Exercice 1

1. $\quad$
   $\begin{align*}\dfrac{5^7\times 5^3}{5^2}&=\dfrac{5^{10}}{5^2}\\&=5^8\end{align*}$
   Réponse C
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{630}{882}&=\dfrac{2\times 315}{2\times 441} \\
   &=\dfrac{9\times 35}{9\times 49} \\
   &=\dfrac{5\times 7}{7\times 7} \\
   &=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
   Réponse A
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align*} A&=(x-2)(3x+7) \\
   &=3x^2+7x-6x-14\\
   &=3x^2+x-14\end{align*}$
   Réponse C
   $\quad$
4. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Ainsi $(2x+1)(-x+3)=0$ si, et seulement si, $2x+1=0$ ou $-x+3=0$.
   Les solutions de l’équation sont donc $-\dfrac{1}{2}$ et $3$.
   Réponse B
   $\quad$
5. La probabilité de tirer une boule noire est égale à $\dfrac{3}{9}$.
   La probabilité de ne pas tirer une boule noire est égale à $1-\dfrac{3}{9}=\dfrac{6}{9}$
   Réponse C
   $\quad$

Exercice 2

1. $280\times 0,50=140$.
   Il va payer $140$ euros avec le tarif « Affaire ».
   $\quad$
2. Avec le tarif « Affaire » il payera $450\times 0,50=225$ euros.
   Avec le tarif « Voyage court » il payera $120+0,20\times 450=210$ euros.
   Avec le tarif « Voyage long » il payera $230$ euros.
   L’offre « Voyage court » est don la plus avantageuse financièrement pour parcourir $450$ km.
   $\quad$
3. a. La fonction $l$ est associée au tarif « Voyage long ».
   La fonction $m$ est associée au tarif « Affaire ».
   La fonction $n$ est associée au tarif « Voyage court ».
   $\quad$
   b. On veut résoudre l’équation $0,5x=0,2x+120$ soit $0,3x=120$.
   Donc $x=400$
   Les deux tarifs sont égaux si la distance parcourue est égale à $400$ km.
   $\quad$
4. a. On obtient les courbes suivantes :
   $\quad$
   
   $\quad$
   b. Graphiquement, la courbe représentant la fonction $l$ est en-dessous des deux autres si on parcourt au moins $550$ km.
   $\quad$
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie A

1. Le triangle $SLP$ est équilatéral. Par conséquent $\widehat{PSL}=60$°.
   $\quad$
2. L’image du cerf-volant 2 par la symétrie d’axe $(PL)$ est le cerf-volant 5.
   $\quad$
3. L’image du cerf-volant 1 par la symétrie de centre $J$ est le cerf-volant $6$.
   $\quad$

Partie B

1. On obtient le cerf-volant suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. Seul le script d’Essya possède deux rotations de $90$°.
   C’est donc celui-ci qui est correct.
   $\quad$

Exercice 4

1. On peut écrire $=\text{somme(B2:B13)}$.
   $\quad$
2. $\dfrac{2~801~172}{12}=233~431$.
   Le nombre moyen de passages par moi est égal à $233~431$.
   $\quad$
3. L’étendue est égale à $389~250-62~930=326~320$.
   $\quad$
4. $\dfrac{305~214-179~699}{179~699}\approx 0,698$.
   Il y a donc une augmentation du nombre de passages de véhicules d’environ $69\%$.
   $\quad$
5. $10$ min $=\dfrac{1}{6}$ h et $3~000$ m $=3$ km.
   La vitesse moyenne du cycliste est donc $v=\dfrac{~3~}{\dfrac{1}{6}}=18$ km/h.
   $\quad$

 

Exercice 5

1. La piscine mesure $6$ m de long.
   $BC=1,8+6+12,20=20$ m
   $\quad$
2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a
   $\begin{align*} \tan\widehat{BCA}&=\dfrac{AB}{BC} \\
   &=\dfrac{5,5}{20} \\
   &=0,275\end{align*}$
   Par conséquent $\widehat{BCA}\approx 15,4$°.
   Par conséquent $\widehat{BCA}<30$°.
   Le positionnement de la tyrolienne est donc conforme à la réglementation en vigueur.
   $\quad$
3. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
   $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
   &=20^2+5,5^2 \\
   &=430,25\end{align*}$
   Donc $AC\approx 21$ m
   $\quad$
4. Dans les triangles $CDE$ et $CBA$, les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires à la droite $(BC)$. Elles sont donc parallèles.
   D’après le théorème de Thalès :
   $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{DE}{AB}$ soit $\dfrac{CD}{20}=\dfrac{1,5}{5,5}$
   Par conséquent $CD=\dfrac{1,5\times 20}{5,5}$
   Ainsi $CD\approx 5,45$ m.
   $\quad$
5. Le volume de la piscine est :
   $\begin{align*} V&=6\times 6\times 1,6 \\
   &=57,6\end{align*}$
   Le volume de la piscine est égale à $57,6$ m$^3$.
   $\quad$

 

Exercice 1     20 points

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples).
Chaque question n’a qu’une seule bonne réponse.
Pour chaque question, précisez sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.
Aucun point ne sera retiré en cas de mauvaise réponse.

1. $\dfrac{5^7\times 5^3}{5^2}$
   Réponse A : $5^{13}$
   Réponse B : $5^{5}$
   Réponse C : $5^{8}$
   $\quad$
2. La fraction irréductible égale à $\dfrac{630}{882}$ est :
   Réponse A : $\dfrac{5}{7_{}}$
   Réponse B : $\dfrac{35}{49_{}}$
   Réponse C : $\dfrac{315}{441}$
   $\quad$
3. Une expression développée de $A=(x-2)(3x+7)$ est
   Réponse A : $3x^2+13x+14$
   Réponse B : $3x^2+x+5$
   Réponse C : $3x^2+x-14$
   $\quad$
4. Les solutions de l’équation $(2x+1)(-x+3)=0$ sont :
   Réponse A : $2$ et $-3$
   Réponse B : $-\dfrac{1}{2}$ et $3$
   Réponse C : $-1$ et $-3$
   $\quad$
5. Une urne contient $9$ boules indiscernables au toucher :
   $\bullet$ $3$ boules noires,
   $\bullet$ $4$ boules blanches,
   $\bullet$ $2$ boules rouges.
   Quelle est la probabilité de ne pas tirer de boule noire ?
   Réponse A : $\dfrac{2}{9_{}}$
   Réponse B : $\dfrac{1}{3_{}}$
   Réponse C : $\dfrac{6}{9}$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Yanis vit en France métropolitaine. Il part cet été en Guadeloupe en vacances.
Il se renseigne quant aux locations de véhicules.
Une société de location de voitures à Pointe-à-Pitre propose les tarifs suivants pour un véhicule 5 places de taille moyenne, assurances non comprises :

•  Tarif « Affaire » : $0,50$ € par kilomètre parcouru.
• Tarif « Voyage court » : un forfait de $120$ € puis $20$ centimes par kilomètre parcouru.
• Tarif « Voyage long » : un forfait de $230$ €, quel que soit le nombre de kilomètres effectués.

1. Yanis a préparé son plan de route et il fera $280$ km. Il choisit le tarif « Affaire ».
   Combien va-t-il payer ?
   $\quad$
2. S’il parcourt $450$ km, quelle offre est la plus avantageuse financièrement ?
   $\quad$
3. Dans la suite, $x$ désigne le nombre de kilomètres parcourus en voiture.
   On considère les trois fonctions $l$, $m$, $n$ suivantes :
   $$l(x) = 230 \qquad m(x) = 0,5x \qquad n(x) = 0,2x +120$$
   a. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.
   $\quad$
   b. Déterminer le nombre de kilomètres à parcourir pour que le tarif « Voyage court » soit égal au tarif « Affaire ».
   $\quad$
4. a. Sur l’annexe jointe, tracer les courbes représentatives des fonctions $l$, $m$ et $n$ sur la feuille « Annexes ».
   $\quad$
   b. Déterminez graphiquement le nombre de kilomètres que devra atteindre Yanis pour que le tarif « Voyage long »soit le plus avantageux.
   On laissera les traits de constructions apparents sur le graphique.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

La figure ci-dessous est un pavage constitué de cerfs-volants.
Les triangles $SLP$ et $PLA$ ainsi formés sont des triangles équilatéraux.

PARTIE A :

1. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{PSL}$.
   $\quad$
2. Quelle est l’image du cerf-volant $2$ par la symétrie d’axe $(PL)$ ? On ne demande pas de justification.
   $\quad$
3. Déterminer par quelle transformation du plan le cerf-volant 1 devient le cerf-volant $6$ ?
   On ne demande pas de justification.
   $\quad$

PARTIE B :

Dans cette partie, on se propose de construire le cerf-volant ci-dessous.
Essya, Nicolas et Tiago souhaitent construire cette figure à l’aide d’un logiciel de programmation.

Ils écrivent tous un programme « Cerf-volant » différent.

1. Tracer le programme « Cerf-Volant » de Nicolas, en prenant $1$ cm pour $100$ pas.
   $\quad$
2. Un élève a écrit le script correct. Donner le nom de cet élève en justifiant la réponse.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Voici le nombre de passages de véhicules au péage du pont de l’île de Ré au cours de l’année 2020, reporté dans une feuille de calcul :

1. Quelle formule a-t-on saisi dans la cellule $B14$ pour obtenir le nombre total de passages en 2020 ?
   $\quad$
2. Calculer le nombre moyen de passages par mois.
   $\quad$
3. Donner l’étendue de la série.
   $\quad$
4. Afin d’étudier les effets du confinement de 2020, on souhaite comparer le nombre de passages de véhicules sur le pont de l’île de Ré du mois de mai 2020 avec celui du mois de mai 2021.
   En mai 2021, $305~214$ véhicules ont passé le péage du pont.
   Calculer le pourcentage d’augmentation du nombre de passages de véhicules entre mai 2020 et mai 2021. Arrondir à l’unité.
   $\quad$
5. Sachant que le pont a une longueur de $3~000$ mètres, quelle est la vitesse moyenne, exprimée en km/h, d’un cycliste qui le traverse en $10$ minutes ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Lya passe la journée dans un parc aquatique.
Elle y trouve une cabane dans un chêne d’où part une tyrolienne qui mène au-dessus d’une piscine.
Le câble de la tyrolienne relie la cabane et le pied du peuplier situé juste derrière la piscine.

Document 1 : schéma de la situation

Document 2 : La réglementation exige que l’angle formé par le câble de la tyrolienne et l’horizontale ait une mesure inférieure à $30$°.

Document 3 : La piscine a la forme d’un parallélépipède rectangle de longueur $6$ m, largeur $6$ m et profondeur $1,60$ m.

Document 4 : Lorsque Lya est suspendue à la tyrolienne, corps et bras tendus, elle mesure exactement $1,50$ m.

1. Vérifier par un calcul que $BC = 20$ m.
   $\quad$
2. Le positionnement de la tyrolienne est-il conforme à la réglementation en vigueur ?
   $\quad$
3. Déterminer la longueur $AC$, en mètres, de câble nécessaire. Arrondir à l’unité.
   $\quad$
4. Lya est suspendue à la tyrolienne verticalement. À quelle distance $DC$ du peuplier, en mètres, les pieds de Lya toucheront-ils l’eau de la piscine ? Arrondir au centième.
   $\quad$
5. Calculer le volume de la piscine, en m$^3$?
   Rappel : Le volume d’un parallélépipède rectangle est $V = \text{Longueur}\times \text{largeur} \times \text{hauteur}$.
   $\quad$

$\quad$