Positions relatives de droites

2nd – Exercices corrigés

Dans tous les exercices, le plan muni d’un repère orthonormal.

Exercice 1

Déterminer dans chacun des cas si les droites $d$ et $d’$ sont parallèles ou sécantes.

$d$ a pour équation $2x+3y-5=0$ et $d’$ a pour équation $4x+6y+3=0$.
$\quad$
$d$ a pour équation $-5x+4y+1=0$ et $d’$ a pour équation $6x-y-2=0$.
$\quad$
$d$ a pour équation $7x-8y-3=0$ et $d’$ a pour équation $6x-9y=0$.
$\quad$
$d$ a pour équation $9x-3y+4=0$ et $d’$ a pour équation $-3x+y+4=0$.
$\quad$

Correction Exercice 1

On va utiliser la propriété suivante :

Propriété : On considère deux droites $d$ et $d’$ dont des équations cartésiennes sont respectivement $ax+by+c=0$ et $a’x+b’y+c’=0$.

$d$ et $d’$ sont parallèles si, et seulement si, $ab’-a’b=0$.

$d$ a pour équation $2x+3y-5=0$ et $d’$ a pour équation $4x+6y+3=0$.
$2\times 6-3\times 4=12-12=0$.
Les droites $d$ et $d’$ sont donc parallèles.
$\quad$
$d$ a pour équation $-5x+4y+1=0$ et $d’$ a pour équation $6x-y-2=0$.
$-5\times (-1)-4\times 6=5-24=-19\neq 0$.
Les droites $d$ et d$’$ sont donc sécantes.
$\quad$
$d$ a pour équation $7x-8y-3=0$ et $d’$ a pour équation $6x-9y=0$.
$7\times (-9)-(-8)\times 6=-63+48=-15\neq 0$.
Les droites $d$ et d$’$ sont donc sécantes.
$\quad$
$d$ a pour équation $9x-3y+4=0$ et $d’$ a pour équation $-3x+y+4=0$.
$9\times 1-(-3)\times (-3)=9-9=0$.
Les droites $d$ et $d’$ sont donc parallèles.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On donne les points suivants : $A(2;-1)$ $\quad$ $B(4;2)$ $\quad$ $C(-1;0)$ $\quad$ $D(1;3)$

Déterminer une équation cartésienne de deux droites $(AB)$ et $(CD)$.
$\quad$
Étudier la position relative de ces deux droites.
$\quad$

Correction Exercice 2

On a $\vect{AB}(2;3)$. Soit $M(x;y)$ un point du plan.
$\vect{AM}(x-2;y+1)$.
$M$ appartient à la droite $(AB)$
$\ssi$ $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires.
$\ssi$ det$\left(\vect{AM},\vect{AB}\right)=0$
$\ssi 3(x-2)-2(y+1)=0$
$\ssi 3x-6-2y-2=0$
$\ssi 3x-2y-8=0$
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $3x-2y-8=0$.
$\quad$
On a $\vect{CD}(2;3)$.
Une équation cartésienne de la droite $(CD)$ est donc de la forme $3x-2y+c=0$
Le point $C(-1;0)$ appartient à la droite $(CD)$.
Donc $-3+0+c=0 \ssi c=3$
Une équation cartésienne de la droite $(CD)$ est donc $3x-2y+3=0$
$\quad$
Une équation cartésienne de $(AB)$ est $3x-2y-8=0$ et une équation cartésienne de $(CD)$ est $3x-2+3=0$
$3\times (-2)-(-2)\times 3=-6+6=0$
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc parallèles.
Regardons si ces droites sont confondues en testant, par exemple, si les coordonnées du point $C(-1;0)$ vérifient l’équation de $(AB)$.
$3\times (-1)+0-8=-3-8=-11\neq 0$ : le point $C$ n’appartient pas à la droite $(AB)$.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc strictement parallèles.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Par lecture graphique, déterminer l’équation réduite des quatre droites représentées sur ce graphique .
$\quad$
Déterminer par le calcul les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$.
$\quad$
Vérifier graphiquement les réponses précédentes.
$\quad$

Correction Exercice 3

L’équation réduite de $(d_1)$ est $y = 4$.
L’équation réduite de $(d_2)$ est $y= -x+2$.
L’équation réduite de $(d_3)$ est $y=3x-3$.
L’équation réduite de $(d_4)$ est $y=\dfrac{1}{2}x +2$
$\quad$
Pour trouver les coordonnées de $A$ on résout le système $\begin{cases} y=-x+2 \\\\y=3x-3 \end{cases}$
On obtient $\begin{cases} x= \dfrac{5}{4} \\\\y=\dfrac{3}{4} \end{cases}$
Par conséquent $A\left(\dfrac{5}{4};\dfrac{3}{4}\right)$.
$\quad$
Les coordonnées de $B$ vérifient le système $\begin{cases} y = \dfrac{1}{2}x+2 \\\\y=3x-3 \end{cases}$
On obtient $\begin{cases} x=2 \\\\y=3 \end{cases}$.
Par conséquent $B(2;3)$.
$\quad$
Les coordonnées de $C$ vérifient le système $\begin{cases} y=4 \\\\y=3x-3\end{cases}$
Par conséquent $C\left(\dfrac{7}{3};4\right)$.
$\quad$
On vérifie que les coordonnées de ces points correspondent avec celles qu’on peut lire sur le graphique.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère les points $A(-3;4)$, $B(6;1)$, $C(-2;1)$ et $D(0;3)$.

Placer ces points dans un repère orthonormal.
$\quad$
Le point $D$ est-il un point de la droite $(AB)$? Justifier à l’aide d’un calcul.
$\quad$
La parallèle à $(AC)$ passant par $D$ coupe la droite $(BC)$ en $E$.
a. Déterminer une équation de la droite $(DE)$.
$\quad$
b. Déterminer l’équation réduite de la droite $(CB)$.
$\quad$
c. En déduire les coordonnées du point $E$.
$\quad$

Correction Exercice 4

$\quad$

$\quad$
Regardons si les droites $(AB)$ et $(AD)$ ont le même coefficient directeur.
Coefficient directeur de $(AB)$ : $a_1 = \dfrac{ 1-4}{6-(-3)} = \dfrac{-1}{3}$.
Coefficient directeur de $(AD)$ : $a_2 = \dfrac{3-4}{0-(-3)} = \dfrac{-1}{3}$.
Les deux coefficients directeurs sont égaux. Par conséquent les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont parallèles et les points $A, D$ et $B$ sont alignés.
$\quad$
a. Le coefficient directeur de $(AC)$ est $a_3 = \dfrac{1-4}{-2-(-3)} = -3$.
Une équation de $(DE)$ est donc de la forme $y=-3x+b$.
Les coordonnées de $D$ vérifient cette équation : $3 =-2 \times 0 + b$ donc $b=3$.
Une équation de $(DE)$ est par conséquent $y=-3x+3$.
$\quad$
b. $B$ et $C$ ont la même ordonnée. L’équation réduite de $(BC)$ est donc $y=1$.
$\quad$
c. Les coordonnées du point $E$ vérifient le système :
$\begin{align*} \begin{cases} y=-3x+3 \\\\y=1 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} 1 = -3x+3 \\\\y=1 \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{2}{3} \\\\ y = 1 \end{cases} \end{align*}$
Les coordonnées de $E$ sont donc $\left(\dfrac{2}{3};1\right)$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On donne les points $A(1;2)$ et $B(-4;4)$ ainsi que la droite $(d)$ d’équation $y = -\dfrac{7}{11}x + \dfrac{3}{11}$.

Déterminer les coordonnées du point $P$ de $(d)$ d’abscisse $3$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $Q$ de $(d)$ d’ordonnée $-4$.
$\quad$
Les points $E(-3;2)$ et $F(2~345;-1~492)$ appartiennent-ils à la droite $(d)$?
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $K$ intersection de $(d)$ et $(AB)$.
$\quad$

Correction Exercice 5

$y_P = -\dfrac{7}{11} \times 3 + \dfrac{3}{11} = -\dfrac{18}{11}$.
Donc les coordonnées de $P$ sont $\left(3;-\dfrac{18}{11}\right)$.
$\quad$
On a $-4 = -\dfrac{7}{11}x + \dfrac{3}{11}$ $\Leftrightarrow -\dfrac{47}{11} = -\dfrac{7}{11}x$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{47}{7}$.
Les coordonnées de $Q$ sont donc $\left(\dfrac{47}{7};-4\right)$.
$\quad$
$-\dfrac{7}{11}\times (-3) + \dfrac{3}{11} = \dfrac{24}{11} \ne 2$. Donc $E$ n’appartient pas $(d)$.
$\quad$
$-\dfrac{7}{11} \times 2~345 + \dfrac{3}{11} = – \dfrac{16~412}{11} = -1~492$. Le point $F$ appartient donc à $(d)$.
$\quad$
Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. L’équation réduite de la droite $AB$ est donc de la forme $y=ax+b$.
Le coefficient directeur de $(AB)$ est $a = -\dfrac{4-2}{-4-1} = -\dfrac{2}{5}$.
L’équation réduite de $(AB)$ est de la forme $y=-\dfrac{2}{5}x+b$.
Les coordonnées de $A$ vérifient l’équation.
Donc $2 = -\dfrac{2}{5} \times 1 + b$ soit $b = \dfrac{12}{5}$.
L’équation réduite de $(AB)$ est donc $y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{12}{5}$.
$\quad$
Les coordonnées de $K$ vérifient le système :
$\begin{align*} \begin{cases} y = -\dfrac{2}{5}x + \dfrac{12}{5} \\\\y = -\dfrac{7}{11}x + \dfrac{3}{11} \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{12}{5} \\\\-\dfrac{2}{5}x + \dfrac{12}{5} = -\dfrac{7}{11}x+\dfrac{3}{11} \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{12}{5} \\\\ -\dfrac{2}{5}x+\dfrac{7}{11}x = \dfrac{3}{11} – \dfrac{12}{5} \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{12}{5} \\\\ \dfrac{13}{55}x = -\dfrac{117}{55} \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{12}{5} \\\\ x = -9 \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x = -9 \\\\y=6 \end{cases} \end{align*}$
Donc $K(-9;6)$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Tracer les droites $d$ et $d’$ d’équation respective $y=x+1$ et $y=-2x+7$.
$\quad$
Justifier que ces deux droites soient sécantes.
$\quad$
Déterminer par le calcul les coordonnées de leur point d’intersection $A$.
$\quad$
$d’$ coupe l’axe des abscisses en $B$. Quelles sont les coordonnées de $B$?
$\quad$
$d$ coupe l’axe des ordonnées en $D$. Quelles sont les coordonnées de $D$?
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $C$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
$\quad$

Correction Exercice 6

$\quad$

$\quad$
Les deux droites ont pour coefficient directeur respectif $1$ et $-2$. Puisqu’ils ne sont pas égaux, les droites sont sécantes.
$\quad$
Les coordonnées de $A$ vérifient le système $\begin{cases} y=x+1 \\\\y=-2x+7 \end{cases}$.
On obtient ainsi $\begin{cases} x=2\\\\y=3\end{cases}$.
Donc $A(2;3)$.
$\quad$
L’ordonnée de $B$ est donc $0$.
Son abscisse vérifie que $0 = -2x + 7$ soit $x = \dfrac{7}{2}$.
Donc $B\left(\dfrac{7}{2};0\right)$.
$\quad$
L’abscisse de $D$ est $0$ donc son ordonnée est $y=0+1 = 1$ et $D(0;1)$
$\quad$
Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, cela signifie que $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu. Les coordonnées de $C(x;y)$ vérifient donc :
$\begin{cases} \dfrac{2+x}{2} = \dfrac{\dfrac{7}{2} + 0}{2} \\\\ \dfrac{3 + y}{2} = \dfrac{0 + 1}{2} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{3}{2} \\\\ y = -2 \end{cases}$
Donc $C\left(\dfrac{3}{2};-2\right)$.
$\quad$

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$\quad$