Exercice 1

1. La probabilité de tirer une boule bleue dans l’urne A est égale à $\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
   La probabilité de tirer une boule bleue dans l’urne B est égale à $\dfrac{11}{25}=0,44$.
   Or $0,4<0,44$. On a donc plus de chances de tirer une boule bleue dans l’urne B que dans l’urne A.
   Affirmation 1 vraie.
   $\quad$
2. On réordonne la série statistique dans l’ordre croissant : $$3~;~7~;~7~;~11~;~12~;~12~;~14~;~14~;~14$$
   Cette série contient $9$ valeurs. $\dfrac{9}{2}=4,5$. La médiane est donc la $5\ieme$ valeur c’est-à-dire $12$.
   Affirmation 2 fausse.
   $\quad$
   
3. $20$ min $=\dfrac{1}{3}$h.
   La vitesse moyenne, en km/h, du coureur est donc égale à
   $\begin{align*} v&=\dfrac{36}{3+\dfrac{1}{3}} \\
   &=\dfrac{~36~}{\dfrac{10}{3}} \\
   &=36\times \dfrac{3}{10}\\
   &=10,8\end{align*}$
   Affirmation 3 fausse.
   $\quad$
4. On a
   $\begin{align*} f(-1)&=-4(-1)-5 \\
   &=4-5\\
   &=-1\end{align*}$
   Graphiquement $g(-1)=-1$.
   Par conséquent $f(-1)=g(-1)$.
   Affirmation 4 fausse.
   $\quad$
5. Pour tout nombre $x$ on a
   $\begin{align*} (x+5)^2-4&=(x+5)^2-2^2 \\
   &=\left[(x+5)-2\right]\left[(x+5)+2\right] \\
   &=(x+3)(x+7)\end{align*}$
   L’expression factorisée obtenue n’est pas égale à celle proposée.
   $\quad$
   Autre méthode 1 : Si $x=0$ alors $(x+5)^2-4=25-4=21$
   alors que $(x+1)(x+9)=9$
   Les deux expressions ne fournissent pas la même valeur pour $x=0$. Elles ne sont donc pas égales pour tout nombre $x$.
   $\quad$
   Autre méthode 2 : On calcule la différence des deux expressions en utilisant la forme développée de chacune d’entre elles.
   $\begin{align*} &(x+5)^2-4-(x+1)(x+9) \\
   &=(x+5)(x+5)-4-\left(x^2+9x+x+9\right) \\
   &=x^2+5x+5x+25-4-x^2-10x-9 \\
   &=12 \\
   &\neq 0\end{align*}$
   Remarque : On peut gagner un peu de temps si on connaît l’identité remarquable $(x+5)^2=x^2+2\times 5x+5^2$.
   $\quad$
   Affirmation 5 fausse.
   $\quad$
6. On considère un carré $ABCD$.
   Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $B$.
   D’après le théorème de Pythagore :
   $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
   &=36+36 \\
   &=72\end{align*}$
   Ainsi $AC=\sqrt{72}$.
   Les diagonales d’un carré sont de même longueur. Elles mesurent ici $\sqrt{72}$ mètres.
   Affirmation 6 vraie.
   $\quad$

 

Exercice 2

1. La production photovoltaïque du pays E est environ égale à $9,5$ TWh.
   $\quad$
2. a. La production photovoltaïque des pays A et B est environ égale à $47+24=71$ TWh.
   $\dfrac{71}{131,8} \approx 53,8$
   Les pays A et $B$ totalisent bien à eux seuls environ $54\%$ de la production européenne.
   $\quad$
   b. $\dfrac{131,8-122,3}{122,3}\times 100 \approx 7,768$
   La production photovoltaïque a donc augmenté d’environ $7,8\%$ entre 2018 et 2019.
   $\quad$
3. a. Les productions éoliennes, solaires et bioénergies ont augmenté chaque année de 2017 à 2019.
   $\quad$
   b. On a pu écrire $=\text{Somme(B3:B8)}$.
   $\quad$

 

 

Exercice 3

1. Le triangle $DBC$ est isocèle en $B$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} \widehat{DBC}&=180-2\widehat{BCD} \\
   &=180-2\times 30 \\
   &=120\end{align*}$
   Ainsi $\widehat{DBC}=120$°.
   $\quad$
2. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$ on a $\sin \widehat{ADC}=\dfrac{AD}{AC}$
   c’est-à-dire $\sin(30)=\dfrac{AD}{10}$ ainsi $AD=10\sin(30)$
   Par conséquent $AD=5$ cm.
   $\quad$
3. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore :
   $AC^2=AD^2+DC^2$ soit $10^2=5^2+DC^2$
   Donc $100=25+DC^2$. D’où $DC^2=75$.
   Ainsi $DC=\sqrt{75} \approx 8,7$ cm.
   $\quad$
4. Le triangle $ADC$ est rectangle en $D$ donc $\widehat{ABD}=180-(90+30)= 60$°.
   Les angles $\widehat{ABD}$ et $\widehat{DBC}$ sont adjacents et supplémentaires.
   Donc
   $\begin{align*} \widehat{ABD}&=180-\widehat{DBC} \\
   &=180-120\\
   &=60\end{align*}$.
   La somme des angles d’un triangle est égale à $180°$ donc $\widehat{ADB}=180-2\times 60=60$°.
   Les trois angles du triangles $ABD$ mesurent $60$°. Le triangle $ABD$ est donc équilatéral.
   Remarque : En fait, deux angles suffisaient. Le troisième mesure nécessairement $60$° si les deux autres mesurent également $60$°.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. On effectue une rotation de centre le point de coordonnées $(0;0)$ et d’angle $\dfrac{360}{5}=72$°.
   $\quad$
2. La troisième proposition permet d’obtenir le motif souhaité.
   $\quad$
3. On obtient le script suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
4. On peut ajouter cette instruction indifféremment après les instructions 5, 6 ou 7 ou juste avant l’instruction 5.
   $\quad$

 

 

Exercice 5

1. a. On a besoin de $8$ planches mesurant $1,20$ m.
   On peut obtenir $2$ planches mesurant $1,20$ m à partir d’une planche mesurant $2,50$ m en la coupant en deux.
   Il faut donc acheter $4$ planches.
   $\quad$
   b. On utilise $4$ équerres et $8$ vis par équerre. On a donc besoin de $4\times 8=32$ vis. Un seul lot de vis se donc nécessaire.
   Il faut acheter ainsi $4$ planches, $4$ équerres et un lot de vis.
   Le budget a prévoir est donc égal à :
   $\begin{align*} B&=4\times 5,60+4\times 2,90+5,70 \\
   &=39,70\end{align*}$
   Hors coût de la terre, ce projet revient à $39,70$ €.
   $\quad$
2. Le volume de terre nécessaire est égal à :
   $\begin{align*} V&=1,18^2\times \dfrac{2}{3}\times 0,30 \\
   &=0,278~48 \text{ m}^3 \\
   &=278,48 \text{ L}\end{align*}$
   Sept sac de terre ont un volume égale à $7\times 40=280$ L.
   Les sept sacs seront donc suffisants.
   $\quad$

 

Exercice 1      25 points

Voici six affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

1. Deux urnes opaques contiennent des boules de couleur, indiscernables au toucher.
   Voici la composition de chaque urne :
   $\bullet$ Urne A : $20$ boules dont $8$ boules bleues
   $\bullet$ Urne B : $11$ boules bleues et $14$ boules vertes
   Affirmation 1 : on a plus de chance de tirer au hasard une boule bleue dans l’urne B que dans l’urne A.
   $\quad$
2. Voici une série statistique : $14;~12;~ 3;~ 14;~ 7;~ 11;~ 7;~ 12;~ 14$.
   Affirmation 2 : la médiane de cette série statistique est $11$.
   $\quad$
3. Lors d’une course à pied, un coureur a parcouru $36$ km en $3$ h $20$.
   Affirmation 3 : sa vitesse moyenne est de $11,25$ km/h.
   $\quad$
4. On considère deux fonctions $f$ et $g$ .
   La fonction $f$ est définie par : $f (x) = -4x-5$.
   Voici la représentation graphique de la fonction $g$ :
   $\quad$
   
   $\quad$
   Affirmation 4 : l’image de $-1$ par la fonction $f$ est inférieure à l’image de $-1$ par la fonction $g$.
   $\quad$
5. Affirmation 5 : pour tout nombre $x$, on a : $(x +5)^2 -4 = (x +1)(x +9)$.
   $\quad$
6. On considère un carré de longueur de côté $6$ mètres.
   Affirmation 6 : les diagonales de ce carré mesurent $\sqrt{72}$ mètres.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2      20 points

Le diagramme ci-dessous représente la production d’énergie solaire photovoltaïque en TWh (Térawattheure) des cinq plus gros producteurs dans l’Union européenne qui compte vingt-huit pays en 2019.

1. Avec la précision permise par le graphique, donner approximativement la production photovoltaïque enTWh du pays E.
   $\quad$
2. La production photovoltaïque totale des $28$ pays de l’Union européenne en 2019 est de $131,8$ TWh.
   a. Montrer que les pays A et B totalisent à eux seuls environ $54 \% $de la production européenne.
   $\quad$
   b. La production photovoltaïque totale des $28$ pays de l’Union européenne était de $122,3$ TWh en 2018.
   Quel est le pourcentage d’augmentation de la production photovoltaïque totale entre 2018 et 2019 ?
   Arrondir le résultat au dixième.
   $\quad$
3. On veut étudier dans le pays D l’évolution de la production électrique par type d’énergie de 2017 à 2019. On utilise alors le tableur pour réaliser le tableau suivant.
   $\quad$
   
   a. Citer les types d’énergie dont la production a augmenté chaque année de 2017 à 2019.
   $\quad$
   b. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule $\text{B9}$ avant de l’étirer jusqu’à la cellule $\text{D9}$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3      20 points

Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$, l’angle $\widehat{DCA}$ mesure $30$°.
Le point $B$ est le point du segment $[AC]$ tel que les longueurs $DB$ et $CB$ sont égales.
La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

1. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{DBC}$.
   $\quad$
2. Montrer par le calcul que le segment $[AD]$ mesure $5$ cm.
   $\quad$
3. Calculer la longueur $DC$ au millimètre près.
   $\quad$
4. Déterminer la nature du triangle $ABD$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4      18 points

Dans cet exercice. aucune justification n’est attendue.
On souhaite réaliser le logo ci-dessous avec le logiciel Scratch à partir du script incomplet ci- dessous.

On rappelle que l’instruction consiste à orienter le lutin et le stylo horizontalement vers la droite.

Le bloc permet de réaliser la figure ci-contre :

 

1. En mathématiques, comment appelle-t-on la transformation géométrique qui permet de passer d’un motif du logo au suivant ?
   $\quad$
2. Ici, le stylo est orienté horizontalement vers la droite au départ. Parmi les trois propositions suivantes, quelle est celle qui permet d’obtenir le motif souhaité ?
   $\quad$
   
   $\quad$
3. Compléter le script principal en recopiant sur la copie uniquement la boucle « répéter» (c’est-à-dire les instructions 4, 5, 6 et 7).
   $\quad$
4. On veut placer l’instruction de façon à changer de couleur à chaque motif.
   Sur la copie, indiquer un numéro d’instruction du script principal après laquelle on peut placer cette instruction.

 

Exercice 5      17 points

On souhaite construire un carré potager en utilisant des planches en bois et en suivant le montage ci-dessous.
Le carré potager souhaité n’a pas de fond et il a la forme d’un pavé droit de base carrée et de hauteur $30$ cm.

1. À l’achat, les planches en bois mesurent $2,50$ m de longueur.
   a. Combien de planches devra-t-on acheter ?
   $\quad$
   $\quad$ Déterminer le budget nécessaire (hors coût de la terre) pour réaliser ce carré potager.
   $\quad$

On remplit le carré potager de terre végétale au minimum jusqu’aux deux tiers de sa hauteur.
On dispose la terre afin qu’elle forme un pavé droit dont la longueur du côté de la base carrée est de $118$ cm.

2. Sept sacs de terre végétale seront-ils suffisants pour compléter au minimum le carré potager ?
   On rappelle que : $1$ L $= 1$ dm$^3$.
   $\quad$