DNB – Pondichéry – Mai 2018

Pondichéry – Mai 2018

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici 

Ex 1

Exercice 1

  1. La probabilité que la boule s’arrête sur la case $8$ est $\dfrac{1}{13}$.
    $\quad$
  2. Il y a $6$ numéros impairs parmi les $13$ cases. La probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s’arrête soit un nombre impair est $\dfrac{6}{13}$.
    $\quad$
  3. Les nombres premiers compris entre $0$ et $12$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$.
    La probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s’arrête soit un nombre premier est $\dfrac{5}{13}$.
    $\quad$
  4. À chaque lancer la probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée $9$ est $\dfrac{1}{13}$ et celle que la boule s’arrête sur la case numérotée $7$ est $\dfrac{1}{13}$.
    Il y a donc autant de chances que la boule s’arrête sur la case numérotée $9$ que celle numérotée $7$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Une translation permet d’obtenir le motif $2$ à partir du motif $1$.
    $\quad$
  2. Le motif est composé de $4$ carrés complets et de $8$ triangles rectangles isocèles de côté $1$ cm.
    Un carré a une aire de $1\times 1 =1$ cm$^2$.
    Un triangle rectangle isocèle a une aire de $\dfrac{1\times 1}{2}=0,5$ cm$^2$.
    Ainsi le motif pied-de-coq a une aire de $4\times 1 + 8\times 0,5=8$ cm$^2$.
    $\quad$
  3. Si on divise les longueurs d’une figure par $2$ alors son aire est divisée par $2^2=4$.
    Marie a donc tort.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $2,53\times 10^{15}=2~530~000~000~000~000$ Réponse b
    $\quad$
  2. La latitude de l’équateur est $0$° Réponse a
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}}{7}&=\dfrac{\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}}{\dfrac{7}{1}} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{9}{6}~~}{\dfrac{7}{1}} \\
    &=\dfrac{9}{6} \times \dfrac{1}{7} \\
    &=\dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{7} \\
    &=\dfrac{3}{14}
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient successivement les nombres suivants :
    $1 \underset{-3}{\longrightarrow} -2 \underset{\text{au carré}}{\longrightarrow} 4$
    En choisissant le nombre $1$, le résultat du programme A est $4$.
    $\quad$
  2. On obtient successivement les nombres suivants :
    $-5 \underset{\text{au carré}}{\longrightarrow} 25 \underset{+3\times (-5)}{\longrightarrow} 10 \underset{+7}{\longrightarrow} 17$
    En choisissant le nombre $-5$, le résultat du programme B est $17$.
    $\quad$
  3. Dans la cellule $B3$ elle a pu saisir $=(B1-3)\wedge 2$
    $\quad$
  4. a. Le résultat du programme A est : $(x-3)^2=x^2-2\times 3\times x+3^2=x^2-6x+9$.
    $\quad$
    b. Le résultat du programme B est : $x^2+3x+7$
    $\quad$
    c. On veut que les résultats des deux programmes soient égaux.
    Donc $x^2-6x+9=x^2+3x+7$
    Soit $-6x+9=3x+7$ $\quad$ on soustrait $x^2$ au deux membres
    D’où $9=9x+7$ $\quad$ on ajoute $6x$ aux deux membres
    Ainsi $2=9x$ $\quad$ on soustrait $7$ aux deux membres
    Par conséquent $x=\dfrac{2}{9}$ $\quad$ on divise les deux membres par $9$.
    On doit donc choisir le nombre $\dfrac{2}{9}$ pour obtenir le même résultat avec les deux programmes.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Le point $H$ a pour coordonnées $(72;0)$.
    Ainsi $OH=72$ et $FH=54$ car les points $F$ et $H$ ont la même abscisse.
    Dans le triangle $OHF$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} OF^2&=OH^2+FH^2 \\
    &=72^2+54^2 \\
    &=5~184+2~916 \\
    &=8~100
    \end{align*}$
    Donc $OF=\sqrt{8~100}=90$.
    $\quad$
  2. La cible est un cercle de centre $O$ et de rayon $100$. Il ne faut donc pas que la distance $OF$ dépasse $100$.
    $\quad$
  3. a. On répète $120$ fois les lignes 4 à 8. On a donc simulé $120$ lancers.
    $\quad$
    b. La variable “score” permet de compter le nombre de fois où la fléchette a atteint la cible.
    $\quad$
    c. $\quad$

    $\quad$
    d. Dans cette simulation, la cible a été atteinte à la fréquence $\dfrac{102}{120}= \dfrac{51}{60}=\dfrac{17}{20}$.
    $\quad$
  4. Aire de la cible : $\pi \times 100^2=10~000\pi$
    Aire de la plaque carrée : $200^2=40~000$.
    La probabilité d’atteindre la cible est donc $\dfrac{10~000\pi}{40~000}=\dfrac{\pi}{4} \approx 0,79$.
    $\quad$

 

Ex 6

Exercice 6

  1. Au début de la course, la fréquence cardiaque de Chris est environ de $52$ battements par minute.
    $\quad$
  2. Au maximum la fréquence cardiaque de Chris est d’environ $160$ battements par minute.
    $\quad$
  3. $10$h$26$min-$9$h$33$ $=53$min
    Sa course a durée $53$ minutes.
    $\quad$
  4. La course a duré $53$ min $=\dfrac{53}{60}$h.
    La vitesse moyenne est donc $v=\dfrac{11}{~~\dfrac{53}{60}~~}\approx 12,5$ km/h.
    $\quad$
  5. $0,7 \times 190=133$ et $0,85\times 190=161,5$.
    Chris fourni un effort soutenu quand sa FCM est comprise ente $133$ et $162$ battements par minute.
    Cela se produit donc de (environ) $8$ minutes à $41$ minutes.
    Il a donc fourni un effort soutenu pendant $33$ minutes environ.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin 30=\dfrac{AH}{AB}$
    Soit $\sin 30=\dfrac{AH}{7}$
    Donc $AG=7\sin 30 =3,5$ cm.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABC$ on a $\widehat{BAC}=90$°, $\widehat{ABC}=30$° et $\widehat{BCA}=180-(90+30)=60$° (la somme des angles d’un triangle vaut $180$°).
    Dans le triangle $HAC$ on a $\widehat{AHB}=90$°, $\widehat{ABH}=30$° et $\widehat{BAH}=180-(90+30)=60$° (la somme des angles d’un triangle vaut $180$°).
    Les angles des deux triangles ont les mêmes mesures: ils sont donc semblables.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, le côté adjacent à l’angle de $30°$ qui ne soit pas l’hypoténuse est $[AB]$ et $AB=7$ cm.
    Dans le triangle $HAC$ rectangle en $H$, le côté adjacent à l’angle de $30$° qui ne soit pas l’hypoténuse est $[AH]$ et $AH=3,5$.
    Le coefficient de réduction permettant de passer du triangle $ABC$ au triangle $HAC$ est donc : $k=\dfrac{3,5}{7}=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     13 points

On considère un jeu composé d’un plateau tournant et d’une boule. Représenté ci-dessous, ce plateau compote $13$ cases numérotées de $0$ à $12$.

On lance la boule sur le plateau. La boule finit pas s’arrêter au hasard sur une case numérotée.

La boule a la même probabilité de s’arrêter sur chaque case.

  1. Quelle est la probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée $8$?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s’arrête soit un nombre impair?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s’arrête soit un nombre premier?
    $\quad$
  4. Lors des deux derniers lancers , la boule s’est arrêtée à chaque fois sur la case numérotée $9$. A-t-on maintenant plus de chances que la boule s’arrête sur la case numérotée $9$ plutôt que sur la case numérotée $7$? Argumenter à l’aide d’un calcul de probabilités.
    $\quad$

Exercice 2     9 points

Le pavage représenté sur la figure 1 est réalisé à partir d’un motif appelé pied-de-coq qui est présent sur de nombreux tissus utilisés pour la fabrication de vêtements.
Le motif pied-de-coq est représenté par le polygone ci-dessous à droite (figure 2) qui peut être réalisé à l’aide d’un quadrillage régulier.

  1. Sur la figure 1, quel type de transformation géométrique permet d’obtenir le motif 2 à partir du motif 1?
    $\quad$
  2. Dans cette question, on considère que : $AB=1$ cm (figure 2).
    Déterminer l’aire d’un motif pied-de-coq.
    $\quad$
  3. Marie affirme “si je divise par $2$ les longueurs d’un motif, son aire sera aussi divisée par $2$”.
    A-t-elle raison? Expliquer pourquoi.
    $\quad$

Exercice 3     9 points

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées et une seule est exacte. Une réponse fausse ou absente n’enlève pas de point.

Pour chacune des trois questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la bonne réponse.

  1. $2,53 \times 10^{15} =$
    a. $2,530~000~000~000~000~00$
    b. $2~530~000~000~000~000$
    c. $253~000~000~000~000~000$
    d. $37,95$
    $\quad$
  2. La latitude de l’équateur est :
    a. $0$°
    b. $90$° Est
    c. $90$° Nord
    d. $90$° Sud
    $\quad$
  3. $\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}}{7}=$
    a. $\dfrac{3}{14}$
    b. $\dfrac{1}{9}$
    c. $0,214~285~714$
    d. $0,111~111~111$
    $\quad$

Exercice 4     18 points

$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Programme A}&\text{Programme B} \\
\hspace{1cm} \bullet \text{ Choisir un nombre}&\hspace{1cm} \bullet \text{ Choisir un nombre} \\
\hspace{1cm} \bullet \text{ Soustraire }3&\hspace{1cm} \bullet \text{ Calculer le carré de ce nombre}\\
\hspace{1cm} \bullet \text{ Calculer le carré du résultat obtenu}&\hspace{1cm} \bullet \text{ Ajouter le triple du nombre de départ}\\
&\hspace{1cm} \bullet \text{ Ajouter }7\\
\hline
\end{array}$

  1. Corinne choisit le nombre $1$ et applique le programme A. Expliquer en détaillant les calculs que le résultat du programme de calcul est $4$.
    $\quad$
  2. Tidjane choisit le nombre $-5$ et applique le programme B. Quel résultat obtient-il?
    $\quad$
  3. Lina souhaite regrouper le résultat de chaque programme à l’aide d’un tableur. Elle crée la feuille calcul ci-dessous. Quelle formule, copiée ensuite à droite dans les cellules $C3$ à $H3$, a-t-elle saisie dans la cellule $B3$?

    $\quad$
  4. Zoé cherche à trouver un nombre de départ pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat. Pour cela, elle appelle $x$ le nombre choisi au départ et exprime le résultat de chaque programme de calcul en fonction de $x$.
    a. Montrer que le résultat du programme A en fonction de $x$ peut s’écrire sous forme développée et réduite : $x^2-6x+9$.
    $\quad$
    b. Écrire le résultat du programme B en fonction de $x$.
    $\quad$
    c. Existe-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat?
    Si oui, lequel?
    $\quad$

Exercice 5     20 points

Dans tout l’exercice, l’unité de longueur est le mm.

On lance une fléchette sur une plaque carrée sur laquelle figure une cible circulaire (en gris la figure). Si la points de la fléchette est sur le bord de la cible, on considère que la cible n’est pas atteinte.

On considère que cette expérience est aléatoire et l’on s’intéresse à la probabilité que le fléchette atteigne la cible.

  • La longueur du côté de la plaque carrée est $200$.
  • Le rayon de la cible est $100$.
  • La fléchette est représentée par le point $F$ de coordonnées $(x;y)$ où $x$ et $y$ sont des nombres aléatoires compris entre $-100$ et $100$.
  1. Dans l’exemple ci-dessus, la fléchette $F$ est située au point de coordonnées $(72;54)$.
    Montrer que la distance $OF$, entre la fléchette et l’origine du repère, est $90$.
    $\quad$
  2. D’une façon générale, quel nombre ne doit pas dépasser la distance $OG$ pour que la fléchette atteigne la cible?
    $\quad$
  3. On réalise un programme qui simule plusieurs fois le lancer de cette fléchette sur la plaque carrée et qui compte le nombre de lancers atteignant la cible. Le programmeur a créé trois variables nommées : carré de OFdistance et score.
    a. Lorsqu’on exécute ce programme, combien de lancers sont simulés?
    $\quad$
    b. Quel est le rôle de la variable score ?
    $\quad$
    c. Compléter et recopier sur la copie uniquement les lignes 5, 6 et 7 du programme afin qu’il fonctionne correctement.
    $\quad$
    d. Après une exécution du programme, la variable score est égale à $102$. À quelle fréquence la cible a-t-elle été atteinte dans cette simulation? Exprimer le résultat sous la forme d’une fraction irréductible?
    $\quad$
  4. On admet que la probabilité d’atteindre la cible est égale au quotient : aire de la cible divisée par aire de la plaque carrée. Donner une valeur approchée de cette probabilité au centième près.
    $\quad$

Exercice 6     15 points

Chris fait une course à vélo tout terrain (VTT). Le graphique ci-dessous représente sa fréquence cardiaque (en battements par minute) en fonction du temps lors de la course.

  1. Quelle est la fréquence cardiaque de Chris au départ de sa course?
    $\quad$
  2. Quel est le maximum de la fréquence cardiaque atteinte par Chris au cours de sa course?
    $\quad$
  3. Chris est parti à $9$h$33$ de chez lui et termine sa course à $10$h$2$. Quelle a été la durée, en minutes, de sa course?
    $\quad$
  4. Chris a parcouru $11$ km lors de cette course. Montrer que sa vitesse moyenne est d’environ $12,5$ km/h.
    $\quad$
  5. On appelle FCM (Fréquence Cardiaque Maximale) la fréquence maximale que peut supporter l’organisme. Celle de Chris est FCM = $190$ battements par minute. En effectuant des recherches sur des sites internet spécialisés, il a trouvé le tableau suivant.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Effort}&\text{léger}&\text{soutenu}&\text{tempo}&\text{seuil anaérobie}\\
    \hline
    \text{Fréquence cardiaque}&\text{Inférieur à }70\%&70\text{ à }85\% \text{ de la}&85\text{ à }92\% \text{ de la}&92\text{ à }97\% \text{ de la}\\
    \text{mesurée}&\text{de la FCM}&\text{FCM}&\text{FCM}&\text{FCM}\\
    \hline
    \end{array}$
    Estimer la durée de la période pendant laquelle Chris a fourni un effort soutenu au cours de sa course.
    $\quad$

Exercice 7     16 points

La figure ci-dessus n’est pas à l’échelle.

On considère ci-dessus un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $\widehat{ABC}=30$° et $AB=7$ cm. $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.

  1. Tracer la figure en vraie en grandeur sur la copie. Laisser les traits de construction apparents sur la copie.
    $\quad$
  2. Démontrer que $AH=3,5$ cm.
    $\quad$
  3. Démontrer que les triangles $ABC$ et $HAC$ sont semblables.
    $\quad$
  4. Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer du triangle $ABC$ au triangle $HAC$.
    $\quad$