1ES – Exercices – Suites

Les suites

Exercice 1

Soit $\left(v_n\right)$ la suite géométrique de premier terme $v_0=3$ et de raison $2$.

  1. Déterminer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
    $\quad$
  2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. On a $v_1=q\times v_0=2\times 3 = 6$
    $v_2=q\times v_1=2\times 6=12$
    $v_3=q\times v_2=2\times 12=24$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=v_0\times q^n=3\times 2^n$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

$\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q$.
Pour chacun des cas suivants, calculer $v_4$.

  1. $v_0=2$ et $q=4$.
    $\quad$
  2. $v_1=5$ et $q=-3$.
    $\quad$
  3. $v_6=7$ et $q=3$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On a $v_4=v_0\times q^4=2\times 4^4=512$
    $\quad$
  2. On a $v_4=v_1\times q^3=5\times (-3)^3=-135$
    $\quad$
  3. On a $v_6=v_4\times q^2$
    Donc $7=v_4\times 3^2$ soit $7=v_4\times 9$.
    Par conséquent $v_4=\dfrac{7}{9}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 3

Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q$.

Calcul $u_1$ et $q$ sachant que $u_7=\dfrac{3}{2}$ et $u_{10}=\dfrac{4}{9}$.

$\quad$

Correction Exercice 3

On a $u_{10}=u_7\times q^3$
Donc $\dfrac{4}{9}=u_7\times \dfrac{3}{2}$
Par conséquent $q^3=\dfrac{~~\dfrac{4}{9}~~}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{8}{27}=\dfrac{2^3}{3^3}$
Ainsi $q=\dfrac{2}{3}$.

De plus $u_7=u_1\times q^6$ soit $\dfrac{3}{2}=u_1\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^6$
Donc $u_1=\dfrac{~~\dfrac{3}{2}~~}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^6}=\dfrac{2~187}{128}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=250$ et $u_{n+1}=0,6u_n+400$.

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-1~000$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,6$. Quel est son terme initial?
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. $u_1=0,6\times u_0+400=0,6\times 250+400=550$
    $u_2=0,6\times u_1+400=0,6\times 550+400=730$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~000$. Par conséquent $u_n=v_n+1~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~000 \\
    &=0,6u_n+400-1~000\\
    &=0,6u_n-600\\
    &=0,6\left(v_n+1~000\right)-600\\
    &=0,6v_n+600-600\\
    &=0,6v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $v_0=u_0-1~000=-750$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-750\times 0,6^n$.
    $\quad$
    c. Or, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=v_n+1~000$.
    Donc $u_n=1~000-750\times 0,6^n$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par récurrence par : $u_0=1$ et, quel que soir l’entier naturel $n$ : $u_{n+1}-u_n=n$.

  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.
    $\quad$
  2. Calculer $u_{11}-u_4$ puis $u_{n+5}-u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. On a $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ on peut écrire $u_{n+1}=u_n+n$.
    Donc $u_1=u_0+0=1$ $\quad$ car $u_1=u_{0+1}$ donc $n=0$.
    $u_2=u_1+1=2$
    $u_3=u_2+2=4$
    $u_4=u_3+3=7$
    $u_5=u_4+4=11$
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, on trouve que $u_{11}=56$.
    Donc $u_{11}-u_4=56-7=49$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_{n+1}=u_n+n$
    $u_{n+2}=u_{n+1}+n+1=u_n+n+n+1=u_n+2n+1$
    $u_{n+3}=u_{n+2}+n+2=u_n+2n+1+n+2=u_n+3n+3$
    $u_{n+4}=u_{n+3}+n+3=u_n+3n+3+n+3=u_n+4n+6$
    $u_{n+5}=u_{n+4}+n+4=u_n+4n+6+n+4=u_n+5n+10$
    Donc $u_{n+5}-u_n=5n+10$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$