$ d’où $PN=0,585$ km.
   Fabienne se trouve alors à $585$ m d’altitude.
   $\quad$
3. $\dfrac{3}{2}=1,5$.
   Sa vitesse moyenne est égale à $1,5$ km/h.
   $\quad$
4. Elle a donc parcouru $0,8$ km à la vitesse de $1,2$ km/h.
   $\dfrac{0,8}{1,2}=\dfrac{2}{3}$
   Elle a par conséquent parcouru cette distance en $\dfrac{2}{3}$ h soit $40$ min.
   Fabienne a donc mis $2$h $40$ min pour effectuer le trajet $DV$.
   Elle a dépassé la durée de l’aller-simple estimée.
   $\quad$

Exercice 5

1. a. $f$ n’est pas représentée par une droite. Ce n’est donc pas une fonction affine.
   $\quad$
   b. On obtient :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \boldsymbol{x}&-3&-2&-1&0&1&2\\
   \hline
   \boldsymbol{f(x)}&0&-3&-4&-3&0&5\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   c. La bonne formule est $\text{=(B1+3)*(B1-1)}$.
   Les deux autres formules ne s’annulent pas en $1$ (par exemple).
   $\quad$
2. a. $g(-2)=2\times (-2)+1=-3$.
   L’image de $-2$ par la fonction $g$ est $-3$.
   $\quad$
   b. $g(3)=2\times 3+1=7$.
   $\quad$
   c. On résout $g(x)=2$ soit $2x+1=2$ d’où $2x=1$.
   L’antécédente de $2$ par la fonction $g$ est donc $\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
   d. $g$ est une fonction affine. Elle est représentée par une droite $(d)$.
   $g(-2)=-3$ et $g(3)=7$.
   Elle passe donc par les points de coordonnées $(-2;-3)$ et $(3;7)$.
   $\quad$
   
   $\quad$
3. a. On a :
   $\begin{align*} f(x)&=(x+3)(x-1)\\
   &=x^2-x+3x-3\\
   &=x^2+2x-3\end{align*}$
   $\quad$
   b. On doit résoudre l’équation :
   $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi x^2+2x-3=2x+1\\
   &\ssi x^2=4 \end{align*}$
   Les solutions sont donc $-2$ et $2$.
   $\quad$

Exercice 6

1. a. Les angles $\widehat{CBA}$ et $\widehat{XBC}$ sont supplémentaires.
   Par conséquent $\widehat{XBC}=180-120=60$°.
   $\quad$
   b. On peut écrire :
   Répéter 6 fois et tourner de $60$°
   $\quad$
2. a. On trace $5$ hexagones réguliers.
   $\quad$
   b. Les côtés du premier hexagone mesurent $32$ unités.
   $\quad$
   c. Les côtés du premier hexagone mesurent $32\times 1,5=48$ unités.
   $\quad$
   d. On repart toujours du même point pour tracer les hexagones.
   On a donc obtenu le dessin 3.
   $\quad$

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