Exercice 1

1. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{8}&=\dfrac{20}{24}+\dfrac{21}{24} \\
   &=\dfrac{41}{24}\end{align*}$
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} 198&=2\times 99 \\
   &=2\times 9\times 11\\
   &=2\times 3^2 \times  11\end{align*}$
   et
   $\begin{align*} 84&=2\times 42 \\
   &=2\times 2\times 21 \\
   &=2\times 2\times 3\times 7\\
   &=2^2\times 3\times 7\end{align*}$
   $\quad$
   b. Par conséquent
   $\begin{align*} \dfrac{198}{84}&=\dfrac{2\times 3\times 33}{2\times 3\times 2\times 7} \\
   &=\dfrac{33}{14}\end{align*}$
   $\quad$
3. On a
   $\begin{align*} E&=5(3x-4)-(2x-7) \\
   &=15x-20-2x+7\\
   &=13x-13\end{align*}$
   $\quad$
4. Le périmètre du rectangle est
   $\begin{align*} P&=2(4,5+3b+2,9) \\
   &=2(7,4+3b)\\
   &=14,8+6b\end{align*}$
   Or $P=25$ donc $25=14,8+6b$ par conséquent $6b=10,2$ et $b=1,7$.
   $\quad$
5. L’aire du rectangle de base est :
   $\begin{align*} A&=3\times 4\\
   &=12\end{align*}$
   Par conséquent le volume de la pyramide est :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times A\times SH \\
   &=\dfrac{1}{3}\times 12\times 6 \\
   &=24\end{align*}$
   $\quad$
6. On appelle $P$ le nombre d’habitants de cette ville en 2019.
   On a donc $P\times \left(1+\dfrac{12}{100}\right)=20~692$ soit $1,12P=20~692$.
   Par conséquent $P=\dfrac{20~692}{1,12}$ c’est-à-dire $P=18~475$
   Il y avait donc $18~475$ habitants dans cette ville en 2019.
   $\quad$

Exercice 2

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. D’après le théorème de Pythagore on a
   $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
   &=3,9^2+5,2^2 \\
   &=15,21+27,04 \\
   &=42,25\end{align*}$
   Donc $AC=6,5$ m
   $\quad$
2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a
   $\begin{align*} \tan \widehat{ACB}&=\dfrac{AB}{BC} \\
   &=\dfrac{3,9}{5,2} \end{align*}$
   Par conséquent $\widehat{ACB}\approx 37$°.
   $\quad$
3. $0,2\times 32,5=6,5$.
   Il faut bien $32,5$ secondes à l’araignée pour parcourir les $6,5$ m à une vitesse de $0,2$ m/s.
   $\quad$
4. Dans les triangles $AFH$ et $ABC$, les droites $(FH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires à la même droite $(AB)$. Elles sont donc parallèles.
   D’après le théorème de Thalès:
   $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{FH}{BC}$
   Donc $\dfrac{4}{6,5}=\dfrac{AH}{3,9}=\dfrac{FH}{5,2}$.
   Par conséquent $AH=\dfrac{4\times 3,9}{6,5}$ c’est-à-dire $AH=2,4$ m et $FH=\dfrac{4\times 5,2}{6,5}$ soit $FH=3,2$ m.
   $\quad$
5. $\quad$
   $\begin{align*} CF+HA&=(AC-AF)+AH \\
   &=6,5-4+2,4 \\
   &=4,9\end{align*}$
   L’araignée met donc $\dfrac{4,9}{0,2}=24,5$ secondes pour parcourir la distance $CF+HA$.
   $\dfrac{3,2}{0,8}=4$ : l’araignée parcourt donc la distance $FH$ en $4$ secondes.
   La seconde araignée met donc $28,5$ secondes pour aller du point $C$ au point $A$. C’est par conséquent cette seconde araignée qui met le moins de temps à arriver en $A$.
   $\quad$

Exercice 3

1. On obtient le chemin suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. Dans le dessin 1, la distance parcourue n’augmente jamais.
   Dans le dessin 3, le premier déplacement est horizontal à la place d’être vertical.
   C’est donc le dessin 2 qui correspond au script 2.
   $\quad$
3. On obtient le script suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
4. a. L’image du motif 1 par la translation qui transforme le point $B$ en $E$ est le motif 5.
   $\quad$
   b. L’image du motif 1 par symétrie de centre $B$ est le motif 9.
   $\quad$
   c. L’image du motif 16 par la symétrie de centre $G$ est le motif 12.
   $\quad$
   d. L’image du motif 2 par la symétrie d’axe $(CG)$ est le motif 5.
   $\quad$

Exercice 4

1. a. L’image de $3$ par la fonction $f$ est $-5$.
   $\quad$
   b. $-2$ a pour image $5$ par la fonction $f$.
   $\quad$
   c. Un antécédent de $1$ par la fonction $f$ est $0$.
   $\quad$
2. a. On obtient la succession de nombres suivant :
   $1\underset{+1}{\longrightarrow}2\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} 4$
   En choisissant $1$ on obtient le nombre $4$.
   $\quad$
   $-2\underset{+1}{\longrightarrow}(-1)\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} 1$
   En choisissant $-2$ on obtient le nombre $1$.
   $\quad$
   b. $x\underset{+1}{\longrightarrow}(x+1)\underset{\text{carré}}{\longrightarrow} (x+1)^2$
   Donc $g(x)=(x+1)^2$.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align*} h(3)&=2\times 3^2-3 \\
   &=2\times 9-3\\
   &=18-3\\
   &=15\end{align*}$
   L’image de $3$ par la fonction $h$ est $15$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} h(-4)&=2\times (-4)^2-3 \\
   &=2\times 16-3\\
   &=32-3\\
   &=29\end{align*}$
   L’image de $-4$ par la fonction $h$ est $29$.
   $\quad$
   c. On veut résoudre l’équation $h(x)=5$ soit $2x^2-3=5$.
   Par conséquent $2x^2=8$ c’est-à-dire $x^2=4$.
   Les antécédents de $5$ par la fonction $h$ sont donc $-2$ et $2$.
   $\quad$
4. $f(0)=1$ et $f(1)=-1$. La courbe représentant la fonction $f$ est donc la représentation n°1.
   $g(x)=(x-1)^2$. Par conséquent, $g(x)\pg 0$ pour tout nombre $x$. La courbe représentative de la fonction $g$ est donc la représentation n°3.
   La courbe représentative de la fonction $h$ est par conséquent la représentation n°2.
   $\quad$

Exercice 5

1. a. Parmi les $36$ boules de l’urne, une seule est noire.
   La probabilité qu’il gagne $10$ points est égale à $\dfrac{1}{36}$.
   $\quad$
   b. Pour qu’il gagne plus de $3$ points, il faut qu’il tire une boule bleue ou une boule noire.
   La probabilité qu’il gagne plus de $3$ points est égale à $\dfrac{6}{36}$ c’est-à-dire $\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
   c. La probabilité qu’il gagne $2$ points est égale à $\dfrac{10}{36}$.
   La probabilité qu’il gagne $5$ points est égale à $\dfrac{5}{36}$.
   Il a donc plus de chance de gagner $2$ points.
   $\quad$
2. a. $\dfrac{2+1+1+\ldots+1+2}{15}=\dfrac{50}{15}=\dfrac{10}{3}$
   La moyenne des scores obtenus par ces joueurs est égale à $\dfrac{10}{3}$.
   $\quad$
   b. On réordonne les scores dans l’ordre croissant :
   $1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;5;5;5;10;10$
   $\dfrac{15}{2}=7,5$ : la médiane est donc le $8\ieme$ score c’est-à-dire $2$.
   $\quad$
   c. La fréquence du score « 10 points » est égale à $\dfrac{2}{15}$.
   $\quad$
3. La probabilité qu’un joueur gagne $10$ points est égale à $\dfrac{1}{36}$.
   $\dfrac{1}{36}\times 1~000\approx 27,78$.
   On peut donc estimer qu’en moyenne $27$ ou $28$ joueurs obtiendront le score de $10$ points.
   $\quad$

 

Exercice 1     22 points

Cet exercice est constitué de six questions indépendantes.

1. Calculer $\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{8}$ et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
   On détaillera les calculs.
   $\quad$
2. a. Donner, sans justifier, la décomposition en facteurs premiers de $198$ et de $84$.
   $\quad$
   b. En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{198}{84}$.
   $\quad$
3. On donne l’expression littérale suivante : $E = 5(3x-4)-(2x-7)$.
   Développer et réduire $E$.
   $\quad$
4. On désigne par $b$ un nombre positif.
   Déterminer la valeur de $b$ telle que le périmètre du rectangle ci-dessous soit égal à $25$.
   $\quad$
   
   $\quad
5. Calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire de hauteur $SH = 6$ ci-dessous.
   $\quad$
   
   $\quad$
6. Le nombre d’habitants d’une ville a augmenté de $12 \%$ entre 2019 et 2020. Cette ville compte $20~692$ habitants en 2020.
   Quel était le nombre d’habitants de cette ville en 2019 ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     22 points

Un poteau électrique vertical $[BC]$ de $5,2$ m de haut est retenu par un câble métallique $[AC]$ comme montré sur le schéma 1 qui n’est pas en vraie grandeur.

1. Montrer que la longueur du câble $[AC]$ est égale à $6,5$ m.
   $\quad$
2. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ACB}$ au degré près.
   $\quad$

Deux araignées se trouvant au sommet du poteau (point $C$) décident de rejoindre le bas du câble (point $A$) par deux chemins différents.

3. La première araignée se déplace le long du câble $[AC]$ à une vitesse de $0,2$ m/s.
   Vérifier qu’il lui faut $32,5$ secondes pour atteindre le bas du câble.
   $\quad$
4. La deuxième araignée décide de parcourir le chemin $CFHA$ indiqué en pointillés sur le schéma 2 (qui n’est pas en vraie grandeur) : elle suit le morceau de câble $[CF]$ en marchant, puis descend verticalement le long de $[FH]$ grâce à son fil et enfin marche sur le sol le long de $[HA]$.
   Calculer les longueurs $FH$ et $HA$.
   $\quad$

   

   $\quad$

5. La deuxième araignée marche à une vitesse de $0,2$ m/s le long des segments $[CF]$ et $[HA]$ et descend le long du segment $[FH]$ à une vitesse de $0,8$ m/s.
   Laquelle des deux araignées met le moins de temps à arriver en $A$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     17 points

On utilise un logiciel de programmation.
On rappelle que « s’orienter à $0$° » signifie qu’on oriente le stylo vers le haut.
On considère les deux scripts suivants :

1. On exécute le script 1 ci-dessus.
   Représenter le chemin parcouru par le stylo sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Quel dessin parmi les trois ci-dessous correspond au script 2 ? On expliquera pourquoi les deux autres dessins ne correspondent pas au script 2.
   Chaque côté de carreau mesure $20$ pixels.
   $\quad$
   

   $\quad$

3. On souhaite maintenant obtenir le motif représenté sur le dessin 4 :
   $\quad$
   
   $\quad$
   Compléter sans justifier les trois cases du script 3 donné en ANNEXE à rendre avec la copie, permettant d’obtenir le dessin 4
   $\quad$
4. À partir du motif représenté sur le dessin 4, on peut obtenir le pavage ci-dessous :
   $\quad$
   

   $\quad$
   Répondre aux questions suivantes sur votre copie en indiquant le numéro du motif qui convient (on ne demande pas de justifier la réponse) :
   a. Quelle est l’image du motif 1 par la translation qui transforme le point $B$ en $E$ ?
   $\quad$
   b. Quelle est l’image du motif 1 par la symétrie de centre $B$ ?
   $\quad$
   c. Quelle est l’image du motif 16 par la symétrie de centre $G$ ?
   $\quad$
   d. Quelle est l’image du motif 2 par la symétrie d’axe ($CG)$ ?
   $\quad$

ANNEXE

Question 1

Chaque côté de carreau mesure $20$ pixels.
La position de départ du stylo est indiquée sur la figure ci-dessus.

Question 3

$\quad$

Exercice 4     17 points

1. Voici un tableau de valeurs d’une fonction $f$ :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   x&-2&-1&0&1&3&4&5\\
   \hline
   f(x)&5&3&1&-1&-5&-7&-9\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Quelle est l’image de $3$ par la fonction $f$ ?
   $\quad$
   b. Donner un nombre qui a pour image $5$ par la fonction $f$.
   $\quad$
   c. Donner un antécédent de $1$ par la fonction $f$.
   $\quad$
2. On considère le programme de calcul suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{Choisir un nombre}\\
   \text{Ajouter 1}\\
   \text{Calculer le carré du résultat}\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Quel résultat obtient-on en choisissant $1$ comme nombre de départ ? Et en choisissant $-2$ comme nombre de départ ?
   $\quad$
   b. On note $x$ le nombre choisi au départ et on appelle $g$ la fonction qui à $x$ fait correspondre le résultat obtenu avec le programme de calcul.
   Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$.
   $\quad$
3. La fonction $h$ est définie par $h(x) = 2x^2-3$.
   a. Quelle est l’image de $3$ par la fonction $h$ ?
   $\quad$
   b. Quelle est l’image de $-4$ par la fonction $h$ ?
   $\quad$
   c. Donner un antécédent de $5$ par la fonction $h$. En existe-t-il un autre ?
   $\quad$
4. On donne les trois représentations graphiques suivantes qui correspondent chacune à une des fonctions $f$, $g$ et $h$ citées dans les questions précédentes.
   Associer à chaque courbe la fonction qui lui correspond, en expliquant la réponse.
   $\quad$
   
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     19 points

Une urne contient $20$ boules rouges, $10$ boules vertes, $5$ boules bleues et $1$ boule noire.
Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne.

Lorsqu’un joueur tire une boule noire, il gagne $10$ points.
Lorsqu’il tire une boule bleue, il gagne $5$ points.
Lorsqu’il tire une boule verte, il gagne $2$ points.
Lorsqu’il tire une boule rouge, il gagne $1$ point.

1. Un joueur tire au hasard une boule dans l’urne.
   a. Quelle est la probabilité qu’il gagne $10$ points ?
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité qu’il gagne plus de $3$ points ?
   $\quad$
   c. A-t-il plus de chance de gagner $2$ points ou de gagner $5$ points ?
   $\quad$
2. Le tableau ci-dessous récapitule les scores obtenus par $15$ joueurs :
   $$\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   \text{JOUEUR}&\text{SCORE}\\
   \text{JOUEUR A}&\text{2 points}\\
   \text{JOUEUR B}&\text{1 point}\\
   \text{JOUEUR C}&\text{1 point}\\
   \text{JOUEUR D}&\text{5 points}\\
   \text{JOUEUR E}&\text{10 points}\\
   \text{JOUEUR F}&\text{2 points}\\
   \text{JOUEUR G}&\text{2 points}\\
   \text{JOUEUR H}&\text{5 points}\\
   \text{JOUEUR I}&\text{1 point}\\
   \text{JOUEUR J}&\text{2 points}\\
   \text{JOUEUR K}&\text{5 points}\\
   \text{JOUEUR L}&\text{10 points}\\
   \text{JOUEUR M}&\text{1 point}\\
   \text{JOUEUR N}&\text{1 point}\\
   \text{JOUEUR O}&\text{2 points}\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Quelle est la moyenne des scores obtenus par ces joueurs ?
   $\quad$
   b. Quelle est la médiane des scores ?
   $\quad$
   c. Déterminer la fréquence du score « $10$ points ».
   $\quad$
3. Mille joueurs ont participé au jeu. Peut-on estimer le nombre de joueurs ayant obtenu le score de $10$ points ? La réponse, affirmative ou négative, devra être argumentée.
   $\quad$

$\quad$