DNB – Amérique du Sud – 16 novembre 2022

Amérique du Sud – Novembre 2022

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La probabilité de tirer une boule bleue dans l’urne A est égale à $\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
    La probabilité de tirer une boule bleue dans l’urne B est égale à $\dfrac{11}{25}=0,44$.
    Or $0,4<0,44$. On a donc plus de chances de tirer une boule bleue dans l’urne B que dans l’urne A.
    Affirmation 1 vraie.
    $\quad$
  2. On réordonne la série statistique dans l’ordre croissant : $$3~;~7~;~7~;~11~;~12~;~12~;~14~;~14~;~14$$
    Cette série contient $9$ valeurs. $\dfrac{9}{2}=4,5$. La médiane est donc la $5\ieme$ valeur c’est-à-dire $12$.
    Affirmation 2 fausse.
    $\quad$
  3. $20$ min $=\dfrac{1}{3}$h.
    La vitesse moyenne, en km/h, du coureur est donc égale à
    $\begin{align*} v&=\dfrac{36}{3+\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{~36~}{\dfrac{10}{3}} \\
    &=36\times \dfrac{3}{10}\\
    &=10,8\end{align*}$
    Affirmation 3 fausse.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} f(-1)&=-4(-1)-5 \\
    &=4-5\\
    &=-1\end{align*}$
    Graphiquement $g(-1)=-1$.
    Par conséquent $f(-1)=g(-1)$.
    Affirmation 4 fausse.
    $\quad$
  5. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (x+5)^2-4&=(x+5)^2-2^2 \\
    &=\left[(x+5)-2\right]\left[(x+5)+2\right] \\
    &=(x+3)(x+7)\end{align*}$
    L’expression factorisée obtenue n’est pas égale à celle proposée.
    $\quad$
    Autre méthode 1 : Si $x=0$ alors $(x+5)^2-4=25-4=21$
    alors que $(x+1)(x+9)=9$
    Les deux expressions ne fournissent pas la même valeur pour $x=0$. Elles ne sont donc pas égales pour tout nombre $x$.
    $\quad$
    Autre méthode 2 : On calcule la différence des deux expressions en utilisant la forme développée de chacune d’entre elles.
    $\begin{align*} &(x+5)^2-4-(x+1)(x+9) \\
    &=(x+5)(x+5)-4-\left(x^2+9x+x+9\right) \\
    &=x^2+5x+5x+25-4-x^2-10x-9 \\
    &=12 \\
    &\neq 0\end{align*}$
    Remarque : On peut gagner un peu de temps si on connaît l’identité remarquable $(x+5)^2=x^2+2\times 5x+5^2$.
    $\quad$
    Affirmation 5 fausse.
    $\quad$
  6. On considère un carré $ABCD$.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $B$.
    D’après le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=36+36 \\
    &=72\end{align*}$
    Ainsi $AC=\sqrt{72}$.
    Les diagonales d’un carré sont de même longueur. Elles mesurent ici $\sqrt{72}$ mètres.
    Affirmation 6 vraie.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. La production photovoltaïque du pays E est environ égale à $9,5$ TWh.
    $\quad$
  2. a. La production photovoltaïque des pays A et B est environ égale à $47+24=71$ TWh.
    $\dfrac{71}{131,8} \approx 53,8$
    Les pays A et $B$ totalisent bien à eux seuls environ $54\%$ de la production européenne.
    $\quad$
    b. $\dfrac{131,8-122,3}{122,3}\times 100 \approx 7,768$
    La production photovoltaïque a donc augmenté d’environ $7,8\%$ entre 2018 et 2019.
    $\quad$
  3. a. Les productions éoliennes, solaires et bioénergies ont augmenté chaque année de 2017 à 2019.
    $\quad$
    b. On a pu écrire $=\text{Somme(B3:B8)}$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Le triangle $DBC$ est isocèle en $B$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \widehat{DBC}&=180-2\widehat{BCD} \\
    &=180-2\times 30 \\
    &=120\end{align*}$
    Ainsi $\widehat{DBC}=120$°.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$ on a $\sin \widehat{ADC}=\dfrac{AD}{AC}$
    c’est-à-dire $\sin(30)=\dfrac{AD}{10}$ ainsi $AD=10\sin(30)$
    Par conséquent $AD=5$ cm.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore :
    $AC^2=AD^2+DC^2$ soit $10^2=5^2+DC^2$
    Donc $100=25+DC^2$. D’où $DC^2=75$.
    Ainsi $DC=\sqrt{75} \approx 8,7$ cm.
    $\quad$
  4. Le triangle $ADC$ est rectangle en $D$ donc $\widehat{ABD}=180-(90+30)= 60$°.
    Les angles $\widehat{ABD}$ et $\widehat{DBC}$ sont adjacents et supplémentaires.
    Donc
    $\begin{align*} \widehat{ABD}&=180-\widehat{DBC} \\
    &=180-120\\
    &=60\end{align*}$.
    La somme des angles d’un triangle est égale à $180°$ donc $\widehat{ADB}=180-2\times 60=60$°.
    Les trois angles du triangles $ABD$ mesurent $60$°. Le triangle $ABD$ est donc équilatéral.
    Remarque : En fait, deux angles suffisaient. Le troisième mesure nécessairement $60$° si les deux autres mesurent également $60$°.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On effectue une rotation de centre le point de coordonnées $(0;0)$ et d’angle $\dfrac{360}{5}=72$°.
    $\quad$
  2. La troisième proposition permet d’obtenir le motif souhaité.
    $\quad$
  3. On obtient le script suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. On peut ajouter cette instruction indifféremment après les instructions 5, 6 ou 7 ou juste avant l’instruction 5.
    $\quad$

 

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On a besoin de $8$ planches mesurant $1,20$ m.
    On peut obtenir $2$ planches mesurant $1,20$ m à partir d’une planche mesurant $2,50$ m en la coupant en deux.
    Il faut donc acheter $4$ planches.
    $\quad$
    b. On utilise $4$ équerres et $8$ vis par équerre. On a donc besoin de $4\times 8=32$ vis. Un seul lot de vis se donc nécessaire.
    Il faut acheter ainsi $4$ planches, $4$ équerres et un lot de vis.
    Le budget a prévoir est donc égal à :
    $\begin{align*} B&=4\times 5,60+4\times 2,90+5,70 \\
    &=39,70\end{align*}$
    Hors coût de la terre, ce projet revient à $39,70$ €.
    $\quad$
  2. Le volume de terre nécessaire est égal à :
    $\begin{align*} V&=1,18^2\times \dfrac{2}{3}\times 0,30 \\
    &=0,278~48 \text{ m}^3 \\
    &=278,48 \text{ L}\end{align*}$
    Sept sac de terre ont un volume égale à $7\times 40=280$ L.
    Les sept sacs seront donc suffisants.
    $\quad$

 

Énoncé

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