TS – DM – eq et exp – Ex 1

Correction

La fonction $f$ étant dérivable sur $[0;1]$ est continue sur cet intervalle. Par conséquent la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par $g(x) = f(x) – x$ est également continue sur $[0;1]$.

La fonction $g$ est la somme des fonctions $f$ et $x \mapsto -x$ toutes les deux strictement décroissantes sur $[0;1]$. $g$ est donc strictement décroissante sur $[0;1]$.

$g(0) = f(0) – x = f(0) > 0$ et $g(1) = f(1) – 1 < 0$. On ne peut avoir $g(0) = 0$ car sinon $f$, étant strictement décroissante sur $[0;1]$ ne prendrait pas ses valeurs dans $[0;1]$. Pour la même raison $g(1) \ne 0$.

$0 \in ]g(0);g(1)[$.

D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x) = 0$ possède une unique solution dans $]0;1[$.

Cela signifie donc que l’équation $f(x) = x$ possède une unique solution dans $]0;1[$.